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2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份） 解析版
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这是一份2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份） 解析版，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
3．（3分）计算3﹣（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
4．（3分）“扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.02×106 B．1.02×105 C．10.2×105 D．102×104
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰三角形 D．含30°的直角三角形
6．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a（﹣a）＝﹣a2 B．（a2）3＝a5 C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a
7．（3分）已知a＝b，下列变形不正确的是（ ）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
11．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，点C在优弧AB上，若∠P＝68°，则∠ACB等于（ ）
A．22° B．34° C．56° D．68°
12．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝1的解是 ．
15．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝40°，则∠2＝ 度．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），且点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
17．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
18．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程.请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色宇迹时签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）计算：．
20．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，若AN＝AB，AN∥CE，求证：AC＝NE．
21．（8分）先化简：，然后从﹣1≤x≤3中选一个你认为适合的整数x代入求值．
22．（8分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
23．（8分）某校物理实验小组随机抽取了部分学生的物理实验测试成绩进行调查，调查结果只有三个分数：1分（合格），2分（良好），3分（优秀），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图图1和图2，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，并将条形统计图补充完整；
（2）这次被调查学生物理实验测试成绩的众数是 ，中位数是 ；
（3）小聪奇思妙想将上图的扇形统计图做成了如图3所示的一个转盘，随机转动两次转盘（指针指向边界不计），求两次指针所指数字之和为奇数的概率．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式和m的值；
（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM的最小值．
2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．
故选：B．
3．（3分）计算3﹣（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．
故选：D．
4．（3分）“扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.02×106 B．1.02×105 C．10.2×105 D．102×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1020000＝1.02×106．
故选：A．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰三角形 D．含30°的直角三角形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a（﹣a）＝﹣a2 B．（a2）3＝a5 C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a
【分析】利用单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，合并同类项的运算法则分别计算后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．（3分）已知a＝b，下列变形不正确的是（ ）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
【分析】等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
【解答】解：由a＝b
得：（c≠0）
故选：D．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式﹣2x+4≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故选：C．
9．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：＝．
故选：C．
10．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
11．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，点C在优弧AB上，若∠P＝68°，则∠ACB等于（ ）
A．22° B．34° C．56° D．68°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：∵PA、PB都为圆O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝68°，
∴∠AOB＝112°，
∵∠AOB与∠ACB都对，
∴∠ACB＝∠AOB＝56°．
故选：C．
12．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，
因为2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝1的解是 x＝5 ．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，
整理得：＝1，
去分母得：x﹣4＝1，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣4＝1≠0，
∴原方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
15．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝40°，则∠2＝ 140 度．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），且点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】设C（x，y），再由平行四边形的对角线互相平分即可得出结论．
【解答】解：设C（x，y），
∵四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），
∴＝，1＝，
解得x＝﹣2，y＝1，
∴C（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故答案为π．
18．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 ．
【分析】在Rt△A'BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程.请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色宇迹时签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4+2﹣×
＝4+2﹣3
＝3．
20．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，若AN＝AB，AN∥CE，求证：AC＝NE．
【分析】欲证AC＝NE，可证四边形ACEN是平行四边形．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，得CE＝．由AN＝AB，得AN＝CE．又因为AN∥CE，得四边形ACEN是平行四边形，从而解决此题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，
∴CE＝．
又∵AN＝AB，
∴AN＝CE．
又∵AN∥CE，
∴四边形ACEN是平行四边形．
∴AC＝NE．
21．（8分）先化简：，然后从﹣1≤x≤3中选一个你认为适合的整数x代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x≤3中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠1，0，
∴﹣1≤x≤3中使得原分式有意义的整数为﹣1，2，3，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
22．（8分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【分析】（1）首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，
（2）由（1）得再出买3束鲜花和4个礼盒的总价即可．
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55＝319（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了319元．
23．（8分）某校物理实验小组随机抽取了部分学生的物理实验测试成绩进行调查，调查结果只有三个分数：1分（合格），2分（良好），3分（优秀），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图图1和图2，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 50 人，并将条形统计图补充完整；
（2）这次被调查学生物理实验测试成绩的众数是 2分或3分 ，中位数是 2分 ；
（3）小聪奇思妙想将上图的扇形统计图做成了如图3所示的一个转盘，随机转动两次转盘（指针指向边界不计），求两次指针所指数字之和为奇数的概率．
【分析】（1）求出“1分”所占整体的百分比即可计算出调查学生人数，进而求出“2分”的人数，补全条形统计图；
（2）根据众数和中位数的意义求解即可；
（3）列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有10÷＝50（人），
2分的人数有：50﹣10﹣20＝20（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50；
（2）这50名学生中成绩为2分和3分，出现的次数都是20次，因此众数是2分或3分，
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数是＝2（分），
故答案为：2或3，2；
（3）由（1）（2）的解答可知，“1分”“2分”“3分”的比为1：2：2，
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有25种可能出现的结果，其中两次数字之和为奇数的有12种，
所以两次指针所指数字之和为奇数的概率为．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式和m的值；
（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．
【分析】（1）把点B（﹣1，m）代入反比例函数（x＜0）中求出m＝2，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），利用三角形面积公式得到×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣﹣），解方程求出x，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数（x＜0）图象过点B（﹣1，m），
∴m＝﹣＝2，
∴B（﹣1，2），
把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣﹣），
解得x＝﹣，
当x＝﹣时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD＝∠BAD，证出∠ADP＝∠BAD，即可得出结论；
（2）连接OD，先证△DAB是等腰直角三角形，得OD⊥AB，再由DP∥AB，得OD⊥PD，即可得出结论；
（3）先由勾股定理计算出AB＝10，再由等腰直角三角形的性质求出AD、AE、CE得的长，然后由勾股定理求出DE的长，最后证△PDA∽△PCD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB；
（2）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵DP∥AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD，PC＝PD，
∵PC＝PA+AC，
∴PD+6＝PD，
解得：PD＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM的最小值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；
（3）先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM＝AM，连接CP交⊙E 于点M，再求出点P坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：
，
解得：，
∴线AB的解析式为y＝2x+4，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，
设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，﹣m﹣6），
∵A（﹣4，4），
∴，
解得：
∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；
（3）如图，
由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于点G，取GE的中点P，则PE＝，
设P（k，2k+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，
∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），
∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
连接PC交⊙E于点M，连接EM，则EM＝EH＝，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴＝＝，
∴PM＝AM，
∴AM+CM＝PM+CM，
∴当P、M、C三点共线时，AM+CM取得最小值即PC的长，
∴AM+CM最小值为．
2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
2．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
3．（3分）计算3﹣（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
4．（3分）“扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.02×106 B．1.02×105 C．10.2×105 D．102×104
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰三角形 D．含30°的直角三角形
6．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a（﹣a）＝﹣a2 B．（a2）3＝a5 C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a
7．（3分）已知a＝b，下列变形不正确的是（ ）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
11．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，点C在优弧AB上，若∠P＝68°，则∠ACB等于（ ）
A．22° B．34° C．56° D．68°
12．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
14．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝1的解是 ．
15．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝40°，则∠2＝ 度．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），且点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ．
17．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
18．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程.请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色宇迹时签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）计算：．
20．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，若AN＝AB，AN∥CE，求证：AC＝NE．
21．（8分）先化简：，然后从﹣1≤x≤3中选一个你认为适合的整数x代入求值．
22．（8分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
23．（8分）某校物理实验小组随机抽取了部分学生的物理实验测试成绩进行调查，调查结果只有三个分数：1分（合格），2分（良好），3分（优秀），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图图1和图2，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 人，并将条形统计图补充完整；
（2）这次被调查学生物理实验测试成绩的众数是 ，中位数是 ；
（3）小聪奇思妙想将上图的扇形统计图做成了如图3所示的一个转盘，随机转动两次转盘（指针指向边界不计），求两次指针所指数字之和为奇数的概率．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式和m的值；
（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM的最小值．
2021年广西柳州市柳江区中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得0分.）
1．（3分）﹣3的相反数是（ ）
A．3 B．﹣3 C． D．﹣
【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的两个数为相反数．
【解答】解：﹣3的相反数是3．
故选：A．
2．（3分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）
A．三棱锥 B．圆锥 C．三棱柱 D．圆柱
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：由于主视图和左视图为三角形可得此几何体为锥体，由俯视图为圆形可得为圆锥．
故选：B．
3．（3分）计算3﹣（﹣2）的结果是（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．1 D．5
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：3﹣（﹣2）＝3+2＝5．
故选：D．
4．（3分）“扶贫”是新时期党和国家的重点工作之一，为落实习近平总书记提出的“精准扶贫”战略构想，某省预计三年内脱贫1020000人，数字1020000用科学记数法可表示为（ ）
A．1.02×106 B．1.02×105 C．10.2×105 D．102×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1020000＝1.02×106．
故选：A．
5．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰三角形 D．含30°的直角三角形
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
6．（3分）下列运算，正确的是（ ）
A．a（﹣a）＝﹣a2 B．（a2）3＝a5 C．2a﹣a＝1 D．a2+a＝3a
【分析】利用单项式乘单项式、积的乘方的运算法则，合并同类项的运算法则分别计算后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、a（﹣a）＝﹣a2，原计算正确，故此选项符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、2a﹣a＝a，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a2与a不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
7．（3分）已知a＝b，下列变形不正确的是（ ）
A．a+5＝b+5 B．a﹣5＝b﹣5 C．5a＝5b D．
【分析】等式的两边同时乘或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．
【解答】解：由a＝b
得：（c≠0）
故选：D．
8．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x+2＞0，得：x＞﹣2，
解不等式﹣2x+4≥0，得：x≤2，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
故选：C．
9．（3分）一个不透明的盒子中装有4个形状、大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字﹣1、0、2和3．从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：根据题意可得：在4个小球中，其中标有正数的有2个，分别是2，3，
故从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为：＝．
故选：C．
10．（3分）下列四种基本尺规作图分别表示，则对应选项中作法错误的是（ ）
A．作一个角等于已知角
B．作一个角的平分线
C．作一条线段的垂直平分线
D．过直线外一点P作已知直线的垂线
【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线；过直线外一点P作已知直线的垂线的作法进而判断得出答案．
【解答】解：①作一个角等于已知角的方法正确；
②作一个角的平分线的作法正确；
③作一条线段的垂直平分线缺少另一个交点，作法错误；
④过直线外一点P作已知直线的垂线的作法正确．
故选：C．
11．（3分）如图，P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，点C在优弧AB上，若∠P＝68°，则∠ACB等于（ ）
A．22° B．34° C．56° D．68°
【分析】由PA与PB都为圆的切线，利用切线的性质得到两个角为直角，根据∠P的度数，利用四边形的内角和定理求出∠AOB的度数，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，求出∠ACB的度数即可．
【解答】解：∵PA、PB都为圆O的切线，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠P＝68°，
∴∠AOB＝112°，
∵∠AOB与∠ACB都对，
∴∠ACB＝∠AOB＝56°．
故选：C．
12．（3分）如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…按这样的运动规律，经过第2021次运动后，动点P的坐标是（ ）
A．（2021，0） B．（2020，1） C．（2021，1） D．（2021，2）
【分析】观察点的坐标变化发现每个点的横坐标与次数相等，纵坐标是1，0，2，0，…4个数一个循环，进而可得经过第2021次运动后，动点P的坐标．
【解答】解：观察点的坐标变化可知：
第1次从原点运动到点（1，1），
第2次接着运动到点（2，0），
第3次接着运动到点（3，2），
第4次接着运动到点（4，0），
第5次接着运动到点（5，1），
…
按这样的运动规律，
发现每个点的横坐标与次数相等，
纵坐标是1，0，2，0，4个数一个循环，
因为2021÷4＝505…1，
所以经过第2021次运动后，
动点P的坐标是（2021，1）．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.请将答案直接填写在答题卡中相应的横线上，在草稿纸、试卷上答题无效）
13．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≥1 ．
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
14．（3分）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b＝，这里等式右边是实数运算．例如：1⊗3＝．则方程x⊗（﹣2）＝1的解是 x＝5 ．
【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．
【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，
整理得：＝1，
去分母得：x﹣4＝1，
解得：x＝5，
检验：把x＝5代入得：x﹣4＝1≠0，
∴原方程的解为x＝5．
故答案为：x＝5．
15．（3分）如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝40°，则∠2＝ 140 度．
【分析】根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补解答即可．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝40°，
∴∠2＝180°﹣40°＝140°，
故答案为：140
16．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），且点C在反比例函数的图象上，则k的值为 ﹣2 ．
【分析】设C（x，y），再由平行四边形的对角线互相平分即可得出结论．
【解答】解：设C（x，y），
∵四边形ABOC为平行四边形，A（1，2），B（3，1），
∴＝，1＝，
解得x＝﹣2，y＝1，
∴C（﹣2，1），
∴k＝﹣2×1＝﹣2．
故答案为：﹣2．
17．（3分）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4，将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为 ．
【分析】求线段CA扫过的图形的面积，即求扇形ACA1的面积．
【解答】解：由题意，知AC＝4，BC＝4﹣2＝2，∠A1BC＝90°．
由旋转的性质，得A1C＝AC＝4．
在Rt△A1BC中，cos∠ACA1＝＝．
∴∠ACA1＝60°．
∴扇形ACA1的面积为＝π．
即线段CA扫过的图形的面积为π．
故答案为π．
18．（3分）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是 ．
【分析】在Rt△A'BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．
【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．
∴A′B＝AB＝2BM．
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝＝．
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分.解答时应写出必要的文宇说明、演算步骤或推理过程.请将解答写在答题卡中相应的区城内，画图或作辅助线时使用铅笔画出，确定后必须使用黑色宇迹时签字笔描黑在草稿纸、试卷上答题无效）
19．（6分）计算：．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、立方根的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4+2﹣×
＝4+2﹣3
＝3．
20．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，若AN＝AB，AN∥CE，求证：AC＝NE．
【分析】欲证AC＝NE，可证四边形ACEN是平行四边形．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，得CE＝．由AN＝AB，得AN＝CE．又因为AN∥CE，得四边形ACEN是平行四边形，从而解决此题．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E是AB的中点，
∴CE＝．
又∵AN＝AB，
∴AN＝CE．
又∵AN∥CE，
∴四边形ACEN是平行四边形．
∴AC＝NE．
21．（8分）先化简：，然后从﹣1≤x≤3中选一个你认为适合的整数x代入求值．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从﹣1≤x≤3中选一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可．
【解答】解：
＝
＝
＝，
∵x﹣1≠0，x≠0，
∴x≠1，0，
∴﹣1≤x≤3中使得原分式有意义的整数为﹣1，2，3，
当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．
22．（8分）今年5月8日母亲节那天，某班很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒，根据图中的信息
（1）求每束鲜花和一个礼盒的价格；
（2）小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了多少钱？
【分析】（1）首先设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由图中信息可知等量关系有：买了一束花+2个礼盒，花了143元；②买了2束花+1个礼盒，花了121元，根据等量关系列出方程组，解可得1束鲜花多少元，买1个礼盒花花多少元，
（2）由（1）得再出买3束鲜花和4个礼盒的总价即可．
【解答】解：（1）设买1束鲜花x元，买1个礼盒花y元，由题意得：
，
解得：，
答：买1束鲜花33元，买1个礼盒花55元；
（2）由题意得：3×33+4×55＝319（元），
答：小强给妈妈买了三束鲜花和四个礼盒一共花了319元．
23．（8分）某校物理实验小组随机抽取了部分学生的物理实验测试成绩进行调查，调查结果只有三个分数：1分（合格），2分（良好），3分（优秀），并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图图1和图2，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 50 人，并将条形统计图补充完整；
（2）这次被调查学生物理实验测试成绩的众数是 2分或3分 ，中位数是 2分 ；
（3）小聪奇思妙想将上图的扇形统计图做成了如图3所示的一个转盘，随机转动两次转盘（指针指向边界不计），求两次指针所指数字之和为奇数的概率．
【分析】（1）求出“1分”所占整体的百分比即可计算出调查学生人数，进而求出“2分”的人数，补全条形统计图；
（2）根据众数和中位数的意义求解即可；
（3）列表法表示所有可能出现的结果情况，进而求出相应的概率即可．
【解答】解：（1）这次被调查的学生共有10÷＝50（人），
2分的人数有：50﹣10﹣20＝20（人），
补全条形统计图如图所示：
故答案为：50；
（2）这50名学生中成绩为2分和3分，出现的次数都是20次，因此众数是2分或3分，
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数是＝2（分），
故答案为：2或3，2；
（3）由（1）（2）的解答可知，“1分”“2分”“3分”的比为1：2：2，
用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有25种可能出现的结果，其中两次数字之和为奇数的有12种，
所以两次指针所指数字之和为奇数的概率为．
24．（10分）如图，已知一次函数y＝kx+b图象与反比例函数（x＜0）图象相交于A（﹣4，），B（﹣1，m）两点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D．
（1）求一次函数的解析式和m的值；
（2）点P是线段AB上的一个动点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB的面积相等，请求出此时点P坐标．
【分析】（1）把点B（﹣1，m）代入反比例函数（x＜0）中求出m＝2，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），利用三角形面积公式得到×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣﹣），解方程求出x，从而得到P点坐标．
【解答】解：（1）∵反比例函数（x＜0）图象过点B（﹣1，m），
∴m＝﹣＝2，
∴B（﹣1，2），
把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝x+；
（2）连接PC、PD，如图，设P（x，x+），
∵△PCA和△PDB面积相等，
∴×（x+4）＝×|﹣1|×（2﹣﹣），
解得x＝﹣，
当x＝﹣时，y＝x+＝，
∴P点坐标是（﹣，）．
25．（10分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O于点D，过点D作直线l交CA的延长线于点P，且∠ADP＝∠BCD，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．
（1）求证：DP∥AB；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．
【分析】（1）由圆周角定理得∠BCD＝∠BAD，证出∠ADP＝∠BAD，即可得出结论；
（2）连接OD，先证△DAB是等腰直角三角形，得OD⊥AB，再由DP∥AB，得OD⊥PD，即可得出结论；
（3）先由勾股定理计算出AB＝10，再由等腰直角三角形的性质求出AD、AE、CE得的长，然后由勾股定理求出DE的长，最后证△PDA∽△PCD，即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ADP＝∠BCD，∠BCD＝∠BAD，
∴∠ADP＝∠BAD，
∴DP∥AB；
（2）证明：连接OD，如图所示：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠ABD＝45°，
∴△DAB是等腰直角三角形，
∵OA＝OB，
∴OD⊥AB，
∵DP∥AB，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（3）解：在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，
∵△DAB为等腰直角三角形，
∴AD＝AB＝5，
∵AE⊥CD，
∴△ACE为等腰直角三角形，
∴AE＝CE＝AC＝3，
在Rt△AED中，DE＝＝＝4，
∴CD＝CE+DE＝3+4＝7，
∵∠PDA＝∠PCD，∠P＝∠P，
∴△PDA∽△PCD，
∴＝＝＝＝，
∴PA＝PD，PC＝PD，
∵PC＝PA+AC，
∴PD+6＝PD，
解得：PD＝．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣4，﹣4），B（0，4），直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，且与y轴相交于点C，若点E是直线AB上的一个动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F．
（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的解析式；
（2）点H是y轴上一动点，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，四边形EAFH是矩形？求出此时点E，H的坐标；
（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上以动点，求AM+CM的最小值．
【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，可判断出AB⊥AC，当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，分别点E、H、F的坐标，再利用中点坐标公式求解即可；
（3）先取EG的中点P，进而判断出△PEM∽△MEA，即可得出PM＝AM，连接CP交⊙E 于点M，再求出点P坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+4；
（2）如图，当点E运动到（﹣2，0）时，四边形EAFH是矩形，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
将点A（﹣4，﹣4），B（0，4）代入得：
，
解得：，
∴线AB的解析式为y＝2x+4，
∵直线AC的解析式为y＝﹣x﹣6，
∴AB⊥AC，
∴当四边形EAFH是平行四边形时，四边形EAFH是矩形，此时，EF与AH互相平分，
设E（m，2m+4），H（0，t）则F（m，﹣m﹣6），
∵A（﹣4，4），
∴，
解得：
∴E（﹣2，0），H（0，﹣1）；
（3）如图，
由（2）可知E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），
∴EH＝，AE＝2，
设AE交⊙E于点G，取GE的中点P，则PE＝，
设P（k，2k+4），
∵E（﹣2，0），
∴PE2＝（k+2）2+（2k+4）2＝（）2，
∴k＝﹣或k＝﹣（舍去），
∴P（，﹣1），
∵C（0，﹣6），
∴PC＝＝，
连接PC交⊙E于点M，连接EM，则EM＝EH＝，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴＝，
∵∠PEM＝∠MEA，
∴△PEM∽△MEA，
∴＝＝，
∴PM＝AM，
∴AM+CM＝PM+CM，
∴当P、M、C三点共线时，AM+CM取得最小值即PC的长，
∴AM+CM最小值为．
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