2021年山东省潍坊市寿光市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山东省潍坊市寿光市九年级上学期数学期中试卷含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.一元二次方程 化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是〔   〕
A. ，8x，2         B. ， ，          C. ， ，          D. ， ，2
2.假设一元二次方程 的两个根为m，n，那么一次函数 的图象是〔   〕
A.                  B.                  C.                  D. 
3.电影?我和我的祖国?讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事.一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，假设把平均每天票房的增长率记作x，那么可以列方程为〔   〕
A.          B.          C.          D. 
4.在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，那么这个三角形的内切圆的半径是〔     〕
A. 5                                    B. 2                                    C. 5或2                                    D. 2或 －1
5.如图，点 在圆上，假设弦 的长度等于圆半径的 倍，那么 的度数是(    ).

A. 22.5°                                      B. 30°                                      C. 45°                                      D. 60°
6.如图，为方便行人推车过天桥，市政府在10m高的天桥两端分别修建了50m长的斜道．用科学计算器计算这条斜道的倾斜角，以下按键顺序正确的选项是〔   〕

A. sin0.2=                        B. 2ndFsin0.2=                        C. tan0.2=                        D. 2ndFtan0.2=
7.如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，那么cos∠ACB等于〔  〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
8.为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如下列图〔单位：cm〕，那么该铁球的直径为〔    〕

A. 12cm                                   B. 10cm                                   C. 8cm                                   D. 6cm
9.如图，在 中， ， 于点D， ， ，那么线段 AC的长为〔   〕

A. 10                                        B. 8                                        C.                                         D. 
10.如图，⊙O与正五边形ABCDE的边AB，DE分别相切于点B，D，那么劣弧BD所对的圆心角∠BOD的大小为〔   〕

A. 108°                                    B. 118°                                    C. 144°                                    D. 120°
11.如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝45°，延长BC到D，使CD＝AC，那么tan22.5°＝〔   〕

A.                                  B.                                  C.                                  D. 
12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，过点D作⊙O的切线，与边BC交于点E，假设AD=， AC=3．那么DE长为〔　　〕


A.                                           B. 2                                          C.                                           D. 
二、填空题
13. 、 是关于 的一元二次方程 的两实根，那么 的最大值是       ．
14.如图，⊙ 上三点 ， ， ，半径 ， ，⊙ 的切线 交 延长线于点 ，从现图中选取一条以P为端点的线段，此线段的长为       ． 〔注明选取的线段〕

15.如图，∠EFG=90°，EF=10，OG=17，cos∠FGO=0.6，那么点F的坐标是       ．

16.如图，在 中，
⑴作AB和BC的垂直平分线交于点O；
⑵以点O为圆心，OA长为半径作圆；
⑶⊙O分别与AB和BC的垂直平分线交于点M，N；
⑷连接AM，AN，CM，其中AN与CM交于点P.
根据以上作图过程及所作图形，以下四个结论中，
① ；                ② ；
③点O是 的外心    ；    ④点P是 的内心.
所有正确结论的序号是________.

17.如图，矩形 中， ， ，以 为圆心， 为半径画弧，交 延长线于 点，以 为圆心， 为半径画弧，交 于点 ，那么图中阴影局部的面积是________．

18.古代丝绸之路上的花剌子模地区曾经诞生过一位伟大的数学家－“代数学之父〞阿尔·花拉子米.在研究一元二次方程解法的过程中，他觉得“有必要用几何学方式来证明曾用数字解释过的问题的符合题意性〞.

以 为例，花拉子米的几何解法如下：
如图，在边长为 的正方形的两个相邻边上作边长分别为 和5的矩形，再补上一个边长为5的小正方形，最终把图形补成一个大正方形.

通过不同的方式来表达大正方形的面积，可以将原方程化为〔x+       〕2=39+        ， 从而得到此方程的正根是       .
三、解答题
19.计算：
〔1〕.
〔2〕.
〔3〕.
20.我们知道 ， ，这一性质在数学中有着广泛的应用，比方，探究多项式 的最小值时，我们可以这样处理：
解：原式




因为 ，所以 ，即
所以 的最小值是 ，即 的最小值是 ．
请根据上面的探究思路，解答以下问题：
〔1〕.多项式 的最小值是      ；
〔2〕.求多项式 的最小值〔写过程〕．
21.西安市某学校的数学探究小组利用无人机在操场上开展测量教学楼高度的活动，如图，此时无人机在离地面30米的点D处，操控者站在点A处，无人机测得点A的俯角为 ，测得教学楼楼顶点C处的俯角为 .又经过人工测量得到操控者和教学楼 的距离为57米，求教学楼BC的高度.(注：点 都在同一平面上，无人机大小忽略不计.参考数据： )

22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD =90°，AC是对角线．点E在BC的延长线上，且∠CED =∠BAC．

〔1〕.判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
〔2〕.BA与CD的延长线交于点F，假设DE∥AC，AB=4，AD =2，求AF的长．
23.x1 ， x2是关于x的一元二次方程x2＋2〔m－3〕 x＋m2＋1＝0的两个根．
〔1〕.当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？
〔2〕.假设以x1 ， x2为对角线的菱形边长是 ，试求m的值．
24.“疫情〞期间，李晨在家制作一种工艺品，并通过网络平台进行线上销售.经过一段时间后发现：当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，设该商品的售价为x元/件〔20≤x≤40〕.
〔1〕请用含售价x〔元/件〕的代数式表示每天能售出该工艺品的件数；
〔2〕每件工艺品需要20元本钱，每天销售该工艺品的纯利润为900元.
①求该商品的售价；
②为了支持“抗疫〞行动，李晨决定每销售一件该工艺品便通过网络平台自动向某救助基金会捐款0.5元，求李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额.
25.理解写作
如以下列图1，在探究锐角 的对边与直角三角形斜边之比的数学实验中包含两个环节，一是通过在 的边AB上取不同的点 ， ，分别作高 ， 利用三角形相似，可以说明 ，即 的对边与斜边的比值固定，与点 的位置无关．
二是说明 的度数发生变化时， 的对边与斜边的比值也会发生变化．请根据以下列图2简要说明做法并证明第二个环节的结论，并在图3中再构造一种思路证明此结论．


答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】解：方程整理得： ，
那么二次项、一次项、常数项分别为 ， ， ．
故答案为： ．

【分析】方程整理为一般形式，找出所求即可。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解： 一元二次方程 的两个根为 ，
，
一次函数 的图象经过第一、三、四象限.
故答案为：B.
【分析】先根据根与系数的关系得出 ，再根据一次函数的图象与系数的关系得出直线经过的象限，从而得出结论
3.【答案】 D
【解析】【解析】解：设增长率为x，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2 ，
根据题意可列方程为 .
故答案为：D.
【分析】根据题意分别用含x式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案.
4.【答案】 D
【解析】【解答】第一情况：当AC为斜边时，

如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD⊥AC, OE⊥BC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴r=2.
第二情况：当BC为斜边时，

如图，设⊙O是Rt△ABC的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB,
∴OD⊥BC, OE⊥AC,OF⊥AB,且OD=OE=OF=r,
在Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，由勾股定理得，
 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴r= .
故答案为：D.

【分析】根据Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，分当AC为斜边时，当BC为斜边时，两种情况求解即可。
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：设圆心为 ，连接 ，如图，

∵弦 的长度等于圆半径的 倍，
即 ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形， ，
∴ 。
故答案为：C。
【分析】设圆心为 ，连接 ，如图，根据勾股定理的逆定理判断出 为等腰直角三角形， ，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案。
6.【答案】 B
【解析】【解答】∵ ，
∴ 用计算器求值的顺序为 ，
故答案为：B．

【分析】用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序即可得出答案。
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：由网格图可得：
， ，
∴BC=AB，
∴∠ACB=∠CAB，
∴ ；
故答案为：D．

【分析】求出AB、BC，可得出AB=BC，推出∠ACB=∠CAB，由此即可解决问题。
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，那么CD=2，AB=8；设圆的半径为r。

利用圆和矩形的轴对称性可得：OC⊥AB
∴AD=AB=4  ，OD=r-2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2 ， 即〔r-2〕2+42=r2 ， 解得r=5
∴2r=10〔cm〕
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理和勾股定理求解即可。
9.【答案】 D
【解析】【解答】解： ， 于点 ，
， ，
．
在 中， ， ，
，
，
．
在 中， ， ，
，
．
故答案为： ．

【分析】由同角的余角相等可得出．在 中， ， ，可求出AD的长，利用勾股定理可求出AB的长，在 中， ， ，即可得出答案。
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠E＝∠A＝180°﹣ ＝108°.
∵AB、DE与⊙O相切，
∴∠OBA＝∠ODE＝90°，
∴∠BOD＝〔5﹣2〕×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90°＝144°，
故答案为：C.
【分析】由题意根据正多边形内角和公式可求出∠E、∠D，根据切线的性质可求出∠OAE、∠OCD，从而可求出∠AOC，然后根据圆弧长公式即可判断选项.
11.【答案】 B
【解析】【解答】解：设AB=x，
∵在Rt△ABC中，∠B=90°，∠ACB=45°，
∴∠BAC=∠ACB=45°，
∴AB=BC=x，
由勾股定理得：AC= = x，
∴AC=CD= x
∴BD=BC+CD=x+ x，
∴tan22.5°=tanD= =
故答案为：B.

【分析】设AB=x，根据等腰直角三角形的性质求出BC=x，然后由勾股定理把AC、CD用含x的代数式表示，那么BD可用含x的代数式表示，最后利用正切三角函数的定义求解即可.
12.【答案】 B
【解析】【解答】解：连接OD，CD．

∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵AD=， AC=3．
∴CD=，
∵OD=OC=OA，
∴∠OCD=∠ODC，
∵DE是切线，
∴∠CDE+∠ODC=90°．
∵∠OCD+∠DCB=90°，
∴∠BCD=∠CDE，
∴DE=CE．
∴△ADC∽△ACB，
∴∠B=∠ACD，

∵∠ACD+∠DCB=90°，
∴∠B+∠DCB=90°，∠B+∠CDE=90°，∠CDE+∠BDE=90°，
∴∠B=∠BDE，
∴BE=DE，
∴BE=CE=DE．
∴DE=BC=​×4=2．
应选B．

【分析】连接OD，CD．由切线长定理得CD=DE，可证明△ADC∽△ACB，那么可求得BD，再由勾股定理求得BC，可证明BE=DE，从而求得DE的长．
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：因为m、n是关于x的一元二次方程x2-2ax+a2+a-2=0的两实根，所以 ，所以 ，又由根与系数的关系可得m+n=2a，所以m+n=2a ，所以m+n的最大值是4．
【分析】先根据判别式的意义确定， 再根据根与系数的关系得出m+n=2a，在利用a的取值范围确定m+n的最大值。
14.【答案】 PA= 〔答案不唯一〕
【解析】【解答】解：连接OA

∵∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°
∵AP是 的切线
∴∠OAP=90°
∴OA=OC=1
∴AP=OAtan60°= =
故答案为：PA= 〔答案不唯一〕

【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP=90°，解直角三角形可求出AP。
15.【答案】
【解析】【解答】过点F作直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，如图：

∴ 〔两直线平行，内错角相等〕，
又∵∠EFG=90°，
∴∠AFE+∠HEG=90°，
又∵∠AFE+∠FEA=90°，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，那么

∴ 〔勾股定理〕，
∴ ，
在 中， ，
∴ 〔勾股定理〕，
∴ ，
故答案为： ．

【分析】过点F作直线 交 轴于点 ，过点 作 于点 ，证明， 根据cos∠FGO=0.6，以及勾股定理即可得出答案。
16.【答案】 ①③④
【解析】【解答】 (1)∵O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,ON是半径,由垂径定理得     ,∴ (2)在 中,AM=BM,由三角形两边之和大于第三边可得AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3) O是 的AB边与BC边的中垂线OM、ON的交点，故点O是外接圆圆心,正确.(4) 由垂径定理知 ,∴∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的平分线,因此点P是 的内心.
【分析】(1)点O是圆心,ON是半径,由垂径定理得 ,可知 (2) 中,AM=BM,AM+BM=2AM>AB,该结论错误.(3)三角形三边中垂线的交点是外心,正确.(4) 由垂径定理知 ,所以∠BAN=∠CAN,同理∠BCM=∠ACM,即AN,CM分别为∠BAC和∠ACB的角平分线,因此点P是 的内心.
17.【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴根据矩形的性质可得出，
∵
∴
∴利用勾股定理可得出，
因此，可得出
故答案为： ．
【分析】阴影局部的面积为扇形BDM的面积加上扇形CDN的面积再减去直角三角形BCD的面积即可．
18.【答案】 5；25；3
【解析】【解答】解：将边长为x的正方形和边长为5的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为5，拼合在一起面积就是x2+2⋅x⋅5+5⋅5，
而由x2+10x−35=0变形及x2+2x+25=39+25〔如下列图〕
即边长为x+5的正方形面积为8，
所以x=3．
故答案为5，25，3．

【分析】将边长为x的正方形和边长为5的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为5，拼合在一起面积就是x2+2⋅x⋅5+5⋅5，而由x2+10x−35=0变形及x2+2x+25=39+25，即边长为x+5的正方形面积，即可得出x的值。
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：
=
=
= ；

〔2〕解： ，
∵ ，
∴
∴方程有两个不相等的实根，
∴

〔3〕解： ，

∴ 或 ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕原式利用特殊角的三角函数值，以及乘方的意义计算即可得出结果；
〔2〕利用求根公式计算即可；
〔3〕将〔X -1〕看作整体，然后利用因式分解法解方程即可。
 
 
20.【答案】 〔1〕1
〔2〕解：





∵ ，
∴ ，
∴多项式 的最小值为 ．
【解析】【解答】解：〔1〕∵ ，
 
∴ ，
∴多项式 的最小值是1．
故答案为：1；
【分析】〔1〕利用题干中的配方法的方法求解即可；
〔2〕参照题干中的配方法得到方法求解即可。
 
21.【答案】 解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，那么四边形BCFE是矩形

由题意得：
在 中，
，即



四边形 是矩形

在 中，




答：教学楼 的高约为13米.
【解析】【分析】如图，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，先在 中，利用正切函数值求出AE的长，从而可得BE的长，再根据矩形的判定与性质可得CF的长，然后在 中可求出DF的长，最后根据线段的和差即可得.
22.【答案】 〔1〕解：DE与⊙O相切，
理由是：连接BD，如以下列图，

∵四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°，
∴BD是⊙O的直径，即点O在BD上，
∴∠BCD=90°，
∴∠CED+∠CDE=90°．
∵∠CED=∠BAC，
又∵∠BAC=∠BDC，
∴∠CED=∠BDC，
∴∠BDC+∠CDE=90°，即∠BDE=90°，
∴DE⊥BD于点D，
∴DE与⊙O相切．

〔2〕解：如以下列图，BD与AC交于点H，

∵DE∥AC，
∴∠BHC=∠BDE=90°．
∴BD⊥AC．
∴AH=CH．
∴BC=AB=4，CD=AD=2．
∵∠FAD=∠FCB=90°，∠F=∠F，
∴△FAD∽△FCB，
，
∴CF=2AF，
设 AF=x，那么DF=CF-CD=2x-2．
在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2 ，
∴〔2x-2〕2=22+x2 ．
解得： 〔舍去〕，
．
【解析】【分析】〔1〕先根据圆周角定理证明BD是⊙O的直径，即点O在BD上，∠BCD=90°，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得出∠BDE=90°，可得出DE与⊙O相切；
〔2〕先求得∠BDC的度数，进而根据圆周角定理求得角BOC的度数，再根据弧长公式，即可求得答案。
23.【答案】 〔1〕解：由题意得△=[2〔m−3〕]2−4〔m2 +1〕=32−24m，
要使方程有两个不相等的实数根，那么△>0，即32−24m>0，
解得m< ，
即m< 时，方程有两个不相等的实数根；

〔2〕解：∵x1 ， x2是关于x的一元二次方程x2+2〔m−3〕x+m2+1=0的两个根，
∴x1+x2=−2〔m−3〕，x1·x2=m2+1.
∵x1 ， x2为菱形的对角线，且菱形的对角线互相垂直平分，
∴〔 x1〕2+〔 x2〕2=3，
∴x12+x22=12，
∴〔x1+x2〕2−2x1·x2=12，
∴[−2〔m−3〕]2−2〔m2+1〕=12，
∴m2−12m+11=0，解得：m1=1，m2=11，
∵m< ，
∴m2=11不合题意，舍去，
∴m的值为1.
【解析】【分析】〔1〕根据题意，利用根的判别式列出不等式求解即可；
〔2〕利用一元二次方程根与系数的关系，再结合菱形的性质求解即可。
 
 
24.【答案】 〔1〕解：∵该商品的售价为x元/件〔20≤x≤40〕，且当售价是40元/件时，每天可售出该商品60件，且售价每降低1元，就会多售出3件，
∴每天能售出该工艺品的件数为60+3(40﹣x)＝(180﹣3x)件；

〔2〕解：①依题意，得：(x﹣20)(180﹣3x)＝900，
整理，得：x2﹣80x+1500＝0，
解得：x1＝30，x2＝50〔不合题意，舍去〕，
答：该商品的售价为30元/件；
②0.5×(180﹣3×30)＝45〔元〕，
答：李晨每天通过销售该工艺品捐款的数额为45元.
【解析】【分析】〔1〕售价设为x元，那么降低的价格就是 元，那么增加的销量是 件，再加上原来的60件就得到表达式；
〔2〕①根据利润=销量 〔售价-本钱〕列方程求出售价；②根据①中算出的售价求出销量，从而算出捐款的数额.
25.【答案】 解：环节二证明过程如下：
〔1〕如以下列图所示：过点A在 内部做射线 ，截取 ，过点 作 ，此时构造出了 ，显然

此时 ； ，
因为 ，而 ，所以
所以当 的度数发生变化时， 的对边与斜边的比值也会发生改变．
〔2〕图3中构造另外一种思路证明：
由上题我们自然想到控制变量法．环节二我们使斜边相等，现在我们使直角边BC与 与相等，如下列图：

此时 ； ；因为 ，而 ，所以 ．
【解析】【分析】〔1〕环节一，我们用相似论证当不变时，的对边与斜边的比值固定不变；
〔2〕环节二，再次为我们论证了当改变时，的对边与斜边的比值也随之变化，不再固定不变；进而从斜边相等，或直角边相等，两个方面论证即可。