高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数课时训练

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 A  

【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．

故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。

2.【答案】 B  

【解析】【解答】由题意知： ，即 ，

此时 ，

所以函数恒过定点 ，

故答案为：B
【分析】由整体思想结合指数函数的图象计算出结果即可。

3.【答案】 B  

【解析】【解答】对A， ，A不符合题意；

对B， ，B符合题意；

对C， ，C不符合题意；

对D， ，D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合指数幂的运算法则，从而找出运算正确的选项。

4.【答案】 B  

【解析】【解答】 解得 ，

又函数在 上单调递增，则 ，

故答案为：B

 
【分析】根据指数函数定义，系数为1，解出a值，再根据增函数底大于1，取a=2；

5.【答案】 A  

【解析】【解答】由 ，可知 ， ，

∴ 。

故答案为：A.

 
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性，再结合与特殊值对应的指数的大小关系比较，从而比较出 与 的大小。

6.【答案】 B  

【解析】【解答】解：不等式 恒成立，即 ，即 恒成立，即 恒成立，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 ，

故答案为：B.

【分析】首先根据指数函数的性质，将不等式恒成立转化为 恒成立，利用判别式 ，从而求得实数 的取值范围.

7.【答案】 B  

【解析】【解答】由题意，根据实数指数幂的运算性质，可得 ， ， ，

又由函数 是 上的单调递增函数，

因为 ，所以 ，即 .

故答案为：B

【分析】根据实数指数幂的运算性质，化简得 ， ， ，再结合指数函数的单调性，即可求解.

8.【答案】 A  

【解析】【解答】由 ，

指数函数 为减函数，且

则 ，

所以 的值域是 .

故答案为：A

 
【分析】先利用配方法求出指数的取值范围，然后根据指数函数的单调性求出值域即可。

二、多选题

9.【答案】 A,D  

【解析】【解答】解：由指数幂的运算公式可得 ， ， ，所以AD符合题意，B不符合题意，

对于C，当 为奇数时， ，当 为偶数时， ，所以C不符合题意，

故答案为：AD

 
【分析】由指数幂的运算性质即可得出选项AD正确B不正确，再由指数幂的性质即可得出选项D正确从而得出答案。

10.【答案】 A,B  

【解析】【解答】当 时，指数函数 单调递增，所以在区间 上的最大值 ，最小值 。所以 ，求得 或者 （舍）；

当 时，指数函数 单调递减，所以在区间 上的最大值 ，

，所以所以 ，求得 （舍）或者 .

综上所述： 或者 .

故答案为：AB

【分析】分别讨论 单增和 单减两种不同的情况即可较易求解

11.【答案】 B,C,D  

【解析】【解答】对于A，函数 ，则 ，

，

则 与 不一定相等，A不符合题意；

对于B， ，B符合题意；

对于C， ， ，

，C符合题意；

对于D， ，

，

所以 ，D符合题意.

故答案为：BCD

 
【分析】指数的运算，将f括号里面的内容替换x，再根据指数的运算，得出A错BCD正确。

12.【答案】 A,C,D  

【解析】【解答】因为函数图象经过 点，所以 ，所以 ，A符合题意；

当 ，得 ，当 ，得 ，

所以 ，所以B不符合题意；

当 ，所以C符合题意；

当 ，得 ，当 ，得 ，当 ，得 ，所以 ，所以D符合题意.

故答案为：ACD.

 
【分析】由已知图像结合指数函数模型逐一分析四个选项的答案。

三、填空题

13.【答案】 [32,+∞)  

【解析】【解答】由 ，把 代入，可得 ，解得 ，

由 ，得 ，即 ．

故答案为:

 
【分析】根据条件求出m的值，再根据 求得t的范围。

14.【答案】   

【解析】【解答】令f(x)= 的定义域是{x| },且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于 解得 .
【分析】根据分数指数幂的意义原不等式等价于 接该不等式组即可得到。

15.【答案】   

【解析】【解答】 ， ，

.

故答案为： .

【分析】根据指数幂的运算法则即可求出.

16.【答案】 或   

【解析】【解答】（1）若 ，则函数 在区间 上是递增的，

当 时， 取得最大值 ，即 ，

又 ，∴ .（2）若 ，则函数 在区间 上是递减的，

当 时， 取得最大值 ，

所以 .

综上所述， 的值为 或 .

故答案为： 或

 
【分析】根据题意对a分情况讨论，结合指数函数的单调性即可求出函数的最值再由已知条件即可求出a的值。

四、解答题

17.【答案】 （1）解：   

（2）解：   

【解析】【分析】（1）指数的运算，根据
(2)根据偶次根号里面的数非负，奇次根号无要求，进行化简，去根号.

18.【答案】     （1）∵函数 的图象经过点 ，∴ ，∴ ；
（2）由（1）得 ，在定义域 为增函数，且 ； 

∴ 的值域为 ；

（3）∵因为 是实数集上的增函数，∴ ，解得 ． 

即原不等式的解集为 ．

【解析】【分析】（1）把点   代入   即可求出  
（2） 因为  在定义域内 为增函数   ，即可求出 的值域

（3）根据指数函数的单调性进行求解，即可求出不等式解集

19.【答案】 （1）解：该城市人口总数 （万人）与年份 （年）的函数关系式为
（2）解：当   时，得 （万人）
（3）解：设经过   年后该城市人口总数将达到120万人，则  

， ，两边取以 底的对数得 ，代入题目所给数据，解得  

即经过16年后该城市人口总数将达到120万人

【解析】【分析】（1）利用指数函数模型，写出 与 的函数关系式.（2）令 代入（1）中求得的函数解析式，由此求得 年后该城市人口总数.（3）令 代入（1）中求得的函数解析式，根据题目所给数据求得 的值，由此判断大约需要的年份.

20.【答案】 （1）解：由于函数 图像经过 ， ，所以 ，解得 ，所以 .
（2）解：原不等式 为 ，即 在 时恒成立，而 在 时单调递减，故在 时 有最小值为 ，故 .所以实数 的取值范围是 .  

【解析】【分析】（1）利用函数图像上的两个点的坐标列方程组，解方程组求得 的值.（2）将原不等式分离常数 ，利用函数的单调性，求出 的取值范围.

21.【答案】 （1）解：函数y=ax(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为20，

∴a＋a2=20，得a=4或a=−5(舍去)

（2）解：由（1）知 ，

∴ （3）求 的值．

解：由（2）知 ，

，

…

，

∴

【解析】【分析】(1)由指数函数的最值的和为20,得到关于a的方程求a的值;
(2)由f(x)的解析式证明f  (  x  )  +  f  (  1  −  x  )=1;
(3)由(2)的结论用倒序相加法求和.

22.【答案】 （1）解：当a=﹣1时，f（x）= ，

令g（x）=﹣x2﹣4x+3，

由于g（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，+∞）上单调递减，

而y= t在R上单调递减，

所以f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上 单调递增，

即函数f（ x）的递增区间是（﹣2，+∞），递减区间是（﹣∞，﹣2 ）．

（2）解：令h（x）=ax2﹣4x+3，y= h（x）  ， 由于f（x）有最大值3，

所以 h（x）应有最小值﹣1，

因此 =﹣1，解得a=1．

即当f（x）有最大值3时，a的值等于1．

（3）解：由指数函数的性质知，要使y=h（x）的值域为（0，+∞）．

应使h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，

因此只能有a=0．

因为若a≠0，则h（x）为二次函数，其值域不可能为R．

故 a的取值范围是{0}．

【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）= ,根据复合函数的单调性（同增异减）即可判断出f（x）的单调区间，（2）令h（x）=ax2﹣4x+3，y=  ， 当f（x）有最大值3，则h（x）应有最小值﹣1，代入即可解得a=1，（3）根据指数函数的性质，若y=h（x）的值域为（0，+∞），则h（x）=ax2﹣4x+3的值域为R，分析讨论即可得出a的取值范围是{0}．