人教版数学九年级上册期末模拟试卷八（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册期末模拟试卷八（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版数学九年级上册期末模拟试卷
一、选择题
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
3．在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
5．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
6．下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
7．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m≥﹣ C．m≤ D．m≤﹣
8．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（40﹣x）=75 B．x（20﹣x）=75 C．x（x+40）=75 D．x（x+20）=75
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）

A． B．2 C．6 D．8
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　 　．
12．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　 　cm．
13．将抛物线y=5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是　 　．
14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=　 　．
15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　 　．

16．如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD的度数是　 　．

三、解答题
17．解方程：3x2﹣6x+1=2．



18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．


19．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．
　




20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？







21．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，且点E在线段AD上，若AF=4，∠F=60°．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度和∠EBD的度数．





22．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
（1）若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DE=DB．

　


23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？




24．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）




25．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE=8时，求EF的长；
（2）设AE=x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

　
参考答案
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形．故错误；
B、是中心对称图形．故错误；
C、不是中心对称图形．故正确；
D、是中心对称图形．故错误．
故选：C．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（　　）
A．（3，﹣2） B．（2，3） C．（﹣2，﹣3） D．（2，﹣3）
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．
【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．
故选：D．
【点评】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标的特征，熟记特征是解题的关键．
3．在单词“APPLE”中随机选择一个字母，选择到的字母是“P”的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由单词“APPLE”中有2个p，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵单词“APPLE”中有2个p，
∴从单词“APPLE”中随机抽取一个字母为p的概率为：．
故选：C．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由抛物线解析式即可求得答案．
【解答】解：
∵y=（x﹣1）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（1，2），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
5．若正六边形外接圆的半径为4，则它的边长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【分析】根据正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，即可求解．
【解答】解：正六边形的中心角为360°÷6=60°，那么外接圆的半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形，
故正六边形的外接圆半径等于4，则正六边形的边长是4．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正多边形和圆，利用正六边形的外接圆半径和正六边形的边长将组成一个等边三角形得出是解题关键．
6．下列事件中，必然事件是（　　）
A．掷一枚硬币，正面朝上
B．任意三条线段可以组成一个三角形
C．投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数
D．抛出的篮球会下落
【分析】必然事件是指一定会发生的事件．
【解答】解：A、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A错误；
B、在同一条直线上的三条线段不能组成三角形，故B错误；
C、投掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数是奇数，是随机事件，故C错误；
D、抛出的篮球会下落是必然事件．
故选：D．
【点评】本题主要考查的是必然事件和随机事件，掌握随机事件和必然事件的概念是解题的关键．
7．若关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≥ B．m≥﹣ C．m≤ D．m≤﹣
【分析】根据方程有实数根得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣m=0有实数根，
∴△=12﹣4×1×（﹣m）=1+4m≥0，
解得：m≥﹣，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能根据根的判别式和已知得出不等式是解此题的关键．
8．用一条长40cm的绳子怎样围成一个面积为75cm2的矩形？设矩形的一边为x米，根据题意，可列方程为（　　）
A．x（40﹣x）=75 B．x（20﹣x）=75 C．x（x+40）=75 D．x（x+20）=75
【分析】根据长方形的周长可以用x表示宽的值，然后根据面积公式即可列出方程．
【解答】解：设长为xcm，
∵长方形的周长为40cm，
∴宽为=（20﹣x）（cm），
得x（20﹣x）=75．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的运用，要掌握运用长方形的面积计算公式S=ab来解题的方法．
9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB=8，AE=1，则弦CD的长是（　　）

A． B．2 C．6 D．8
【分析】根据垂径定理，可得答案．
【解答】解：连接OC，

由题意，得
OE=OA﹣AE=4﹣1=3，
CE=ED==，
CD=2CE=2，
故选：B．
【点评】本题考查了垂径定理，利用勾股定理，垂径定理是解题关键．
10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：：①a＜0；②b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；其中结论正确的个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据抛物线开口向下可得出a＜0，结论①正确；②由抛物线对称轴为直线x=﹣1可得出b=2a＜0，结论②错误；③由抛物线与x轴有两个交点，可得出∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；④由当x=1时y＜0，可得出a+b+c＜0，结论④正确．综上即可得出结论．
【解答】解：①∵抛物线开口向下，
∴a＜0，结论①正确；
②∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，
∴﹣=﹣1，
∴b=2a＜0，结论②错误；
③∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，结论③正确；
④∵当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，结论④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
　
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是　x1=1、x2=﹣2　．
【分析】由题已知的方程已经因式分解，将原式化为两式相乘的形式，再根据两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0，求出方程的解．
【解答】解：∵（x﹣1）（x+2）=0
∴x﹣1=0或x+2=0
∴x1=1，x2=﹣2，
故答案为x1=1、x2=﹣2．
【点评】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
12．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为　4π　cm．
【分析】直接利用弧长公式求出即可．
【解答】解：半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为： =4π（cm）．
故答案为：4π．
【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，正确记忆弧长公式是解题关键．
13．将抛物线y=5x2向左平移2个单位得到新的抛物线，则新抛物线的解析式是　y=5（x+2）2　．
【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．
【解答】解：抛物线y=5x2的顶点坐标为（0，0），
向左平移2个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
所以，平移后的抛物线的解析式为y=5（x+2）2．
故答案为：y=5（x+2）2
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．
14．在一个不透明的盒子中装有2个白球，n个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是黄球的概率为，则n=　4　．
【分析】根据黄球的概率公式列出关于n的方程，求出n的值即可．
【解答】解：由题意知： =，
解得n=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15．如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A=　55°　．

【分析】根据题意得出∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，即可得出∠A的度数．
【解答】解：∵把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，∠A′DC=90°，
∴∠ACA′=35°，则∠A′=90°﹣35°=55°，
则∠A=∠A′=55°．
故答案为：55°．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及三角形内角和定理等知识，得出∠A′的度数是解题关键．
16．如图，五边形ABCD内接于⊙O，若AC=AD，∠B+∠E=230°，则∠ACD的度数是　65°　．

【分析】依据圆周角定理，依据圆内接四边形的对角互补即可求解．
【解答】解：连接OC，OD，CE，DB．
在圆内接四边形ABCE中，有∠ABC+∠AEC=180°；
由圆周角定理知，∠AOC=2∠AEC，
∴∠ABC+∠AOC=180°，
同理∠AED+∠AOD=180°
两式相加有：230°+∠AOC+∠AOD=360°，即∠AOC+∠AOD=260°，
∴∠COD=360°﹣（∠AOC+∠AOD）=100°=2∠CAD，
∴∠CAD=50°．
∵AC=AD，
∴∠ACD=，
故答案为：65°

【点评】本题考查圆内接四边形问题，关键是利用了圆内接四边形的性质：对角互补，圆周角定理求解．
　
三、解答题（一）（每小题6分，共18分）
17．解方程：3x2﹣6x+1=2．
【分析】方程整理成一般式后，利用公式法求解可得．
【解答】解：方程整理为一般式为3x2﹣6x﹣1=0，
∵a=3，b=﹣6，c=﹣1，
∴△=36﹣4×3×（﹣1）=48＞0，
则x==，
即x1=，x2=．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法．此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，5）、B（﹣2，1）、C（﹣1，3）．
（1）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°后所得到的图形△A1B1C1；
（2）写出点A1、B1、C1的坐标．

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用（1）中所求进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：A1（5，3）、B1（1，2）、C1（3，1）．

【点评】此题主要考查了旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
19．某电脑公司现有A、B、C三种型号的甲品牌电脑和D、E两种型号的乙品牌电脑．某中学要从甲、乙两种品牌电脑中各选购一种型号的电脑．
（1）写出所有选购方案（利用树状图或列表方法表示）；
（2）如果（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，求A型号电脑被选中的概率．
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由（1）可求得A型号电脑被选中的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：（1）画树状图得：

∴有6种选择方案：AD、AE、BD、BE、CD、CE；
（2）∵（1）中各种选购方案被选中的可能性相同，且A型号电脑被选中的有2种情况，
∴A型号电脑被选中的概率==．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
　
四、解答题（二）（每小题7分，共21分）
20．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）按照这样的速度传染，第三轮将又有多少人被传染？
【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，列方程求解．
（2）根据（1）中所求数据，进而表示出第三轮将又被传染的人数．
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意有
x+1+（x+1）x=81，
解得x1=8，x2=﹣10（不符合题意舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．

（2）8×81=648（人）．
答：第三轮将又有648人被传染人．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是看到两轮传染，从而可列方程求解．
21．如图，四边形ABCD是正方形，△ADF旋转一定角度后得到△ABE，且点E在线段AD上，若AF=4，∠F=60°．
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求DE的长度和∠EBD的度数．

【分析】（1）由于△ADF旋转一定角度后得到△ABE，根据旋转的性质得到旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，于是得到旋转角为90°；
（2）根据旋转的性质得到AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，则∠ABE=90°﹣60°=30°，运用勾股定理得到AB=AD=4，∠ABD=45°，所以DE=4﹣4，然后利用∠EBD=∠ABD﹣∠ABE计算即可．
【解答】解：（1）∵△ADF旋转一定角度后得到△ABE，
∴旋转中心为点A，∠DAB等于旋转角，
∴旋转角为90°；

（2）∵△ADF以点A为旋转轴心，顺时针旋转90°后得到△ABE，
∴AE=AF=4，∠AEB=∠F=60°，
∴∠ABE=90°﹣60°=30°，
∴BE=2AE=8，
∴AB==4，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB=4，∠ABD=45°，
∴DE=4﹣4，
∠EBD=∠ABD﹣∠ABE=15°．

【点评】本题考查了旋转的性质以及勾股定理的运用，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
22．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与△ABC的外接圆相交于点D．
（1）若∠BAC=70°，求∠CBD的度数；
（2）求证：DE=DB．

【分析】（1）根据圆周角与圆心角的关系解答即可；
（2）根据等边对等角可以证得∠CAB=∠CBA，然后根据内心的定义即可证得∠ABE=∠BAE，从而依据等角对等边即可证得．
【解答】解：（1）∵点E是△ABC的内心，∠BAC=70°，
∴∠CAD=，
∵，
∴∠CBD=∠CAD=35°；
（2）∵E是内心，
∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠BAD，
∵∠BAD+∠ABE=∠BED，∠CBE+∠CBD=∠DBE，
∴∠DBE=∠BED，
∴DE=DB；
【点评】本题考查了三角形的内心以及圆周角定理，根据内心的定义证得∠ABE=∠BAE是本题的关键．
　
五、解答题（三）（每小题9分，共27分）
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，那么销售单价应控制在什么范围内？
【分析】（1）根据“利润=（售价﹣成本）×销售量”列出方程；
（2）把（1）中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；
（3）把y=4000代入函数解析式，求得相应的x值，即可确定销售单价应控制在什么范围内．
【解答】解：（1）y=（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
=（x﹣50）（﹣5x+550）
=﹣5x2+800x﹣27500，
∴y=﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y=﹣5x2+800x﹣27500=﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a=﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线x=80，
∴当x=80时，y最大值=4500；
（3）当y=4000时，﹣5（x﹣80）2+4500=4000，
解得x1=70，x2=90．
∴当70≤x≤90时，每天的销售利润不低于4000元．
【点评】本题考查二次函数的实际应用．建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出函数关系式和方程，再求解．
24．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．
（1）求证：AC是⊙O的切线：
（2）若BF=8，DF=，求⊙O的半径；
（3）若∠ADB=60°，BD=1，求阴影部分的面积．（结果保留根号）

【分析】（1）连接OA、OD，如图，利用垂径定理的推论得到OD⊥BE，再利用CA=CF得到∠CAF=∠CFA，然后利用角度的代换可证明∠OAD+∠CAF=90°，则OA⊥AC，从而根据切线的判定定理得到结论；
（2）设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，在Rt△ODF中利用勾股定理得到（8﹣r）2+r2=（）2，然后解方程即可；
（3）先证明△BOD为等腰直角三角形得到OB=，则OA=，再利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ADB=120°，则∠AOE=60°，接着在Rt△OAC中计算出AC，然后用一个直角三角形的面积减去一个扇形的面积去计算阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OA、OD，如图，
∵D为BE的下半圆弧的中点，
∴OD⊥BE，
∴∠ODF+∠OFD=90°，
∵CA=CF，
∴∠CAF=∠CFA，
而∠CFA=∠OFD，
∴∠ODF+∠CAF=90°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，
∴OA⊥AC，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OF=8﹣r，
在Rt△ODF中，（8﹣r）2+r2=（）2，解得r1=6，r2=2（舍去），
即⊙O的半径为6；
（3）解：∵∠BOD=90°，OB=OD，
∴△BOD为等腰直角三角形，
∴OB=BD=，
∴OA=，
∵∠AOB=2∠ADB=120°，
∴∠AOE=60°，
在Rt△OAC中，AC=OA=，
∴阴影部分的面积=••﹣=．

【点评】本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．
25．如图，在△ABC中，∠A=30°，∠C=90°，AB=12，四边形EFPQ是矩形，点P与点C重合，点Q、E、F分别在BC、AB、AC上（点E与点A、点B均不重合）．
（1）当AE=8时，求EF的长；
（2）设AE=x，矩形EFPQ的面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，将矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线CB匀速向右运动（当点P到达点B时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

【分析】（1）由EF∥BC，可得=，由此即可解决问题；
（2）①先根据点E为AB上一点得出自变量x的取值范围，根据30°的直角三角形的性质求出EF和AF的长，在
在Rt△ACB中，根据三角函数求出AC的长，计算FC的长，利用矩形的面积公式可求得S的函数关系式；
②把二次函数的关系式配方可以得结论；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵AB=12，∠A=30°，
∴BC=AB=6，AC=BC=6，
∵四边形EFPQ是矩形，
∴EF∥BC，
∴=，
∴=，
∴EF=4．

（2）①∵AB=12，AE=x，点E与点A、点B均不重合，
∴0＜x＜12，
∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，∠CFE=90°，
∴∠AFE=90°，
在Rt△AFE中，∠A=30°，
∴EF=x，
AF=cos30°•AE=x，
在Rt△ACB中，AB=12，
∴cos30°=，
∴AC=12×=6，
∴FC=AC﹣AF=6﹣x，
∴S=FC•EF=x（6﹣x）=﹣x2+3 x（0＜x＜12）；
②S=x（12﹣x）=﹣（x﹣6）2+9，
当x=6时，S有最大值为9；

（3）①当0≤t＜3时，如图1中，重叠部分是五边形MFPQN，

S=S矩形EFPQ﹣S△EMN=9﹣t2=﹣t2+9．
②当3≤t≤6时，重叠部分是△PBN，

S=（6﹣t）2，
综上所述，S=．
【点评】本题考查了矩形的性质、特殊的三角函数、30°的直角三角形的性质、二次函数的最值、正方形的判定等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．