广东省深圳市六校2022届高三上学期第二次联考数学试题

2022届六校第二次联考试题

数 学

本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟

一、单项选择题（每小题有且只有一个正确选项，把正确选项填涂在答题卡相应位置上。每小题5分，共40分）

1. 已知集合则（      ）

2. 若不等式的解集为，则二次函数在区间上的最大值、最小值分别为     

3. 已知中，分别为角的对边，则根据条件解三角形时有两解的一组条件是(     )

4. 已知且,则(   )

5. 已知条件，那么(    )

充分不必要条件                 必要不充分条件 

充要条件                       既不充分又不必要条件

6. 下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是(      )

7. 已知函数，若，则

8. 已知函数若函数有三个零点，则(   )

二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选项，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分，总分20分）

9. 已知平面向量 若是直角三角形，则的可能取值是(    )

10.已知函数，则   

是奇函数      的最小正周期为π

的图象关于点对称        在区间上单调递增

11. 已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中，正确的是   

不是周期函数      关于点对称

在区间上是减函数        在区间内有且只有一个零点

12. 若函数有两个极值点，且，则下列结论中正确的是

  的取值范围是

三、填空题 (每小题 5分，共20分，把正确答案填写在答题卡相应位置上.)

13. 函数的部分图象如图所示，已知分别是最高点、最低点，且满足（为坐标原点），则______

14. 已知，若满足，则的最大值为________

15. “杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的 “帕斯卡三角形”早了300多年，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为图中虚线上的数1，3，6，10，依次构成的数列的第n项，则的值为

16. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点若，，则的最小值为__________

四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18~22题各12分，共70分。）

17. 已知数列满足

(1)  求数列的通项公式；

(2)  求数列的前20项的和.

18. 已知中，分别为角的对边，且．

求；

若为边的中点，,求的面积.

19. 环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速（不含）经多次测试得到，该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的下列数据：

为了描述国道上该汽车每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：

(1)  当时，请选出符合表格所列数据实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

(2)  现有一辆同型号汽车从A地驶到B地，前一段是的国道，后一段是的高速路．若已知高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度的关系是：，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？(假设在两段路上分别匀速行驶）

20. 已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，然后再将所得函数图象向左平移个单位后得到函数的图象．

求的解析式；

方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；

实数满足对任意，都存在，使得

成立，求的取值范围． 

21. 已知函数

常数，若函数在区间上是增函数，求的取值范围；

若函数在上的最大值为3，求实数的值．

22. 已知函数

(1)  若恒成立，求的取值范围;

(2)  讨论的零点个数，说明理由.

2022届六校第二次联考数学参考答案

一、单项选择题（每小题5分，共40分）

1.B  2.D  3.C  4.B  5.B  6.A  7.A  8.D

3. 【答案】C

解：各组条件均是知两边一对角的，可根据条件画图，先画角，再取邻边，算出高与对边比较，当且仅当为锐角且时才有两解，由条件可知: 组条件,无解;B组条件,唯一解; 组条件为锐角有两解; 组条件为钝角有唯一解.

4. 解：因且可知

  为锐角, 为钝角，

所以. 

5. 解：所以选B.

6. 【答案】A

7.解：因为．
所以，又函数  在上单调递减，所以，故选A．

8.解：要使函数有三个解，则与图象有三个交点，
当时，，所以，可得在上递减，在递增，所以时，有最小值，且时，，
当时，;当时，;
当时，单调递增，因此可得图象如右
所以要使函数有三个零点，则，故选D．

二、多项选择题（每小题全对得5分，部分答对得2分，有错选顶得0分，共20分）

9. BD    10.BCD      11.BD     12.ACD

9. 【答案】BD     

10.解：对于A， 不是奇函数，故A
对于B，因为，所以的最小正周期为，故B正确；
对于C，当时，, 且的零点为其对称中心,所以的图象关于

对称，故 C正确；
对于D ,令，解得：，
故当时，在区间上单调递增，故D正确；
故选BCD．  

11.解：对于函数，

所以为周期函数，A不正确

对于B关于对称

，

=，B正确

，由时，，，，所以函数为增函数，故C不正确

因所以在内有且只有一个零点,

D正确.

12.解：，有两个极值点，

⟺，有两个零点， ，且在， 各自两边

⟺y=，有两个交点(，(, ⟺有两个零点，

记 得，所以知

在)上递减，h(x)在)上递减.

所以, 而且x<0时<=0;  x>0时>0,

又

由此可知其图如右，所以当且仅当时y=有两个交点，才符合条件,

且 ,所以A正确, B不正确.

因==0⟺=0=⟺

对（C）1⟺>⟺>1

由>1所以>1成立. 所以C正确.

三、填空题(每小题 5分，共20分)

13.     14. 0       15. 1.8(或)   16.

13.

解：由图象知，即，则，则，
，B的横坐标为，即，
，，得，A>0,得，
则，
由五点作图法知，得，即函数的解析式为

14.解：由题意，设，则
设，，
易知在上单调递减，且，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
时，．故的最大值为．故答案为．  

法二:函数与图象都与相切于点结合图可知.

15.解：设第n个数为，则，，，，
，叠加可得,

16.解：，，又，，
；又P、M、N三点共线，，

，
当且仅当时取“”，的最小值为．

四、解答题（第17题10分，第18~22题各12分，共70分）

17. 解：（1）由条件知，

                                 .....................2分

                                     ..........................................6分

（2）数列的前20项的和

...................10分

18. 解：（1）中由正弦定理及条件

可得..................................3分

                                                       ..................................6分

(2)为边的中点，，得

  中，由余弦定理得

.................12分

19. 解：对于，当时，它无意义，所以不合题意； 
对于，它显然是个减函数，这与矛盾； 
故选择..................................................................................2分
根据提供的数据，有    解得 
当时，．.................................4分

(2)  国道路段长为，所用时间为， 
所耗电量为,....................................................................6分 
因为，当时，； .....................................................8分
高速路段长为，所用时间为， 
所耗电量为

， 
因为

在上单调递增，..........................................................................................10分 
所以； 
故当这辆车在国道上的行驶速度为，在高速路上的行驶速度为时，该车从A地到B地的总耗电量最少，最少为．.........12分

20. 解：已知函数，将的图象各点横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，可得函数的图象，

再将所得函数图象向左平移个单位后可得到函数

.

的解析式，.............................3分

方程在上有且只有一个解，

转化为函数与函数在时只有一个交点．

在单调递增且取值范围是;

在单调递减且取值范围是;

结合图象可知，函数与函数只有一个交点，

那么=2，可得或n=1.5 ................6分

．

实数m满足对任意，都存在，使成立,即成立，

令

设，那么，

，且，........................9分

可得在上恒成立．

令，，则的最大值

的开口向上，，最大值=,

所以，解得；综上可得，m的取值范围是..............12分

21.解：由题意知

法二：

所以，
由，，解得，，
的递增区间为，
在上是增函数，，
，解得，所以的取值范围是.................................6分

令，
，
，，
．.........................9分
当时，即，
  =3，解得(舍，
当时，
即时，=3，解得或舍．
当时，即时，在处，不合条件．
因此...............................................................................................................12分

22.解：（1）恒成立即

 当时，单调递减； 当时，单调递增；

...................................................1分

令,则.................................2分

.......................................................4分

.....................5分

(2) 的定义域为，

，它与同号

开口向上且对称轴为，下面结合图象讨论其根及符号，并确定的单调区间：

(I)    当即时,,此时在定义域上单调递增,

且，.

由零点存在定理及单调性可知有且只有一个零点。      ...........................6分

(II) 当时，，此时有两根

  且,所以的变化情况如下表

所以当时在上递增，在上递减，在上递增.

当时，；当时，；

又,在上有零点存在，结合单调性可知:

此时有且只有一个零点。  ......................................................................................8分

(III)  当，此时有且只有一个零点为2;   .............9分

(IV)  当时，，此时有根

   此时  ,所以的变化情况如下表

所以当时在上递减，在上递增.

又

       （另法：

                                           ）

  上恰有一个零点；................................................................................10分

由（1）已证  

所以

又已证

由零点存在定理及单调性可知在恰有一个零点

所以和上分别有一个零点，即恰有两个零点。

综上所述：当时，恰有一个零点；恰有两个零点。.........12分