2021年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年浙江省宁波市鄞州区七校联考九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.以下关于二次函数 ，以下说法正确的选项是〔 〕.
A. 它的开口方向向下 B. 它的顶点坐标是
C. 当 时， 随 的增大而增大 D. 当 时， 有最小值是3
2.一个不透明的袋中有4个白球，3个黄球和2个红球，这些球除颜色外其余都相同，那么从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为〔 〕
A. B. C. D.
3.函数y＝x2+2x﹣4的顶点所在象限为〔 〕
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在某校艺体节的乒乓球比赛中，李东同学顺利进入总决赛，且个人技艺高超，有同学预测“李东夺冠的可能性是80%〞，对该同学的说法理解正确的选项是 ( )
A. 李东夺冠的可能性较小 B. 李东和他的对手比赛10局时，他一定会赢8局
C. 李东夺冠的可能性较大 D. 李东肯定会赢
5.以下抛物线中，与抛物线 的形状、大小、开口方向都相等的是〔 〕
A. B. C. D.
6.以下关于事件发生可能性的表述，正确的选项是〔 〕
A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上〞，该事件是随机事件
B. 体育彩票的中奖率为10%，那么买100张彩票必有10张中奖
C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，那么这批产品中大约有500件左右的次品
D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为
7.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的局部图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是〔 〕
A. B. C. 或 D. 且
8.在一个不透明的口袋中，装有3个相同的球，它们分别写有数字1，2，3，从中随机摸出一个球，假设摸出的球上的数字为2的概率记 ，摸出的球上的数字小于4的记为 ，摸出的球上的数字为5的概率记为 ，那么 ， ， 的大小关系是〔 〕
A. B. C. D.
9.某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：假设无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W〔万元〕与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，那么该景点一年中处于关闭状态有〔 〕月.
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
10.关于 的二次函数 ，其中 为实数.当 时， 的最小值为4，满足条件的 的值为〔 〕
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
二、填空题
11.抛物线 与坐标轴有________个交点.
12.假设将抛物线y＝3x2＋1向下平移1个单位后，那么所得新抛物线的解析式是________.
13.书架上有3本小说、2本散文，从中随机抽取2本都是小说的概率是________.
14.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3〔a＜0〕上．假设点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，那么AC长为________．
15.如图，直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，点P在抛物线 上，那么△ABP面积的最小值为________.

16.如图，点 ，点 ，点 在二次函数 的图象上，作射线 ，再将射线 绕点 按逆时针方向旋转 ，交二次函数图象于点 ，那么点 的坐标为________.
三、解答题
17.在湖州创立国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有以下四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物〔分别用 表示〕。
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通平安知识宣传〔分别用 表示〕。
〔1〕.张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是 ；
〔2〕.假设张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
18.二次函数y＝x2－2x－3.
〔1〕求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
〔2〕求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标；
〔3〕当x为何值时，y随x的增大而增大？
19.平面上有3个点的坐标： ， ，
〔1〕在A，B，C三个点中任取一个点，这个点既在直线 上又在抛物线上 上的概率是多少？
〔2〕从A，B，C三个点中任取两个点，求两点都落在抛物线 上的概率.
20.新定义：如果二次函数 的图象经过点〔-1，0〕，那么称此二次函数的图象为“定点抛物线〞
〔1〕试判断二次函数 的图象是否为“定点抛物线〞
〔2〕假设定点抛物线 与x轴只有一个公共点，求 的值.
21.一名男生推铅球，铅球的行进高度 〔单位： 〕与水平距离 〔单位： 〕之间的关系为 ，铅球行进路线如图.
〔1〕求出手点离地面的高度.
〔2〕求铅球推出的水平距离.
〔3〕通过计算说明铅球的行进高度能否到达4 .
22.某文具店销售一种进价为每本10元的笔记本，为获得高利润，以不低于进价进行销售，结果发现，每月销售量y与销售单价x之间的关系可以近似地看作一次函数：y=﹣5x+150，物价部门规定这种笔记本每本的销售单价不得高于18元.
〔1〕当每月销售量为70本时，获得的利润为多少元；
〔2〕该文具店这种笔记本每月获得利润为W元，求每月获得的利润W元与销售单价x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
23.定义：在平面直角坐标系xOy中，直线y＝a〔x﹣m〕+k称为抛物线y＝a〔x﹣m〕2+k的关联直线.
〔1〕.求抛物线y＝x2+6x﹣1的关联直线；
〔2〕.抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，求这条抛物线的表达式；
〔3〕.如图，顶点在第一象限的抛物线y＝﹣a〔x﹣1〕2+4a与它的关联直线交于点A，B〔点A在点B的左侧〕，与x轴负半轴交于点C，连结AC、BC.当△ABC为直角三角形时，求a的值.
24.如图，抛物线y=ax2+bx(a＜0〕过点E(10,0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上〔点A在点B的左边〕，点C，D在抛物线上.设A(t,0)，当t=2时，AD=4.
〔1〕.求抛物线的函数表达式.
〔2〕.当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？
〔3〕.保持t=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线.当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】∵ 的二次项系数大于0
∴函数开口向上，故答案为：A错误；
∵ 的顶点坐标为 ，即最小值为3
∴选项B错误，选项D正确；
的对称轴为
当 时， 随 的增大而减小
∴选项C错误；
故答案为：D.
【分析】〔1〕由二次函数的解析式可知a=2＞0，那么抛物线的开口向上；
〔2〕由解析式可得抛物线的顶点为〔0,3〕；
〔3〕由解析式可得抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，所以可知当x＜0时，y随x的增大而减小；
〔4〕由解析式可得抛物线的对称轴为y轴，且开口向上，图像有最小值，所以可知当x=0时，y最小=3.
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得：
不透明袋子里球的总数为4+3+2=9，那么从袋中随机摸出一个球是黄球的概率为 ；
故答案为：B.
【分析】由袋子中白球、黄球、红球的个数可求得袋子中小球的总数，再根据概率公式可求解.
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵y=x2+2x-4=〔x+1〕2-5，
∴抛物线顶点坐标为〔-1，-5〕，
∴顶点在第三象限，
故答案为：C.
【分析】把二次函数化为顶点式那么可求得顶点的坐标，那么可求得答案.
4.【答案】 C
【解析】【解答】A、李东夺冠的可能性较大，故本选项错误；
B、李东和他的对手比赛10局时，他可能赢8局，故本选项错误；
C、李东夺冠的可能性较大，故本选项正确；
D、李东可能会赢，故本选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据概率的意义，反映的只是这一事件发生的可能性大小，不一定发生也不一定不发生，依次分析即可判断求解.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x2﹣3x﹣5，
∴a＝﹣ ，开口向下，
观察四个选项可知，只有选项B的二次项系数是﹣ ，
∴与其形状、大小、开口方向都相等的是只有B.
故答案为：B.
【分析】二次函数的开口方向是由二次项系数a确定，当a＞0时，开口向上；当a＜0时开口向下.当二次项系数的值相同时，两个函数的形状、大小、开口方向都相等，由此和选项比较即可求解.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解：A. 事件：“在地面，向上抛石子后落在地上〞，该事件是必然事件，故错误.
B. 体育彩票的中奖率为10%，那么买100张彩票可能有10张中奖，故错误.
C. 在同批次10000件产品中抽取100件发现有5件次品，那么这批产品中大约有500件左右的次品,正确.
D. 掷两枚硬币，朝上的一面是一正面一反面的概率为 ，故错误.
故答案为：:C.
【分析】根据随机事件，必然事件的定义以及概率的意义对各个小题进行判断即可.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为〔5，0〕，
∴图象与x轴的另一个交点坐标为〔－1，0〕，
由图象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集，
∴x＜－1或x＞5，
故答案为：C.
【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵在1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0，
∴P1= 、P2=1、P3=0，
那么P3＜P1＜P2 ，
故答案为：D.
【分析】由1、2、3这3个小球中，数字为2的只有1个、数字小于4的有3个、数字为5的个数为0，利用概率公式分别计算，再比较大小可得.
9.【答案】 A
【解析】【解答】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，那么x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月.
故答案为：A.
【分析】关闭状态时的利润即为w=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值；再结合不关闭状态即为w＞0可得关于x的范围，那么题意可求解.
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：原式变形为 ，
∵二次函数当−2≤x≤1时，y有最小值为4，
①当−2≤a≤1时，
当−2≤x≤1，二次函数值最小时
，
解得： 或 〔舍去〕，
②a＜-2时，
当x=-2，二次函数值最小时，
，
解得： 或 〔舍去〕，
③a＞1时，
当x=1，二次函数值最小时，
，
解得： 〔舍去〕，
∴ 或 ，
故答案为：B.
【分析】由题可知，分类讨论a＜-2，−2≤a≤1，a＞1，根据函数的增减性，即可得出答案.
二、填空题
11.【答案】 2
【解析】【解答】解：由抛物线 可得与y轴的交点坐标为 ，与x轴只有一个交点其坐标为 ，所以与坐标轴的交点有2个；
故答案为2.
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系直接进行求解即可.
12.【答案】 y＝3x2
【解析】【解答】原抛物线顶点坐标为〔0，1〕，向下平移1个单位后，抛物线顶点坐标为〔0，0〕，平移不改变二次项系数，可根据顶点式求出平移后抛物线解析式：y＝3x2.
故答案是：y＝3x2.
【分析】根据抛物线的平移特征“左加右减、上加下减〞即可求解.
13.【答案】
【解析】【解答】解：画树状图为：〔用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文〕
共有20种等可能的结果数，其中从中随机抽取2本都是小说的结果数为6，
所以从中随机抽取2本都是小说的概率 .
故答案为 .
【分析】画树状图〔用A、B、C表示三本小说，a、b表示两本散文〕展示所有20种等可能的结果数，找出从中随机抽取2本都是小说的结果数，然后根据概率公式求解.
14.【答案】 4
【解析】【解答】解：抛物线的对称轴x=﹣ =2，点B坐标〔0，3〕，
∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，
∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，
∴点D坐标〔4，3〕
∴AC=BD=4．
故答案为4．
【分析】先求出对称轴，再根据B、D关于对称轴对称，求出点D坐标，根据正方形的性质AC=BD即可解决问题．
15.【答案】
【解析】【解答】设直线AB为
∵直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)
∴
∴
∴直线AB为
如图，平移直线AB到直线CD，直线CD为
当 与抛物线 相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值
∴
∴
∴
∴
∴
∴
将 代入 ，得
∴
∴


∴
∴ 为直角三角形，
∴
即△ABP面积的最小值为
故答案为： .
【分析】根据直线AB交坐标轴于A(-2，0)，B(0，-4)，计算得直线AB解析式；平移直线AB到直线CD，直线CD当抛物线相交并只有一个交点P时，△ABP面积为最小值，通过一元二次方程和抛物线的性质求得点P坐标；再利用勾股定理逆定理，证明 为直角三角形，从而计算得到△ABP面积的最小值.
16.【答案】 〔-2，-7〕
【解析】【解答】把A(3,3)代入y=x2+bx-9得
3=9+3b-9
∴b=1
∴y=x2+x-9
过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是F，
可知AF=AB，又∠HAF=∠HAE＋∠EAF=∠HAE＋∠DAB=45°=∠BAH，
∴△BAH≌△FAH〔SAS〕，
∴HF=BH.
由图可知DB=1，OB=2，
那么EF=BD=1,
设BH=x,那么OH=4-x,
在Rt△BOH中，由勾股定理得BH2=OH2+BO2
即x2=(4-x)2+22,
x=2.5,
所以OH=4-x=1.5
∴H点坐标为〔1.5,0〕
由A〔3,3〕和H〔1.5,0〕可得直线AC的解析式为y=2x-3
∵直线AC交二次函数图象于点
∴2x-3= x2+x-9
解得
∴点C的横坐标为-2
∴
∴点C的坐标为(-2,-7).
故答案为(-2,-7).
【分析】过A作AD⊥y轴于D，过A作AE⊥x轴于E，将△ADB旋转到△AEF的位置，B点的对应点是F，可证得△BAH≌△FAH〔SAS〕，设BH=x，在Rt△BOH中，由勾股定理可求出x的值，求出H点坐标，然后求出直线AH的解析式，联立二次函数解析式即可求出C点坐标.
三、解答题
17.【答案】 〔1〕=
〔2〕解：画树状图为：
∴共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，
∴他们恰好选择同一岗位的概率：=．

【解析】【解答】〔1〕解：∵张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名的等可能性结果有：A1 ， A2 ， B1 ， B2四种情况，而清理类岗位有A1 ， A22种 ，
∴选择清理类岗位概率为：=.
【分析】〔1〕张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名的等可能性结果有：A1 ， A2 ， B1 ， B2四种情况，而清理类岗位有A1 ， A22种 ， 从而求出其概率.
〔2〕根据树状图可以得出共有16种等可能的结果，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果为4，由概率公式得出其概率.
18.【答案】 〔1〕解：∵a=1＞0，∴图象开口向上；
∵y=x2-2x-3=〔x-1〕2-4，
∴对称轴是x=1，顶点坐标是〔1，-4〕;
〔2〕解：由图象与y轴相交那么x=0，代入得：y=-3，
∴与y轴交点坐标是〔0，-3〕；
由图象与x轴相交那么y=0，代入得：x2-2x-3=0，
解方程得x=3或x=-1，
∴与x轴交点的坐标是〔3，0〕、〔-1，0〕；
〔3〕解：当 时，y随x的增大而增大.
【解析】【分析】〔1〕根据a的符号判断抛物线的开口方向；把抛物线的一般式化为顶点式，根据顶点式可求顶点坐标及对称轴；〔2〕根据图象与y轴和x轴的相交的特点可求出坐标；〔3〕根据二次函数的增减性，当a＞0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，由此即可解答；
19.【答案】 〔1〕解：当 时, , ,那么A点在直线和抛物线上,
当 时, , ，,那么B点在直线和抛物线上,
当 时, , ,那么C点在直线上,不在抛物线上,
所以在A,B，,C三个点中任取一个点,这个点既在直线 上又在抛物线上 上的概率 ,
〔2〕解：画树状图为:
共有6种等可能的结果数,其中两点都落在抛物线 上的结果数为2,
所以两点都落在抛物线 上的概率 .
【解析】【分析】(1)把 , , 三点分别代入直线 和抛物线上 ,求出既满足在直线上又满足抛物线上的点的个数,然后根据概率公式计算,(2)树状图第一层先从三个点中任取一个点共有3种情况,第二层从剩下两个点中任取一个点,组合共有6种情况,然后再代入抛物线解析式求出满足两点同时在抛物线上的情况,然后根据概率公式计算.
20.【答案】 〔1〕解：当x＝−1时，y＝2＋5−7＝0，
∴抛物线y＝2x2−5x−7经过点〔1，0〕，
∴二次函数图象为“定点抛物线〞.
〔2〕解：∵y＝x2−mx＋2−k与x轴只有一个公共点，
∴〔−1，0〕是抛物线顶点，
∴抛物线解析式为y＝〔x＋1〕2＝x2＋2x＋1，
∴2−k＝1，
∴k＝1.
【解析】【分析】〔1〕把x=-1代入抛物线解析式，判断y的值是否为0，即可解决问题.〔2〕因为y=x2-mx+2-k与x轴只有一个公共点，所以〔-1，0〕是抛物线顶点，所以抛物线解析式为y=〔x+1〕2 ， 由此即可解决问题.
21.【答案】 〔1〕解：把x=0代入 得：
；
答：出手点离地面的高度 米
〔2〕解： ，
解得
∴铅球推出的水平距离为10米.
〔3〕解：把y=4代入，得 ，化简得 ，方程无解，
∴铅球的行进高度不能到达4米.
【解析】【分析】(1)x=0得 ；(2)令y=0得： ，解方程，保存正值，即为该男生将铅球推出的距离;(3)把y=4代入，得 ，化简得 ，方程无解，即可求解.
22.【答案】 〔1〕解：当 时，
解得
∴ =420元.
〔2〕解：
∴ 自变量的取值范围为
元时，每月可获得最大利润，最大利润为多少元？
解：
∵
∴ 当 时， 随 的增大而增大，
∴ 当 时， 有最大值 元
答：当销售单价定为18元时，每月可获得最大利润，最大利润为480元.
【解析】【分析】〔1〕把y=70代入一次函数的解析式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，再根据利润=单个利润×销售量可求解；
〔2〕根据利润=单个利润×销售量可得w与x的函数关系式；再根据公式w=a(x+)2+把解析式配成顶点式，结合x的取值范围即可求解.
23.【答案】 〔1〕解：∵y＝x2+6x﹣1＝〔x+3〕2﹣10，
∴关联直线为y＝x+3﹣10＝x﹣7
〔2〕解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与它的关联直线y＝2x+3都经过y轴上同一点，
∴a＝2，c＝3，
可设抛物线的顶点式为y＝2〔x﹣m〕2+k，
那么其关联直线为y＝2〔x﹣m〕+k＝2x﹣2m+k，
∴ ，
解得 或 ，
∴抛物线解析式为y＝2x2+3或y＝2〔x+1〕2+1
〔3〕解：由题意：A〔1，4a〕B〔2，3a〕C〔﹣1，0〕，
∴AB2＝1+a2 ， BC2＝9+9a2 ， AC2＝4+16a2 ，
显然AB2＜BC2且AB2＜AC2 ， 故AB不能成为△ABC的斜边，
当AB2+BC2＝AC2时：1+a2+9+9a2＝4+16a2解得a＝±1，
当AB2+AC2＝BC2时：1+a2+4+16a2＝9+9a2解得a= ，
∵抛物线的顶点在第一象限，
∴a＞0，即a=1或a=
【解析】【分析】〔1〕将抛物线的解析式配成顶点式，再根据关联直线的定义即可得出答案；
〔2〕根据关联直线的定义及图象都过y轴的同一点得出a,c的值，进而设出抛物线的顶点式，根据关联直线的定义得出直线解析式，该解析式与直线y＝2x+3 实质是同一直线，通过比较即可列出关于k,m的方程组，求解即可；
〔3〕根据题意很容易得出 A〔1，4a〕B〔2，3a〕C〔﹣1，0〕， 根据两点间的距离公式分别表示出AB2,BC2,AC2 ， 通过比较得出 AB不能成为△ABC的斜边， 故需要分： 当AB2+BC2＝AC2时 ， 当AB2+AC2＝BC2时 两种情况分别列出列出方程求解并检验即可求出a的值。
24.【答案】 〔1〕解：设抛物线解析式为 ，
当 时， ，
点 的坐标为 ，
将点 坐标代入解析式得 ，
解得： ，
抛物线的函数表达式为
〔2〕解：由抛物线的对称性得 ，
，
当 时， ，
矩形 的周长
，
，
，
，
当 时，矩形 的周长有最大值，最大值为
〔3〕解：如图，
当 时，点 、 、 、 的坐标分别为 、 、 、 ，
矩形 对角线的交点 的坐标为 ，
直线 平分矩形的面积，
点 是 和 的中点，
，
由平移知，
是 的中位线，
，
所以抛物线向右平移的距离是4个单位
【解析】【分析】〔1〕由图知，抛物线过点E〔10,0〕和点D〔2,4〕，把这两点代入解析式可得关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
〔2〕由轴对称的性质可得BE=OA，那么AB可用含t的代数式表示，由题意AD也可用含t的代数式表示，那么矩形ABCD的周长=2〔AB+AD〕可用含t的代数式表示成二次函数，将这个二次函数配成顶点式，由二次函数的性质即可求解；
〔3〕当t=2时，可求出A、B、C、D各点的坐标，由矩形的对角线相等且互相平分可求得点P的坐标，结合题意易证PQ是三角形ODB的中位线，由三角形的中位线等于第三边的一半可得PQ=OB，即为 抛物线向右平移的距离。