2021年江苏省常州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年江苏省常州市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.用配方法解一元二次方程 时，原方程可变形为〔  〕
A.                     B.                     C.                     D. 
2.关于x的方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是〔　　〕
A. k＜1                                  B. k＞1                                  C. k＜－1                                  D. k＞－1
3.方程 的两根为 、 ，那么 等于〔    〕
A. -6                                          B. 6                                          C. -3                                          D. 3
4.以下命题:
①圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合；
②一个三角形只有一个内切圆；
③和半径垂直的直线是圆的切线；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.
其中假命题有〔   〕
A. 个                                     B. 个                                     C. 个                                     D. 个
5.如图， 分别是 的直径和弦， 于点 连接 .假设 ，那么 的长是〔  〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
6.如图， 是 的直径， 是 的弦，且 与 交于点 ，连接 .假设 那么 的度数是〔  〕

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
7.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，那么小道的宽为多少米？假设设小道的宽为 米，那么根据题意，列方程为〔    〕

A.                       B. 
C.                                     D. 
8.如图，在 中，点 在弦 上移动，连接 过点 作 交 于点 .假设 那么 的最大值是〔  〕

A.                                           B.                                           C.                                           D. 
二、填空题
9.一元二次方程 的根是       ．
10.假设关于 的一元二次方程 有实根，那么 的值可以是      .〔写出一个即可〕
11.关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，那么k=       ．

12.某农场的粮食产量在两年内从增加 到 那么平均每年增产的百分率是      .
13.方程 有一个根是 ，那么       .
14.如图， 是 的外接圆，直径 ， ，那么 长为      .

15.如图， 是 的直径， 是 的切线，连接 交 于点 ，连接 .假设 ，那么 的度数是       .

16.假设圆锥的底面半径是 圆锥的侧面积是 ，那么母线长是       .
17.如图，点 是半圆 上一点，将弧 沿弦 折叠后恰好经过点 假设半圆 的半径是 那么图中阴影局部的面积是      .

18.如图，点 是正方形 的中心， 与 相切于点 ，连接 假设 ，那么 的面积是      .

三、解答题
19.  
〔1〕.；
〔2〕.
〔3〕.
〔4〕.
20.设 是一个直角三角形的两条直角边的长，且 ，求这个直角三角形的斜边长 的值.
21.某种品牌的衬衫，进货时的单价为 元.如果按每件 元销售，可销售 件;售价每提高 元，其销售量就减少 件.假设要获得 元的利润，那么每件的售价为多少元?
22.如图， .

〔1〕.请在图中用无刻度的直尺和圆规作一个圆，使得圆心 在边 上，且与边 所在直线相切〔不写作法，保存作图痕迹〕;
〔2〕.在〔1〕的条件下，假设 ，求 的半径.
23.在 中，弦 与直径 相交于点 .
〔1〕.如图1，假设 ，求 和 的大小;

〔2〕.如图2，假设 ，过点 作 的切线，与 的延长线相交于点 ，求 的大小.

24.:如图，在 中， 点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，同时点 从点 出发沿 以 的速度向点 运动，当点 到达终点时，点 也随即停止运动，设点 的运动时间为 .以点 为圆心， 长为半径作 .

〔1〕.假设 ，求 的值;
〔2〕.假设 与线段 有唯一公共点，求 的取值范围.
25.在平面直角坐标系 中， 的半径为 .对于图形 ，给出如下定义： 为图形 上任意一点， 为 上任意一点，如果 两点之间的距离有最大值，那么称这个最大值为图形 的“圆距〞，记作 .如图，点 .

〔1〕.直接写出 〔点 〕的值；
〔2〕.设 是直线 上一点，以为 圆心， 长为半径作 .假设 满足 ，求圆心 的横坐标 的取值范围；
〔3〕.过点 画直线 与 轴交于点 ，当 〔线段 〕取最小值时，直接写出 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】 解：


故答案为：A.
【分析】由于含未知数的项都在方程的左边，常数项在方程的右边，而且二次项的系数,为1，故可在方程的两边直接加上一次项系数一半的平方4，将左式配方，然后利用直接开平方法解一元二次方程即可.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
即△=〔-2〕2-4k＞0，解得k＜1
故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于k的不等式，解之即可求解.
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵由于 ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】利用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系可求解。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：①圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合，真命题；
②一个三角形只有一个内切圆，真命题；
③和半径垂直的直线是圆的切线，假命题，如果要是圆的切线还需保证圆心到该直线的距离等于圆的半径；
④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，真命题；
假命题只有1个.
故答案为：A.
【分析】圆是旋转对称图形，根据旋转对称图形的性质即可判断①；任意三角形都有内心，内心即是三角形内切圆的圆心，即可判断 ② ；根据切线的判定定理即可判断③；三角形的外心即三角形外接圆的圆心，该圆的圆心到三个顶点的距离相等，即可判断④.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴ ，
∵OD⊥AC，
∴CD=AD= AC=4，
在Rt△CBD中， .
故答案为：C.
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB为直角，那么用勾股定理求出BC，然后由垂径定理求出CD，在Rt△CBD中，利用勾股定理求出BD即可.
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图：连接BD，

∵ ∠AOD=40°，
∴∠DOB=180°-40°=140°，
∴ ∠DCB= ∠DOB=70°，
∵ CB=CD，
∴ ∠CBD=∠CDB=55°，
∵DO=BO，
∴∠ODB=∠OBD=20°，
∴∠CDO=∠CBO，
∴∠CDO=∠CDB-∠ODB=35°，
故答案为：B.
【分析】连接BD，根据邻补角的定义求出∠DOB，然后根据同弧圆周角和圆心角的关系求∠DCB，再根据等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理，分别求出∠CDB和∠ODB，最后利用角的和差关系即可解答.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：如图，设小道的宽为 ，
那么种植局部的长为 ，宽为
由题意得： ．
故答案为：C．

【分析】把阴影局局部别移到矩形的上边和左边，可得种植面积为一个矩形，根据种植的面积为600列出方程即可．
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：连接OD，如图，

∵CD⊥OC，
∴∠DCO=90∘，
∴CD= ，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，
∴CD=CB= AB= ×2=1.
即CD的最大值为1.
故答案为：D.
【分析】连接OD，利用勾股定理把CD表示出来，由于当OC的值最小时，CD的值最大，根据垂线段最短得出OC⊥AB时，OC最小，由于此时D、B两点重合，根据垂径定理求出CD即可.
二、填空题
9.【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ x=0或x-1=0，
解得 ， ，
故答案为： ，
【分析】先求出 x=0或x-1=0，再计算求解即可。
10.【答案】 1〔答案不唯一〕
【解析】【解答】解：假设关于x的一元二次方程 有实根，
那么 ，所以c的值可以是1〔答案不唯一〕.
故答案为：1〔答案不唯一〕.
【分析】根据完全平方式是一个非负数可知，c也是一个非负数，即可解答.
11.【答案】
【解析】【解答】

∵关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根，
∴.
【分析】考查一元二次方程根的判别式.
12.【答案】
【解析】【解答】解：设平均每年增产的百分率为x；
第一年粮食的产量为：3000〔1+x〕；
第二年粮食的产量为：3000〔1+x〕〔1+x〕=3000〔1+x〕2；
依题意，可列方程：3000〔1+x〕2=3630；
解得：x=-2.1〔舍去〕或x=0.1=10%
故答案为：10%.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束到达的量，根据公式列出方程求解即可.
13.【答案】 1
【解析】【解答】解：把x=1代入得：
1-m+n=0
m-n=1
故答案为：1.
【分析】根据一元二次方程根的意义，把x=1直接代入原方程，即可解答.
14.【答案】
【解析】【解答】解：如图，连结CD，

∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，
∴∠DAC=∠ADC=45°，
∴AC=CD.
在Rt△ADC中，
AC2+CD2=AD2 ， 2AC2=42 ，
解得AC= 2.
故答案为：2 .
【分析】根据直径所对的圆周角为90°，同弧所对圆周角相等易得△ACD为等腰直角三角形，再用勾股定理AC²+CD²=AD²解答.
15.【答案】 25
【解析】【解答】解：∵ 是 的切线，
∴∠OAC=90°
∵ ，
∴∠AOD=50°，
∴∠B= ∠AOD=25°
故答案为：25.
【分析】由切线可得∠OAC=90°，由三角形内角和为180°可得∠AOC=50°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出∠B的度数.
16.【答案】
【解析】【解答】解：根据公式，圆锥母线长 ，
故答案为：5.
【分析】根据圆锥的侧面积=侧面的弧长×母线长=底面圆的周长×母线长代入数据解答即可.
17.【答案】 .
【解析】【解答】解：如图：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，

 
∵半圆O沿BC所在的直线折叠，圆弧BC恰好过圆心O，
∴ED＝EO，
∴OE＝ OB，
∴∠OBC＝30°，即∠ABC＝30°，
∴∠AOC=60°；
∵OC＝OB，
∴弓形OC的面积＝弓形OB的面积，
∴S阴影局部＝S扇形OAC＝ .
故答案为：π.
【分析】由折叠的性质得OE=DE=OD=OB，得∠ABC=30°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠AOC=60°，由OC=OB得弓形OC的面积＝弓形OB的面积，利用割补法知S阴影局部＝S扇形OAC，进而根据扇形面积计算公式即可算出答案.
18.【答案】 25
【解析】【解答】解：如图：连接EO，可知EO⊥ED，过点B作BF垂直于DE的延长线于点F，

∵∠FDB=∠EDO，∠DEO=∠DFB，
∴△DEO∽△DFB，
∵EO=r，ED=10，EB= ，
∵DO=OB，
∴ ，
∴EF=10，FB=2r，
在△EFB中， ，
，
∴ r=5，
∴ 圆的面积为 ，
故答案为： .
【分析】连接EO，可知EO⊥ED，过点B作BF垂直于DE的延长线于点F，首先证出△DEO∽△DFB，根据相似三角形对应边成比例，把半径r和DE的长度转化到Rt△EFB中，再应用勾股定理建立方程，求解即可得出答案.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：   ，
x-1=  ，
 ，


〔2〕解：  ，



 .

〔3〕解：  ，




〔4〕解： 
  
 .
【解析】【分析】〔1〕将常数项移到方程的右边，然后利用直接开平方法求解即可；
〔2〕利用配方法求解，首先在方程的两边同时乘以2，将二次项的系数化为1，然后在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而利用直接开平方法求解即可；
〔3〕利用因式分解法解方程，将方程的右边整体移到方程的左边，然后将方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解；
〔4〕利用因式分解法解方程，首先将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程将次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得出原方程的解.
20.【答案】 解：由题意得 ，
 
或 〔不合题意，舍去〕
那么
〔负舍〕.
答：这个直角三角形的斜边长是 .
【解析】【解答】 解：根据勾股定理得c2=a2+b2 ， 又∵  ，
  
 或  〔不合题意，舍去〕
 〔负舍〕.
答：这个直角三角形的斜边长是  .
【分析】根据勾股定理得c2=a2+b2 ， 代入方程，利用因式分解法解一元二次方程，根据偶次幂的非负性求出c2的值，再求其算式平方根即可.
21.【答案】 解：设每件的售价为 元，
根据题意，得
化简整理，得



答:每件的售价为 元或 元.
【解析】【解答】 解：设每件的售价为  元，
根据题意，得 
化简整理，得



答：每件的售价为  元或  元.
【分析】此题根据每件的利润件数=总利润列出方程，难点在于用含x的式子表示出件数，根据每提高一元，销售量减少20件可得件数=800-20〔x-60)，最后解方程即可.
22.【答案】 〔1〕解：如下列图：
 

〔2〕解：设直线 与 切于点 ，连接 ，

那么

.

设 的半径为
由得


即 的半径为
【解析】【分析】〔1〕 作出∠ABC的角平分线，角平分线与AC的交点O是圆心，以O为圆心，以OC为半径作圆即可；
〔2〕 设直线 与 切于点 ，连接 ，根据切线的性质得出OD⊥AB，根据勾股定理算出AB，设该圆的半径为r，由建立方程即可求出答案.
 
23.【答案】 〔1〕解：如图1，


又 ，


是 的直径，


.

〔2〕解：如图2，连接 ，

那么



.


是 的切线，

.
【解析】【解答】 解：如图1，
 


 

又   ，


 是  的直径，


 .
〔2〕 解：如图2，连接   ，
 


 
那么 



 .


 是  的切线，

 .
【分析】〔1〕根据三角形外角的性质得∠BCD=38°，根据同弧所对的圆周角相等可得∠BAD=38°，又因为直径所对的圆周角为90°，可得∠ADB=90°，由同弧所对圆周角相等得∠ADC=62°，从而求得∠CDB=28°；
〔2〕根据CD⊥AB得∠BPC=∠APD=90°，由同弧所对圆周角相等得∠BCP=∠DAP=28°，根据切线的性质得出∠ODE=90°，从而可求出∠E=34°.
24.【答案】 〔1〕解：如图1，过点 作 于

，





，


解得

〔2〕解：如图2，当 与 相切时， ， 线段与 有唯一公共点

.

∴
如图3，当 经过点 时， ， 线段与 有恰有两个公共点，





如图4，当 经过点 时，

点 恰好到达点 点Q恰好到达点 此时 与线段 有唯一公共点.
∴当 与线段 有唯一公共点.
∴假设 与线段 有唯一公共点， 的取值范围是 或
【解析】【分析】〔1〕根据等腰直角三角形的性质，及路程等于速度乘以时间，用含t的代数式表示BQ，PH的长度，再根据勾股定理PH²+QH²=PQ²建立方程，求解即可；
〔2〕此题分圆P与AB相切和圆Q与AB相交于一个交点两种情况进行讨论，①当圆P与AB相切时，BP=2t，根据BC=CP+BP解得t=；②当圆P经过点B时解得t=2；③当圆P经过点A时，t=4，所以t的取值范围是t=或2＜t＜4.
 
 
25.【答案】 〔1〕d=3；
〔2〕解：如图1，由题意可知， .

过 作 轴于 ，
∵ ， 的半径为
∴ ，
由 得，
①当 时， ，
解得
②当 时， ，
解得
圆心 的横坐标 的取值范围 或

〔3〕当d〔线段AB〕取最小值时，
【解析】【解答】 〔1〕解：∵A〔2，0〕，  的半径为   ，
∴d〔点  〕=1+2=3；
(3) 解：当AB与⊙O相切时，d〔线段AB〕取最小值=2
 


 
设切点为M ，连接OM，那么OM=1，∠OMA=90°，
∵A〔2，0〕，
∴OA=2
∴sin∠BOA= 
∴∠BOA=30°，
在Rt △ABO 中
∴OB=OAtan30°= 
∴B点坐标为：〔0，  〕
把B点坐标代入解得k=  ；
当B点在x轴下方时，k=  ；
∴当d〔线段AB〕取最小值时 
 【分析】〔1〕根据“圆距〞的定义求解即可；
〔2〕先确定OT的取值范围，求出T坐标根据勾股定理列方程求出x，进一步确定x的取值；
(3)先求出d〔线段AB)的最小值再求出点B坐标，代入y=kx-2k求出k的值，从而确定k的取值.