教科版 (2019)必修 第一册第三章 相互作用本章综合与测试学案

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一、动态平衡问题
1．动态平衡：平衡问题中的一部分力是变力，是动态力，力的大小和方向缓慢变化，所以叫动态平衡，这是力平衡问题中的一类难题．
2．基本方法：解析法、图解法和相似三角形法．
3．处理动态平衡问题的一般步骤
(1)解析法：
①列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式．
②根据已知量的变化情况确定未知量的变化情况．
(2)图解法：
①适用情况：物体只受三个力作用，且其中一个力的大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化．
②一般步骤：a.首先对物体进行受力分析，根据三角形定则将表示三个力的有向线段依次画出构成一个三角形(先画出大小、方向均不变的力，再画方向不变的力，最后画大小、方向均变化的力)．b.根据第三个力(方向变化的力)的方向变化情况，在图中作出三角形．c.比较第二个力、第三个力的大小变化情况．
质量为m的物体用轻绳AB悬挂于天花板上．用水平向左的力F缓慢拉动绳的中点O，如图1所示．用T表示OA段绳的拉力大小，在O点向左移动的过程中( )
图1
A．F逐渐变大，T逐渐变大
B．F逐渐变大，T逐渐变小
C．F逐渐变小，T逐渐变大
D．F逐渐变小，T逐渐变小
答案 A
解析 解法一 解析法
以O点为研究对象，受力如图所示，当用水平向左的力缓慢拉动O点时，绳OA与竖直方向的夹角θ变大，由共点力的平衡条件知：T＝eq \f(mg,cs θ)，F＝mgtan θ，所以F逐渐变大，T逐渐变大，选项A正确．
解法二 图解法
先画出重力，再画拉力F，最后画出绳的拉力
T构成一个矢量三角形．由题意知T的方向与竖直方向夹角增大，改变绳子拉力T的方向，由图可知F增大，T增大．
针对训练 (多选)用绳OA、OB悬挂一个重物，BO水平，O为半圆形支架的圆心，悬点A和B在支架上．悬点A固定不动，将悬点B从图2所示位置逐渐移动到C点的过程中，绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况是( )
图2
A．OA绳上的拉力逐渐减小
B．OA绳上的拉力先减小后增大
C．OB绳上的拉力逐渐增大
D．OB绳上的拉力先减小后增大
答案 AD
解析 将OA绳、OB绳的拉力合成，其合力与重物重力等大反向，逐渐改变OB绳拉力的方向，使TB与竖直方向的夹角变小，得到多个平行四边形，如图所示，由图可知TA逐渐减小，且方向不变，而TB先减小后增大，且方向不断改变，当TB与TA垂直时，TB最小，故A、D正确．
二、整体法和隔离法在平衡问题中的应用
当系统处于平衡状态时，组成系统的每个物体都处于平衡状态，选取研究对象时要注意整体法和隔离法的结合．一般地，当求系统内部间的相互作用时，用隔离法；求系统受到的外力时，用整体法，具体应用中，应将这两种方法结合起来灵活运用．
(多选)(2020·佛山市高一上期末)如图3所示，斜面体质量为M，倾角为θ，小方块质量为m，在水平推力F作用下，斜面体和小方块整体向左做匀速直线运动，各接触面之间的动摩擦因数都为μ，重力加速度为g，则( )
图3
A．斜面体对小方块的支持力为mgcs θ
B．地面对斜面的支持力大小为(M＋m)g
C．斜面体对小方块的摩擦力大小为μmgcs θ
D．地面对斜面体的摩擦力大小为μMg
答案 AB
解析 以整体为研究对象，地面对斜面体的支持力大小为N＝(M＋m)g，根据摩擦力的计算公式可得地面对斜面体的摩擦力大小为f1＝μN＝μ(M＋m)g，故B正确，D错误；斜面体对小方块的摩擦力为静摩擦力，摩擦力大小为f2＝mgsin θ，故C错误．斜面体对小方块的支持力等于小方块的重力垂直斜面的分力，N1＝mgcs θ，故A正确．
有一个固定直角支架AOB，AO水平放置，表面粗糙，OB竖直，表面光滑．AO上套有小环P，OB上套有小环Q，两环质量均为m，两环由一根质量可忽略、不可伸长的细绳相连，并在某一位置平衡(如图4所示)．现将P环向左移动一小段距离，两环再次达到平衡，那么将移动后的平衡状态和原来的平衡状态比较，AO杆对P环的支持力N和摩擦力f的变化情况是( )
图4
A．N变小，f变大 B．N不变，f变小
C．N变大，f变大 D．N变大，f变小
答案 B
解析 对小环Q受力分析，受到重力mg、支持力N′和拉力T，如图甲所示，根据共点力平衡条件得T＝eq \f(mg,cs θ)，N′＝mgtan θ(也可用图解法分析)，再对P、Q整体受力分析，受到总重力2mg、AO杆的支持力N、向右的静摩擦力f、OB杆的支持力N′，如图乙所示，根据共点力平衡条件，有N′＝f，N＝2mg，当P环向左移一小段距离，θ变小，N′变小，则静摩擦力f变小，AO杆的支持力N不变，故选项B正确．
三、平衡中的临界问题
1．问题界定：物体所处平衡状态将要发生变化的状态为临界状态，涉及临界状态的问题为临界问题．
2．问题特点
(1)当某物理量发生变化时，会引起其他几个物理量的变化．
(2)注意某现象“恰好出现”或“恰好不出现”的条件．
3．分析方法：基本方法是假设推理法，即先假设某种情况成立，然后根据平衡条件及有关知识进行论证、求解．
倾角为θ的斜面固定在水平面上，斜面上有一重为G的物体A，物体A与斜面间的动摩擦因数为μ，且μ图5
答案 eq \f(sin θ－μcs θ,cs θ＋μsin θ)G≤F≤eq \f(sin θ＋μcs θ,cs θ－μsin θ)G
解析 由于静摩擦力的大小可在0～f静max间变化，且方向可能沿斜面向上，也可能沿斜面向下，所以所求的推力应是一个范围．因为μ则沿斜面方向，有Fmincs θ＋f静max－Gsin θ＝0
垂直于斜面方向，有N－Gcs θ－Fminsin θ＝0
又f静max＝μN
解得Fmin＝eq \f(sin θ－μcs θ,cs θ＋μsin θ)G
设推力的最大值为F静max，此时最大静摩擦力f静max′沿斜面向下，受力分析如图乙所示，
沿斜面方向，有F静maxcs θ－Gsin θ－f静max′＝0
垂直于斜面方向，有N′－Gcs θ－F静maxsin θ＝0
又fmax′＝μN′
解得Fmax＝eq \f(sin θ＋μcs θ,cs θ－μsin θ)G
所以物体能在斜面上静止的条件为
eq \f(sin θ－μcs θ,cs θ＋μsin θ)G≤F≤eq \f(sin θ＋μcs θ,cs θ－μsin θ)G.
解决临界问题时应注意：
1．首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡中的临界点．
2．临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是把某个物理量推向极端，即极大或极小，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论．
1．(动态平衡问题)(多选)如图6所示，用竖直挡板将光滑小球夹在挡板和斜面之间，若逆时针缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，以下说法正确的是( )
图6
A．挡板对小球的压力先增大后减小
B．挡板对小球的压力先减小后增大
C．斜面对小球的支持力先减小后增大
D．斜面对小球的支持力一直逐渐减小
答案 BD
解析 取小球为研究对象，小球受到重力G、挡板对小球的支持力N1和斜面对小球的支持力N2三个力作用，如图所示，N1和N2的合力与重力大小相等，方向相反，N2总垂直于接触面(斜面)，方向不变，根据图解可以看出，在N1方向改变时，其大小(箭头)只能沿PQ线变动．故在挡板移动过程中，N1先变小后变大，N2一直减小．
2.(整体法与隔离法的运用)(2020·广州外国语学校高一上段考)用轻质细线把两个质量未知的小球悬挂起来，如图7所示．对小球a持续施加一个水平向左的恒力，并对小球b持续施加一个水平向右的同样大小的恒力，最后达到平衡状态．下列选项中表示平衡状态的图可能是( )
图7
答案 A
解析 将两球和两球之间的细线看成一个整体，对整体受力分析如图所示，整体达到平衡状态．根据平衡条件可知整体受到a球上方的细线的拉力F线的大小等于a、b的重力大小之和，方向沿竖直方向，故此细线必定沿竖直方向，故A正确．
3.(平衡中的临界问题)如图8，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．则A与B的质量之比为( )
图8
A.eq \f(1,μ1μ2) B.eq \f(1－μ1μ2,μ1μ2)
C.eq \f(1＋μ1μ2,μ1μ2) D.eq \f(2＋μ1μ2,μ1μ2)
答案 B
解析 B恰好不下滑时，以滑块B为研究对象，μ1F＝mBg，又因为A恰好不滑动，以A、B整体为研究对象，则F＝μ2(mAg＋mBg)，所以eq \f(mA,mB)＝eq \f(1－μ1μ2,μ1μ2)，选项B正确．
4．(整体法与隔离法的运用)如图9所示，一球A夹在竖直墙与等腰三角劈B的斜面之间，三角劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面和竖直墙面是光滑的，设劈所受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．问：欲使三角劈B静止不动，球A的重力不能超过多少？
图9
答案 eq \f(μ,1－μ)G
解析 选A、B整体为研究对象，受力情况如图甲所示，
其中N1为地面对B的支持力，N2为墙对A的支持力，整体恰好不动时，有N1＝GA＋G①
N2＝f静max②
f静max＝μN1③
选A为研究对象，受力分析如图乙所示
其中N3为B对A的支持力，
A静止不动，有N3sin 45°＝GA④
N3cs 45°＝N2⑤
由①②③④⑤得：GA＝eq \f(μ,1－μ)G.
考点一 动态平衡问题
1．(2020·鹤岗一中高一上学期期末)如图1所示，用绳索将重球挂在墙上，不考虑墙的摩擦，如果把绳的长度增加一些，则绳对球的拉力T和墙对球的支持力N的变化情况是( )
图1
A．T增大，N减小
B．T减小，N增大
C．T和N都减小
D．T和N都增大
答案 C
解析 由图解法可知绳对球的拉力T减小，墙对球的支持力N减小，C正确．
2．光滑斜面上固定着一根刚性圆弧形细杆，小球通过轻绳与细杆相连，此时轻绳处于水平方向，球心恰好位于圆弧形细杆的圆心处，如图2所示．将悬点A缓慢沿杆向上移动，直到轻绳处于竖直方向，在这个过程中，轻绳的拉力( )
图2
A．逐渐增大
B．大小不变
C．先减小后增大
D．先增大后减小
答案 C
解析 以小球为研究对象，分析受力情况：小球受到重力、斜面的支持力N和轻绳的拉力T，如图所示．由平衡条件得知，N和T的合力与G大小相等、方向相反，在将A点向上缓慢移动，使绳绕圆心逆时针转动的过程中，作出力的合成图，由图得出，T先减小后增大，C正确．
3.如图3，光滑的四分之一圆弧轨道AB固定在竖直平面内，A端与水平面相切．穿在轨道上的小球在拉力T作用下，缓慢地由A向B运动T始终沿轨道的切线方向，轨道对球的弹力为N.在运动过程中( )
图3
A．T增大，N增大
B．T减小，N减小
C．T增大，N减小
D．T减小，N增大
答案 C
解析 对小球进行受力分析，它受到重力、支持力和拉力的作用，如图所示：
根据共点力平衡条件有：
N＝mgcs θ，
T＝mgsin θ，
其中θ为支持力N与竖直方向的夹角，当物体向上移动时，θ变大，故N减小，T增大．
4.如图4所示，一小球放置在木板与竖直墙面之间．设墙面对球的压力大小为N1，木板对小球的支持力大小为N2.以木板与墙连接点为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置．不计摩擦，在此过程中( )
图4
A．N1始终减小，N2始终增大
B．N1始终减小，N2始终减小
C．N1先增大后减小，N2始终减小
D．N1先增大后减小，N2先减小后增大
答案 B
解析 小球受重力G、墙面对球的压力N1、木板对小球的支持力
N2而处于平衡状态．由平衡条件知N1、N2的合力与G等大、反向，θ增大时，画出多个平行四边形，如图，由图可知在θ增大的过程中，N1始终减小，N2始终减小．选项B正确．
5.如图5所示是给墙壁粉刷涂料用的涂料滚的示意图，使用时，用撑杆推着粘有涂料的涂料滚沿墙上下缓慢滚动，把涂料均匀地粉刷到墙上，撑杆的重力和墙壁的摩擦均不计，且撑杆足够长，粉刷工人站在离墙壁一定距离处缓缓向上推涂料滚，设该过程中撑杆对涂料滚的推力为F1，墙壁对涂料滚的支持力为F2，则( )
图5
A．F1增大，F2减小 B．F1增大，F2增大
C．F1减小，F2减小 D．F1减小，F2增大
答案 C
解析 涂料滚沿墙壁缓慢向上滚动的过程中，处于动态平衡，合力为零，分析涂料滚受力，如图所示，涂料滚向上滚动的过程中，θ角变小，则F1和F2均变小，C正确．
考点二 整体法与隔离法的运用
6.(多选)(2020·泰安一中期中)如图6所示，物体m通过光滑定滑轮牵引粗糙水平面上的物体沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体始终静止，斜面体质量为M，重力加速度为g，则水平地面对斜面体( )
图6
A．支持力为(M＋m)g B．没有摩擦力
C．支持力小于(M＋m)g D．有水平向右的摩擦力
答案 CD
解析 设绳子上的拉力为T，选M和m组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由平衡条件可以判断，M必受到沿水平面向右的摩擦力；假设斜面的倾角为θ，则：N＋Tsin θ＝(M＋m)g，所以支持力N小于(M＋m)g，故C、D正确，A、B错误．
7.(多选)如图7所示，质量分别为m1、m2的两个物体通过轻弹簧连接，在力F的作用下一起沿水平方向做匀速直线运动(m1在地面，m2在空中)，力F与水平方向成θ角，重力加速度为g，则m1所受支持力N和摩擦力f正确的是( )
图7
A．N＝m1g＋m2g－Fsin θ
B．N＝m1g＋m2g－Fcs θ
C．f＝Fcs θ
D．f＝Fsin θ
答案 AC
解析 对整体受力分析，如图所示，由正交分解法可知，f＝Fcs θ，N＝m1g＋m2g－Fsin θ，A、C正确．
8．(多选)如图8所示，在粗糙水平面上放置一质量为M的斜面体，质量为m的木块在竖直向上的力F作用下沿斜面匀速下滑，此过程中斜面体保持静止，重力加速度为g，则地面对斜面体( )
图8
A．无摩擦力
B．有水平向左的摩擦力
C．支持力大小为(M＋m)g
D．支持力小于(M＋m)g
答案 AD
解析 对木块和斜面体整体受力分析，受到拉力F、重力(M＋m)g、支持力N，根据共点力平衡条件，竖直方向上有N＋F－(M＋m)g＝0，解得N＝(M＋m)g－F＜(M＋m)g；水平方向上不受力，故没有摩擦力，选项A、D正确．
9．(多选)如图9，一光滑的轻滑轮用细绳OO′悬挂于O点；另一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块a，另一端系一位于水平粗糙桌面上的物块b.外力F向右上方拉b，整个系统处于静止状态．若F方向不变，大小在一定范围内变化，物块b仍始终保持静止，则( )
图9
A．细绳OO′的张力也在一定范围内变化
B．物块b所受到的支持力也在一定范围内变化
C．连接a和b的绳的张力也在一定范围内变化
D．物块b与桌面间的摩擦力也在一定范围内变化
答案 BD
解析 由于物块a、b均保持静止，各细绳角度保持不变，对a受力分析得，绳对a的拉力Ta＝mag，所以物块a受到绳的拉力保持不变．滑轮两侧绳的拉力大小相等，所以b受到绳的拉力大小、方向均保持不变，C选项错误；a、b受到绳的拉力大小、方向均不变，所以OO′的张力不变，A选项错误；对b进行受力分析，如图所示．由平衡条件得：Tcs β＋f＝Fcs α，Fsin α＋N＋Tsin β＝mbg.其中T、mbg、β和α始终不变，当F大小在一定范围内变化时，支持力N在一定范围内变化，B选项正确；摩擦力也在一定范围内发生变化，D选项正确．
10．如图10所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA＞mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦力均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳(足够长)与水平方向的夹角θ的变化情况是( )
图10
A．物体A的高度升高，θ角不变
B．物体A的高度降低，θ角变小
C．物体A的高度升高，θ角变大
D．物体A的高度不变，θ角变小
答案 A
解析 最终平衡时，绳的拉力T大小仍为mAg，由共点力平衡条件可得2Tsin θ＝mBg，故θ不变，但因悬点由Q移到P，定滑轮左侧部分绳子变长，故A应升高，所以A正确．
11．如图11所示，质量为m＝0.5 kg的光滑小球被细线系住，放在倾角为α＝45°的斜面体上．已知线与竖直方向的夹角β＝45°，斜面体质量为M＝3 kg，整个装置静置于粗糙水平面上．(g取10 N/kg)求：
图11
(1)细线对小球拉力的大小；
(2)地面对斜面体的摩擦力的大小和方向．
答案 (1)eq \f(5\r(2),2) N (2)2.5 N 方向水平向左
解析 (1)以小球为研究对象，受力分析如图甲所示．
根据平衡条件得，T与N的合力大小等于mg，则
T＝mgcs 45°＝eq \f(\r(2),2)mg＝eq \f(5\r(2),2) N
(2)以小球和斜面体整体为研究对象，受力分析如图乙所示，由于系统静止，合力为零，则有：
f＝Tcs 45°＝eq \f(5\r(2),2)×eq \f(\r(2),2) N＝2.5 N，方向水平向左．
12．很多人开车时喜欢用智能手机的导航功能，于是一种“车载磁吸手机支架”受到人们的喜爱，如图12甲所示，支架的吸盘具有磁性，会牢牢吸附固定手机．图乙是手机吸附在支架上的侧视示意图(支架相当于倾角为θ的斜面)．若手机质量m＝200 g，支架倾角θ＝53°，手机与支架接触面上的动摩擦因数μ＝0.3，手机和支架均处于静止状态，支架和手机间的最大静摩擦力与滑动摩擦力近似相等．(sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6，g取10 m/s2)
图12
(1)若没有磁吸力，通过计算说明，手机会不会滑下来；
(2)若二者间的磁吸力F＝6 N，求支架对手机的弹力和摩擦力的大小．
答案 (1)手机会滑下来 (2)7.2 N 1.6 N
解析 (1)以手机为研究对象，受力分析如图所示
将重力沿斜面方向和垂直斜面方向分解，可得N＝mgcs θ
最大静摩擦力f静max＝f＝μN
代入数据可得f静max＝0.36 N
而mgsin θ＝1.6 N，mgsin θ＞f静max
所以手机会滑下来．
(2)以手机为研究对象，受力分析如图所示
将重力沿斜面方向与垂直斜面方向分解后可得N′＝mgcs θ＋F
f′＝mgsin θ
解得N′＝7.2 N，f′＝1.6 N
根据f静max′＝μN′可得f静max′＝2.16 N
f′＜f静max′
故物体受到静摩擦力大小为1.6 N.