2021年山东省潍坊九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年山东省潍坊九年级上学期数学期中试卷含答案，共20页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.以下说法错误的选项是〔    〕
A. 圆是中心对称图形，圆心就是对称中心
B. 垂直于弦的直径一定平分这条弦
C. 相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等
D. 圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的对称轴
2.假设锐角A满足 ，那么∠A的度数为〔   〕
A. 30°                                       B. 45°                                       C. 60°                                       D. 75°
3.如图， 的六个元素，其中 、 、 表示三角形三边的长，那么下面甲、乙、丙、丁四个三角形中与 不一定相似的图形是〔   〕


A. 甲                                         B. 乙                                         C. 丙                                         D. 丁
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，假设将各边长度都扩大为原来的2倍，那么∠A的正弦值〔 〕
A. 扩大2倍                               B. 缩小2倍                               C. 扩大4倍                               D. 不变
5.如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，P是弦AB上的一个动点〔不与A、B重合〕，那么OP的最小值是〔  〕

A. 2.5                                          B. 3                                          C. 3.5                                          D. 4
6.如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i=1：2，背水坡CD的坡比i=1：1，假设坡面CD的长度为 米，那么斜坡AB的长度为〔  〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 24
7.如图，ΔABC为⊙O的一个内接三角形，过点B作⊙O的切线PB与OA延长线交于点P，连接OB，∠P=34°，那么∠ACB=〔   〕

A. 17°                                       B. 27°                                       C. 28°                                       D. 30°
8.如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C ， AC＝2AD ， 如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为〔   〕

A. 15                                         B. 10                                         C. 7.5                                         D. 5
9.边长为6的正三角形的外接圆的周长为〔    〕
A.                                    B.                                    C.                                    D. 
10.如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，假设矩形ABCD∽矩形EABF，AB=1．求矩形ABCD的面积为〔   〕

A. 1                                       B.                                        C.                                        D. 2
11.如图，将矩形ABCD绕着点A逆时针旋转得到矩形AEFG，点B的对应点E落在边CD上，且DE=EF，假设AD=3 ，那么 的长为〔   〕

A. π                                      B. π                                      C. π                                      D. π
12.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，以下结论：①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③tan∠CAD= ．其中正确的结论有      〔  〕                                                         

A. 3个                                       B. 2个                                       C. 1个                                       D. 0个
二、填空题
13.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，那么tanB＝________.
14.假设△ABC∽△ADE，假设AB=9，AC=8，AD=3，那么EC的长是       ．

15.如图， ，点 是 上的一点，且 ，那么以4为半径的 与直线 的公共点的个数________．

16.如图，A，B，C是⊙O上顺次三点，假设AC，AB，BC分别是⊙O内接正三角形、正方形、正n边形的一边，那么n=       ．

17.如图，一艘船由 港沿北偏东65°方向航行 至 港，然后再沿北偏西40°方向航行至 港， 港在 港北偏东20°方向，那么 ， 两港之间的距离为       ．

18.如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．以下说法中正确的有       ．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC=90°+ ∠BAC；
④点D是△BIC的外心．

三、解答题
19.  
〔1〕计算： ．
〔2〕．
20.如图，在平面直角坐标系中，给出了格点 〔顶点均在正方形网格的格点上〕，点A的坐标为〔-4,3〕．

〔1〕画出 关于y轴对称的 ．
〔2〕以点O为位似中心，在给定的网格中画 ，使 与 位似，且点 的坐标为〔2，-2〕．
〔3〕与 的位似比是________．
21.在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，假设AB=2 ，求AC的长．

22.如下列图，在平行四边形 中， 是 的延长线上一点， ，连接 与 ， ， 分别交于点 ， ．

〔1〕假设 的面积为2，求平行四边形 的面积．
〔2〕求证 ．
23.如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．

〔1〕求证：BD=CD；
〔2〕假设AB=4，∠BAC=45°，求阴影局部的面积．
24.如图，学校操场旁立着一杆路灯〔线段OP〕．小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹竿〔线段AE〕，这时他量了一下竹竿的影长AC正好是1m，他沿着影子的方向走了4m到达点B，又竖起竹竿〔线段BF〕，这时竹竿的影长BD正好是2m，请利用上述条件求出路灯的高度．

25.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AD，对角线BD为⊙O的直径，AC与BD交于点E．点F在CD延长线上，且DF=BC．

〔1〕AC=AF；
〔2〕假设AD=2，AF= ，求AE的长；
〔3〕假设EG∥CF交AF于点G，连接DG．证明：DG为⊙O的切线．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 C
【解析】【解答】A．圆是中心对称图形，圆心就是对称中心，故本选项不符合题意；
B．垂直于弦的直径一定平分这条弦符合垂径定理，故本选项不符合题意；
C．只有在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦一定相等，反过来，相等的弦所对的弧也一定相等，故本小题符合题意；
D．圆是轴对称图形，任意一条通过圆心的直线都是它的一条对称轴，故本选项不符合题意．
故答案为：C．

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，圆的性质及垂径定理对各选项进行逐一判断分析求解即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】∵ ，
∴∠A＝30°，
故答案为：A．

【分析】利用特殊角的三角函数值可以求出∠A的度数。
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：A.满足两组边成比例夹角不一定相等，与 不一定相似，符合题意；
B.满足两组边成比例且夹角相等，与 相似的图形相似，不符合题意；
C.满足两组角分别相等，与 相似的图形相似，不符合题意；
D.满足两组角分别相等，与 相似的图形相似，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据相似三角形的判定方法对逐一进行判断．
4.【答案】 D
【解析】【解答】根据相似三角形的概念，知假设各边长都扩大2倍，那么sinA的值不变．
故答案为：D．

【分析】根据相似三角形的性质可以得到：对应角的度数不会变化，所以正弦值的大小也不会变。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：作OC⊥AB于点C，连接OA，如下列图：
那么AC＝ AB＝4，
∵OA＝5，
∴OC＝ ＝ ＝3，即OP的最小值是3；
故答案为：B．


【分析】利用垂线段最短的性质，再结合勾股定理求解即可。
6.【答案】 C
【解析】【解答】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如下列图：

那么四边形BEFC是矩形，∴BE=CF．
∵背水坡CD的坡比i=1：1，CD= 米，
∴CF=DF= CD=6〔米〕，∴BE=CF=6米，
又∵斜坡AB的坡比i=1：2= ，∴AE=2BE=12〔米〕，
∴AB= 〔米〕，
故答案为：C．

【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，利用坡面CD的长度为  米，求出CF的长，再利用斜坡AB的坡比i=1：2，求出AE的长，最后利用勾股定理求出AB的长即可。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵PB切⊙O于B，
∴OB⊥PB，
∴∠OBP=90°，
∵∠P=34°，
∴∠POB=180°-90°-34°=56°，
∴∠ACB= ∠AOB=28°，
故答案为：C．

【分析】根据切线的性质和三角形的内角和求出∠POB，再利用圆周角的性质求解即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵∠BAD＝∠C ， ∠B＝∠B ，
∴△BAD∽△BCA ，
∵AC＝2AD ，
∴ ，
∴ ，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝ ×15＝5，
故答案为：D ．
【分析】首先证明△BAD∽△BCA ， 由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积
9.【答案】 D
【解析】【解答】解：如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，
作OD⊥BC于D ， 连接OB、OC ．

∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠BOC=120°，
∴∠OBD=30°，
∵OD⊥BC ，
∴BD=CD=3．
在Rt△OBD中，∠OBD=30°， 即OD= BD= ，
∴OB=2OD=2 ，
∴⊙O的周长=2π×2 =4 π．
故答案为：D．
【分析】如图，作OD⊥BC于D ， 连接OB、OC ． 根据正三角形与圆及垂径定理，可求出∠BOC=120°，∠OBD=30°，BD=CD=3，在Rt△OBD中，， 据此求出OD的长，从而得出OB=2OD=2 ，利用圆的面积公式计算即得.
10.【答案】 C
【解析】【解答】解：由矩形ABCD∽矩形EABF可得 ，
设AE=x，那么AD=BC=2x，
又AB=1，
∴ ，
可得： ．
∵矩形的长不能是负数，
解得： ，
∴BC=2x=2× ，
∴S矩形ABCD=BC×AB= ×1= ．
故答案为：C．

【分析】设AE=x，那么AD=BC=2x，利用矩形ABCD∽矩形EABF可得 ， 再代入计算即可。
11.【答案】 A
【解析】【解答】连接AC、AF，

由旋转的性质可知，BC=EF，AB=AE．
∵DE=EF，
∴DE=BC=AD．
在Rt△ADE中，DE=AD，
∴∠DAE=45°，AE= = ，
∴∠EAB=90°﹣45°=45°，即旋转角为45°，
∴∠FAC=45°．
在Rt△ABC中，AC= =9，
∴ 的长= ，
故答案为：A.

【分析】根据旋转的性质可知：是以点A为圆心，AC长为半径的弧，利用勾股定理求出AC的长，再利用弧长公式计算即可。
12.【答案】 B
【解析】【解答】如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①符合题意；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ = ，
∴CF=2AF，故②符合题意；
设AE=a，AB=b，那么AD=2a，
由△BAE∽△ADC，有
，即b= a，
∴tan∠CAD= = = ，故③不符合题意，
所以正确的有2个，
故答案为：B．

【分析】①只要证明∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°即可；②由AD∥BC，推出△AEF∽△CBF，推出AE和CF的关系即可；③设AE=a，AB=b，那么AD=2a，由△BAE∽△ADC，求出a、b的关系，可得出tan∠CAD的值。
二、填空题
13.【答案】
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=13，BC=5，
∴AC= =12，
∴tanB= ，
故答案为： .
【分析】利用勾股定理求出AC的长，再利用锐角三角函数的定义求出tanB的值。
14.【答案】
【解析】【解答】设EC=x，
∵AC=8，∴AE=8﹣x，
∵△ABC∽△ADE，∴ ，∴ ，
解得：x= ．
故答案为： ．

【分析】设EC=x，那么AE=8﹣x，根据相似三角形的性质可得， 代入计算即可。
15.【答案】 2个
【解析】【解答】如图，过O作 于点D，

∵ ，
∴ ，
∴以4为半径的 与直线CA相交，
公共点的个数为2个，
故答案为：2个．
【分析】先利用直角三角形的性质可得 ，再根据直线与圆的位置关系即可得．
16.【答案】 12
【解析】【解答】如图，连接OA，OC，OB．

∵AC、AB分别是⊙O内接正三角形、正方形的一边，
∴∠AOC= ，∠AOB= ，
∴∠BOC=∠AOC﹣∠AOB= ，
由题意得 ，
∴n=12．
故答案为：12．

【分析】如图，连接OA，OC，OB．求出中心角∠BOC即可。
17.【答案】
【解析】【解答】解：设过A点正北方向直线为AD，过B点正北方向直线为BG，过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，如图:

∵由题意得：∠CAB=65°﹣20°=45°，∠AEB=∠CEB=90°，AB=30 km．
∴在 中，∠ABE=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形．
∵AB=30 km，
∴AE=BE= AB=30〔km〕．
∵CF∥AD∥BG，
∴∠ACF=∠CAD=20°，∠BCF=∠CBG=40°，
∴∠ACB=20°+40°=60°，
∵在 中，∠ACB=60°，tan∠ACB= ，
∴CE= =10 〔km〕，
∴AC=AE+CE=30+10 〔km〕，
∴A、C两港之间的距离为〔30+10 〕km．
故答案为：〔30+10 〕．

【分析】过B作BE⊥AC于E，过C作CF∥AD，证出∠ACB=60°，由题意得到∠CAB=45°，AB=30km，解直角三角形求出AE、CE的长，即可得到答案。 
18.【答案】 ①③④
【解析】【解答】∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合，所以①符合题意；
∵I是△ABC的内心，
∴点I到三角形三边的距离相等，所以②不符合题意；
连接IC，

∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠1= ∠ABC，∠ICB= ∠ACB．
∵∠BIC=180°﹣∠1﹣∠ICB，
∴∠BIC=180°﹣ 〔∠ABC+∠ACB〕
=180°﹣ 〔180°﹣∠BAC〕
=90°+ ∠BAC，所以③符合题意；
∵∠1=∠2，∠3=∠CAD=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
而∠5=∠2+∠3，
∴∠5=∠1+∠4，即∠5=∠DBI，
∴DB=DI．
∵∠3=∠CAD，
∴ ，
∴BD=CD，
∴DB=DI=DC，
∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，
即点D是△BIC的外心，所以④符合题意.
故答案为：①③④.

【分析】根据I是△ABC的内心，得到AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，根据三角形外角的性质得到∠BDI=∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD=DI。
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：

．

〔2〕解：

．
【解析】【分析】〔1〕先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可；
〔2〕先利用特殊角的三角函数值化简，再计算即可。
 
 
20.【答案】 〔1〕解：A、B、C关于y轴的对称点分别为 〔4，3〕、 〔1，1〕、 〔3，1〕．如下列图连接 ，那么 ，即为所求；


〔2〕解：根据题意，以O为位似中心，可得出 〔8，-6〕、 〔6，-2〕．如下列图连接 ，那么 ，即为所求


〔3〕
【解析】【解答】〔3〕 ， ．∴ ，∴ 与 的位似比是： ．
 
故答案为： ．
【分析】〔1〕先画出点A、B、C关于y轴的对称点，再连线即可；
〔2〕根据位似图形的性质，先找出点A、B、C的对应点，再连线即可；
〔3〕根据相似三角形的性质求解即可。
 
21.【答案】 解：过A点作AD⊥BC于D点，

在直角三角形ABD中，∠B=45°，AB=2 ，
∴AD=AB•sinB=2，
在直角三角形ADC中，∠C=30°，
∴AC=2AD=4．
【解析】【分析】过A点作AD⊥BC于D点，利用解直角三角形求出AD，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可。
22.【答案】 〔1〕解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
又 ，
；
四边形 是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形 的面积为： ．

〔2〕证明： ，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】〔1〕由平行四边形的性质可得对边相等，对边分别平行，从而可判定， ， 从而可得相似比，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方及三角形DEF的面积为2，可求得答案；
〔2〕由AD//BC，AB//DC，分别判定， ， 从而可得比例式，等量代换，再变形即可得出结论。
 
 
23.【答案】 〔1〕解：连结AD．

∵AB为⊙O直径，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；

〔2〕解：连结OE．
∵AB=4，∠BAC=45°，
∴∠BOE=90°，BO=EO=2，∠AOE=90°，
∴S阴=S△BOE+S扇形OAE= ×2×2+ =π+2．
【解析】【分析】〔1〕利用圆周角定理及等腰三角形的性质得出即可；
〔2〕首先得出∠BOE=90°，BO=EO=2，∠AOE=90°，进而求出S阴=S△BOE+S扇形OAE的值。
 
 
24.【答案】 解：由于BF＝DB＝2m，即∠D＝45°，
∴DP＝OP＝灯高．
在△CEA与△COP中，
∵AE⊥CP，OP⊥CP，
∴AE∥OP．
∴△CEA∽△COP，
∴ ．
设AP＝xm，OP＝hm，那么 ，①，
DP＝OP＝2+4+x＝h，②
联立①②两式，
解得x＝4，h＝10．
∴路灯有10m高．
【解析】【分析】先根据竹竿和影长之间的数量关系求得∠D＝45°，∠POC=30°，找到DC与灯高之间的数量关系CD=OP，根据线段之间是和差关系得到DC=DB+BA-CA，代入对应数据即可求出CD长为5米，从而求出灯高为10米。
25.【答案】 〔1〕解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADF．
在△ABC与△ADF中，
，
∴△ABC≌△ADF〔SAS〕，
∴AC=AF；

〔2〕解：由〔1〕得：AC=AF= ．
∵AB=AD，
∴ ，
∴∠ADE=∠ACD．
∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴ ，
那么AE= ；

〔3〕解：∵EG∥CF，
∴ ，
∴AG=AE．
由〔2〕得 ，
∴ ．
∵∠DAG=∠FAD，
∴△ADG∽△AFD，
∴∠ADG=∠F．
∵AC=AF，
∴∠ACD=∠F．
又∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ADG=∠ABD．
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠BDA=90°，
∴∠ADG+∠BDA=90°，
∴GD⊥BD，
∴DG为⊙O的切线．
【解析】【分析】〔1〕根据四边形ABCD内接于⊙O证得△ABC≌△ADF，利用全等三角形的对应边相等证得AC=AF；
〔2〕根据〔1〕得，AC=AF，证得△ADE∽△ACD，利用相似三角形的对应边额比相等得到， 代入数值求得AE的长即可；
〔3〕首先根据平行线等分线段定理得到A个=AE，然后证得△ADG∽△AFD，从而证得GD⊥BD，利用“经过半径的外端且垂直于半径的直线是圆的切线〞证得DG为⊙O的切线即可。