备战2022 中考数学 人教版 微专题八 对称性质在折叠问题中的应用

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  微专题八  对称性质在折叠问题中的应用模型一：平行四边形的折叠模型特点以对角线所在直线为对称轴折叠为例模型示例解题思路及结论①△ABC≌△AB′C，②EF垂直平分AC，③四边形AECF是菱形1．(2021·德州德城区质检)如图，将▱ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在B′处，若∠1＝∠2＝44°，则∠B为(C)A．66°    B．104°    C．114°    D．124°2．(2021·宝鸡岐山县模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A′PF，连接BA′，则△BA′F周长的最小值为__2＋2__．3．(2021·山西中考)综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在▱ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：(1)请解答老师提出的问题；实践探究：(2)希望小组受此问题的启发，将▱ABCD沿着BF(F为CD的中点)所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：(3)智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N.该小组提出一个问题：若此▱ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分(四边形BHNM)的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【解析】(1)结论：EF＝BF.理由：如图①，作FH∥AD交BE于H.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵DF＝CF，∴＝＝1，∴EH＝HB，∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF＝BF.(2)结论：AG＝BG.理由：如图②，连接CC′.∵△BFC′由△BFC翻折得到，∴BF⊥CC′，FC＝FC′，∵DF＝FC，∴DF＝FC＝FC′，∴∠CC′D＝90°，∴CC′⊥GD，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF＝BG，∵AB＝CD，DF＝CD，∴BG＝AB，∴AG＝GB.(3)如图③，过点D作DJ⊥AB于J，过点M作MT⊥AB于T.∵S平行四边形ABCD＝AB·DJ，∴DJ＝＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝2，AB∥CD，∴AJ＝＝＝2，∵A′B⊥AB，DJ⊥AB，∴∠DJB＝∠JBH＝∠DHB＝90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH＝DJ＝4，∴A′H＝A′B－BH＝5－4＝1，∵tan A＝＝＝2，设AT＝x，则MT＝2x，∵∠ABM＝∠MBA′＝45°，∴MT＝TB＝2x，∴3x＝5，∴x＝，∴MT＝，∵tan A＝tan A′＝＝2，∴NH＝2，∴S△ABM＝S△A′BM＝×5×＝，∴S四边形BHNM＝S△A′BM－S△NHA′＝－×1×2＝.模型二：矩形的折叠模型特点以过某一顶点的直线为对称轴折叠为例模型示例　      (1)　　　　　 (2)解题思路及结论(1)①一线三垂直；②△PDE∽△ECB.(2)△DPF∽△EGF∽△CGB.1．(2021·东营市广饶县模拟)如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E，F分别在边AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，有以下四个结论：①四边形CFHE是菱形；②∠DCE＝∠ECH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤5；④当点H与点A重合时，EF＝2.其中正确的有________个(B)A．1    B．2    C．3    D．42.(2021·兴安盟模拟)如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的点F处，若DE＝5，AB＝8，则S△ABF∶S△FCE＝__4__．3．(2021·菏泽中考)在矩形ABCD中，BC＝CD，点E，F分别是边AD，BC上的动点，且AE＝CF，连接EF，将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在点H处．(1)如图1，当EH与线段BC交于点P时，求证：PE＝PF；(2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，GH交AB于点M，求证：点M在线段EF的垂直平分线上；(3)当AB＝5时，在点E由点A移动到AD中点的过程中，计算出点G运动的路线长．【解析】(1)如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠EFB，由翻折变换可知，∠DEF＝∠PEF，∴∠PEF＝∠PFE，∴PE＝PF.(2)如图2，连接AC交EF于O，连接PM，PO.∵AE∥CF，∴∠EAO＝∠FCO，∵AE＝CF，∠AOE＝∠COF，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE＝OF，∵PE＝PF，∴PO平分∠EPF，∵AD＝BC，AE＝FC，∴ED＝BF，由折叠的性质可知ED＝EH，所以BF＝EH，∴PE－EH＝PF－BF，∴PB＝PH，∵∠PHM＝∠PBM＝90°，PM＝PM，∴Rt△PMH≌Rt△PMB(HL)，∴PM平分∠EPF，∴P，M，O共线，∵PO⊥EF，OE＝OF，∴点M在线段EF的垂直平分线上．(3)如图3，由题意，点E由点A移动到AD中点的过程中，点G运动的路径是图中弧BC.在Rt△BCD中，tan ∠CBD＝＝，∴∠CBD＝30°，∴∠ABO＝∠OAB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OD＝OB＝OC＝AB＝5，∠BOC＝120°，∴点G运动的路径的长＝＝π.4．(2020·贵港中考)已知：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF．(1)如图1，当点P与点C重合时，则线段EB＝________，EF＝________；(2)如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA.①求证：四边形MEPF是平行四边形；②当tan ∠MAD＝时，求四边形MEPF的面积．【解析】(1)∵将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，∵CE2＝BE2＋BC2，∴(6－BE)2＝BE2＋12，∴BE＝2，∴CE＝4，∵cos ∠CEB＝＝，∴∠CEB＝60°，∴∠AEF＝∠FEC＝60°，∵AB∥DC，∴∠AEF＝∠CFE＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴EF＝CE＝4；答案：2　4(2)①∵将矩形ABCD折叠，∴FG∥EP，∴∠MFO＝∠PEO，∵点O是EF的中点，∴EO＝FO，又∵∠EOP＝∠FOM，∴△EOP≌△FOM(AAS)，∴FM＝PE，又∵MF∥PE，∴四边形MEPF是平行四边形；②如图2，连接AP交EF于H，∵将矩形ABCD折叠，∴AE＝EP，∠AEF＝∠PEF，∠G＝∠D＝90°，AD＝PG＝2，∴EF⊥PA，PH＝AH，∵四边形MEPF是平行四边形，∴MO＝OP，∴MA∥EF，∴∠MAP＝∠FHP＝90°，∴∠MAP＝∠DAB＝90°，∴∠MAD＝∠PAB，∴tan ∠MAD＝tan ∠PAB＝＝，∴PB＝AB＝×6＝2，∵PE2＝BE2＋BP2，∴(6－BE)2＝BE2＋4，∴BE＝，∴PE＝6－BE＝，∴四边形MEPF的面积＝PE×PG＝×2＝.模型三：菱形的折叠模型特点以沿截相邻两边的直线为对称轴折叠为例模型示例解题思路及结论①△AEF≌△OEF；②AC垂直平分EF.1．(2021·沈阳沈河区质检)如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，P为AB中点，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP所在的直线上，得到经过点D的折痕DE，则∠CDE的大小为(D)A．78°　　　B．75°　　　C．60°　　　D．45°2．(2021·盐城亭湖区质检)如图，已知菱形ABCD的边长为3，∠A＝60°，点E，F分别在边AB，AD上．若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则AF＝__2.1__．3．(2021·杭州西湖区质检)如图1，菱形纸片ABCD，∠A＝45°.对其进行如下操作：把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH(如图2)，连接DG，DH.设两条折痕的延长线交于点O.(1)请在图2中将图形补充完整，并求∠EOF的度数．(2)四边形DGOH是菱形吗？说明理由．【解析】(1)如图2，延长EG，FH交于点O，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝45°，∴AD＝CD，∠A＝∠C＝45°，∠ADC＝135°，∵把△AEG翻折，使得点A与点D重合，折痕为EG；把△CFH翻折，使得点C与点D重合，折痕为FH，∴AE＝DE＝AD，GE⊥AD，∠A＝∠GDA＝45°，DF＝FC＝CD，HF⊥CD，∠C＝∠CDH＝45°，∵∠EOF＋∠OED＋∠OFD＋∠ADC＝360°，∴∠EOF＝360°－90°－90°－135°＝45°；(2)四边形DGOH是菱形．理由如下：∵∠ADC＝135°，∠ADG＝∠CDH＝45°，∴∠GDC＝∠ADH＝90°，且GE⊥AD，HF⊥CD，∴GE∥DH，GD∥HF，∴四边形DGOH是平行四边形，∵AE＝DE＝AD，DF＝FC＝CD，AD＝CD，∴DE＝DF，且∠ADG＝∠CDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°，∴△DEG≌△DFH(ASA)∴DG＝DH，∴四边形DGOH是菱形．模型四：正方形的折叠模型特点以截相对两边的直线为对称轴折叠为例模型示例解题思路及结论△EA′P∽△NDP∽△NB′Q∽△FCQ.1．(2021·绍兴越城区期末)小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时(机翼间无缝隙)，∠AOB的度数为(B)A.60°    B．45°    C．22.5°    D．30°2.(2021·焦作山阳区质检)如图，将边长为12 cm的正方形ABCD折叠，使得A点落在边CD上的E点，然后压平得折痕FG，若GF的长为13 cm，则线段CE的长为__7__cm__．3．(2021·济南槐荫区质检)如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF.(1)求证：△DAG≌△DFG；(2)求证：BG＝2AG；(3)求S△BEF的值．【解析】(1)由折叠可知，DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A＝90°，在Rt△ADG和Rt△FDG中，，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，(2)∵正方形边长是12，∴BE＝EC＝EF＝6，设AG＝FG＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，由勾股定理得：EG2＝BE2＋BG2，即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴BG＝2AG，(3)如图，过点B作BH⊥GE，垂足为H，由(2)得，BG＝12－4＝8，BE＝6，GE＝10，∴BH＝＝＝，∴S△BEF＝EF×BH＝×6×＝.