2020-2021学年辽宁省沈阳高二（下）期中考试数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年辽宁省沈阳高二（下）期中考试数学试卷人教A版，共11页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 数列{an}满足a1=12,1an+1−1=1an−1−1(n∈N∗) ，则a10=( )
A.910 B.109 C.1011 D.1110

2. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9=81，S6=36，则S3=( )
A.−9B.9C.−92D.−3

3. 在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则2a10−a12的值为( )
A.20B.22C.24D.28

4. 等比数列{an}满足an>0，n∈N+，且a3⋅a2n−3=22nn≥2，则当n≥1时， lg2a1+lg2a2+…+lg2a2n−1=( )
A.n2n−1B.n+12C.n2D.n−12

5. 函数f(x)的定义域为(a, b)，导函数f′(x)在(a, b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a, b)内有极小值点( )

A.1个B.2个C.3个D.4个

6. 若函数f(x)=x2+ax+1在x=1处取得极值，则a等于( )
A.−5B.−2C.1D.3

7. 曲线f(x)=x2+x−2ex在点(0,f(0))处切线的斜率为( )
A.2B.1C.−1D.−2

8. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(1)+lnx，则f′(1)=( )
A.−eB.1C.−1D.e
二、多选题

已知数列an是等比数列，公比为q，前n项和为Sn，下列判断正确的有( )
A.{1an}为等比数列B.lg2an 为等差数列
C.{an+an+1}为等比数列D.anan+1 为等比数列

已知数列{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
A.数列{an2}是等比数列
B.若a3=2，a7=32，则a5=±8
C.若a10，x0>0，所以c1，故B错误；
C，由A选项的分析过程可知a=b+1，
故4a−1b=4b+1−1b=3b−1b2+b.
令fb=3b−1b2+b，b∈0,+∞，
则f′b=3b2+b−3b−12b+1b2+b2
=−b−13b+1b2+b2，
当01时，f′b0，
得2x2−2x−4>0，即x2−x−2>0，解得x>2或x0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得d=2，q=2．
所以an=1+(n−1)d=2n−1，bn=qn−1=2n−1．
(2)由(1)易知anbn=2n−12n−1，
Sn=1+321+522+…+2n−32n−2+2n−12n−1，①
2Sn=2+3+52+…+2n−32n−3+2n−12n−2，②
由②−①得：Sn=2+2+22+222+…+22n−2−2n−12n−1
=2+2×(1+12+122+…+12n−2)−2n−12n−1
=2+2×1−12n−11−12−2n−12n−1
=6−2n+32n−1．
【考点】
数列的求和
等比数列的通项公式
等差数列的通项公式
【解析】
(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，然后根据条件建立方程组，解之即可求出d与q，从而求出{an}，{bn}的通项公式；
(2)根据数列{anbn}的通项公式的形式可知利用错位相消法进行求和即可求出Sn=6−2n+32n−1，可证得结论．
【解答】
解：(1)设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
则依题意有q>0且1+2d+q4=21,1+4d+q2=13,
解得d=2，q=2．
所以an=1+(n−1)d=2n−1，bn=qn−1=2n−1．
(2)由(1)易知anbn=2n−12n−1，
Sn=1+321+522+…+2n−32n−2+2n−12n−1，①
2Sn=2+3+52+…+2n−32n−3+2n−12n−2，②
由②−①得：Sn=2+2+22+222+…+22n−2−2n−12n−1
=2+2×(1+12+122+…+12n−2)−2n−12n−1
=2+2×1−12n−11−12−2n−12n−1
=6−2n+32n−1．
【答案】
解：(1)由a1=1，Sn=n+23an，可得S2=2+23a2，
∴a1+a2=43a2，
∴a2=3.
又S3=3+23a3，
∴a1+a2+a3=53a3，
∴ a3=6；
(2)当n≥2时，Sn=n+23an，①
Sn−1=n+13an−1，②
①−②可得Sn−Sn−1=n+23an−n+13an−1，
即an=n+23an−n+13an−1，
即n−13an =n+13an−1，
∴anan−1=n+1n−1，
故有an=anan−1⋅an−1an−2⋅ ⋯ ⋅a2a1⋅a1
=n+1n−1⋅nn−2⋅ ⋯ ⋅31⋅1=n2+n2．
而12+12=1=a1，
所以an的通项公式为an=n2+n2．
【考点】
数列递推式
【解析】


【解答】
解：(1)由a1=1，Sn=n+23an，可得S2=2+23a2，
∴a1+a2=43a2，
∴a2=3.
又S3=3+23a3，
∴a1+a2+a3=53a3，
∴ a3=6；
(2)当n≥2时，Sn=n+23an，①
Sn−1=n+13an−1，②
①−②可得Sn−Sn−1=n+23an−n+13an−1，
即an=n+23an−n+13an−1，
即n−13an =n+13an−1，
∴anan−1=n+1n−1，
故有an=anan−1⋅an−1an−2⋅ ⋯ ⋅a2a1⋅a1
=n+1n−1⋅nn−2⋅ ⋯ ⋅31⋅1=n2+n2．
而12+12=1=a1，
所以an的通项公式为an=n2+n2．
【答案】
(1)证明：由题设知4an+1=3an−bn+4①，4bn+1=3bn−an−4②，
由①+②得，4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，
即an+1+bn+1an+bn=12，
又因为a1+b1=1，
所以an+bn是首项为1，公比为12的等比数列；
由①−②得，4an+1−bn+1=4an−bn+8，
即an+1−bn+1=an−bn+2，
又因为a1−b1=1，
所以an−bn是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)解：由(1)得，an+bn=12n−1③，an−bn=2n−1④，
由③+④得，an=12an+bn+an−bn=12n+n−12，
代入④，得bn=an−2n+1=12n−n+12.
【考点】
等比关系的确定
等差关系的确定
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：由题设知4an+1=3an−bn+4①，4bn+1=3bn−an−4②，
由①+②得，4(an+1+bn+1)=2(an+bn)，
即an+1+bn+1an+bn=12，
又因为a1+b1=1，
所以an+bn是首项为1，公比为12的等比数列；
由①−②得，4an+1−bn+1=4an−bn+8，
即an+1−bn+1=an−bn+2，
又因为a1−b1=1，
所以an−bn是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)解：由(1)得，an+bn=12n−1③，an−bn=2n−1④，
由③+④得，an=12an+bn+an−bn=12n+n−12，
代入④，得bn=an−2n+1=12n−n+12.
【答案】
解：(1)∵ f(x)=−x2+ax+1−lnx，
∴ f′(x)=−2x+a−1x(x>0)，
∵ 函数f(x)在x=1处取得极值，
∴ f′(1)=−2+a−1=0，解得a=3．
∴ f(x)=−x2+3x+1−lnx，
∴ f′(x)=−2x+3−1x(x>0)，
∴ f(2)=−4+6+1−ln2=3−ln2，f′(2)=−4+3−12=−32，
∴ 函数f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y=−32x+6−ln2．
(2)由(1)知f′(x)=−2x+3−1x(x>0)，
令f′(x)>0，即−2x+3−1x>0，
解得120，从而结论得证．
【解答】
(1)解：∵ f′(x)=ex−1x+m，x=0是f(x)的极值点，
∴ f′(0)=1−1m=0，解得m=1，
∴函数f(x)=ex−ln(x+1)，
其定义域为(−1，+∞)．
∵ f′(x)=ex−1x+1=ex(x+1)−1x+1．
设g(x)=ex(x+1)−1，
则g′(x)=ex(x+1)+ex>0，
所以g(x)在(−1，+∞)上为增函数.
又∵ g(0)=0，
∴当x>0时，g(x)>0，即f′(x)>0，
当−1