备战2022 中考数学 人教版 微专题十三 解直角三角形的实际应用的基本类型

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 微专题十三　解直角三角形的实际应用的基本类型模型一：背靠背型模型特点两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边两侧模型原型若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键．【等量关系】CD为公共边，AD＋BD＝AB模型变式【等量关系】如图①，CE＝DA，CD＝EA，CE＋BD＝AB；如图②，CD＝EF，CE＝DF，AD＋CE＋BF＝AB.1．(2021·大连期末)如图，电线杆的高度为CD＝m，两根拉线AC与BC互相垂直(点A、点D、点B在同一条直线上)，若∠CAB＝α，则拉线BC的长度可以表示为(     )A．    B．    C．    D．m cos α2．(2021·泰安模拟)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__      __海里．3．(2021·白银中考)如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年(1535年)，是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD垂直于地面，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAD和∠CBD的度数(A，D，B在同一条直线上).数据收集：通过实地测量：地面上A，B两点的距离为58 m，∠CAD＝42°，∠CBD＝58°.问题解决：求宝塔CD的高度(结果保留一位小数).参考数据：sin 42°≈0.67，cos 42°≈0.74，tan 42°≈0.90，sin 58°≈0.85，cos 58°≈0.53，tan 58°≈1.60.根据上述方案及数据，请你完成求解过程．4．(2020·海南中考)为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1 500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°.(1)填空：∠A＝________度，∠B＝________度；(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米).(参考数据：≈1.414，≈1.732)模型二：母子型模型特点两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且共线模型原型若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键．【等量关系】BC为公共边，如图①，AD＋DC＝AC；如图②，DC－BC＝DB模型变式模型演变1【等量关系】如图③，DF＝EC，DE＝FC，BF＋DE＝BC，AE＋DF＝AC；如图④，AF＝CE，AC＝FE，BC＋AF＝BE.模型演变2【等量关系】如图⑤，BE＋EC＝BC；如图⑥，EC－BC＝BE；如图⑦，AC＝FG，AF＝CG，AD＋DC＝FG，BC＋AF＝BG.模型演变3【等量关系】如图⑧，BC＝FG，BF＝CG，AC＋BF＝AG，EF＋BC＝EG；如图⑨，BC＝FG，BF＝CG，EF＋BC＝EG，BD＋DF＝BF, AC＋BD＋DF＝AG1．(2021·长春期末)如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC＝α，∠ADC＝β，则竹竿AD与AB的长度之比为(     )A．　　　B．　　　C．　　　D．2．(2020·德阳中考)如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船再航行__      __海里就开始有触礁的危险．3．(2021·枣庄中考)2020年7月23日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4 000米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°.O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度．(结果精确到1米，参考数据：≈1.732，≈1.414)4．(2020·娄底中考)如实景图，早元街人行天桥于2019年12月18日动工，2020年2月28日竣工，展现了高效的“娄底速度”．该桥的引桥两端各由2个斜面和一个水平面构成，如示意图所示：引桥一侧的桥墩顶端E点距地面5 m，从E点处测得D点俯角为30°，斜面ED长为4 m，水平面DC长为2 m，斜面BC的坡度为1∶4.求处于同一水平面上引桥底部AB的长．(结果精确到0.1 m，≈1.41，≈1.73)模型三：拥抱型模型特点两个直角三角形有一条公共的直角边，另两条直角边在公共边同侧且不共线模型原型分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键．【等量关系】BC为公共边模型变式【等量关系】如图①，BF＋FC＋CE＝BE；如图②，BC＋CE＝BE；如图③，AB＝GE，AG＝BE，BC＋CE＝AG，DG＋AB＝DE.1．(2021·温州模拟)秀秀和山山在水平的地面上放风筝，某一时刻两人的风筝正好都停在对方的正上方，即此时AC⊥AB，DB⊥AB，两人之间的距离AB为120米，若两人的风筝线与水平线的夹角分别为α和β，则两人放出的风筝线AD与BC的长度和为(忽略两人的身高与手臂长度)________米．(     )A．120tan α＋120tan β　　　　　  B．＋C．120cos α＋120cos β        D．＋2．(2021·淄博模拟)如图，小叶与小高欲测量公园内某棵树DE的高度．他们在这棵树正前方的一座楼亭前的台阶上的点A处测得这棵树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得这棵树顶端D的仰角为60°.已知点A的高度AB为3 m，台阶AC的坡度为1∶，且B，C，E三点在同一条直线上，那么这棵树DE的高度为__      __．3.(2021·自贡中考)在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组从综合楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，从综合楼底部A处测得办公楼顶部C处的仰角恰好是30°，综合楼高24米．请你帮小明求出办公楼的高度．(结果精确到0.1，参考数据tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33，≈1.73)