备战2022 中考数学 人教版 微专题二 一元二次方程根与系数的关系

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  微专题二　一元二次方程根与系数的关系类型一：已知一根，求另一根及字母系数的问题方法一：先利用根与系数的关系求出另一根，再根据方程的两根及根与系数的关系求出字母系数．方法二：先把已知根代入方程，求出字母系数，再解方程求出另一根．(2020·江西中考改编)若关于x的一元二次方程x2－kx－2＝0的一个根为x＝1，则这个一元二次方程的另一个根为__－2__，k＝__－1__．类型二：求关于两根的代数式的值根与系数关系常见的“五种变形”(1)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；(2)＋＝；(3)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；(4)(x1＋a)(x2＋a)＝x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；(5)x1x＋xx2＝x1x2(x1＋x2).(2021·泸州中考)关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2－m＝0的两实数根x1，x2，满足x1x2＝2，则(x＋2)(x＋2)的值是(B)A．8         B．32　C．8或32       D．16或40类型三：确定方程中待定字母的值或取值范围一元二次方程根与系数的关系常与根的判别式相结合，一般按下面方法解题：1．一元二次方程根的情况  ↓结合根的判别式列出方程或不等式  ↓确定字母的值或取值范围．2．方程的根满足的条件  ↓结合根与系数的关系列出方程或不等式  ↓确定字母的值或取值范围．(2021·十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－4x－2m＋5＝0有两个不相等的实数根．(1)求实数m的取值范围；(2)若该方程的两个根都是符号相同的整数，求整数m的值．【解析】(1)根据题意得Δ＝(－4)2－4(－2m＋5)＞0，解得m＞；(2)设x1，x2是方程的两根，根据题意得x1＋x2＝4＞0，x1x2＝－2m＋5＞0，解得m＜，所以m的范围为＜m＜，∵m为整数，∴m＝1或m＝2，当m＝1时，方程两根都是整数；当m＝2时，方程两根都不是整数，∴整数m的值为1.【变式】(2021·南充中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0.(1)求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且k与都为整数，求k所有可能的值．【解析】(1)∵Δ＝[－(2k＋1)]2－4×(k2＋k)＝1＞0，∴无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根．(2)∵x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，即(x－k)[x－(k＋1)]＝0，解得：x＝k或x＝k＋1.∴一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0的两根为k，k＋1，∴＝＝1＋或＝＝1－，如果1＋为整数，则k为1的约数，∴k＝±1，如果1－为整数，则k＋1为1的约数，∴k＋1＝±1，则k为0或－2.∴整数k的所有可能的值为±1，0或－2.