人教版数学九年级上册期末复习试卷01（含答案）

这是一份人教版数学九年级上册期末复习试卷01（含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版数学九年级上册期末复习试卷
一、选择题
1．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
3．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣2，5）
4．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选种号码全部正确则获一等奖，你认为获一等奖机会大的是（　　）
A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定
5．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
7．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
8．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4

9．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F． S△AEF＝3，则S△FCD为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．27
10．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（　　）

A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
二、填空题
11．点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为　 　．
12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　 　（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为　 　．

14．将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是　 　度．
15．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是　 　．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P是线段BO、OA上的动点，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　 　．

三、解答题
17．解方程：x2﹣6x+8＝0．



18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图（不要求尺规作图），并求点A与点D之间的距离．



19．在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是　 　；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．



20．如图，∠A＝∠B＝30°
（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BC2＝BD•AB．







21．随着市民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹销售量逐年下降．某市2015年销售烟花爆竹20万箱，到2017年烟花爆竹销售量为9.8万箱．
（1）求该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率；
（2）预测该市2018年春节期间的烟花爆竹销售量．














22．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．







23．如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y＝（k＞0）经过点D，交BC于点E
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．








24．二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．





25．如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P，Q分别从BC两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动．速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围．

参考答案
一、选择题
1．在下列四个图案中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、B、C是中心对称图形，D不是中心对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．ʘO的半径为5cm，点A到圆心O的距离OA＝4cm，则点A与圆O的位置关系为（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆内 C．点A在圆外 D．无法确定
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，
即点A到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点A在⊙O内．
故选：B．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
3．抛物线y＝﹣2（x﹣3）2+5的顶点坐标是（　　）
A．（3，5） B．（3，﹣5） C．（﹣3，5） D．（﹣2，5）
【分析】由抛物线解析式即可求得答案．
解：
∵y＝﹣2（x﹣3）2+5，
∴抛物线顶点坐标为（3，5），
故选：A．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x＝h．
4．电脑福利彩票中有两种方式“22选5”和“29选7”，若选种号码全部正确则获一等奖，你认为获一等奖机会大的是（　　）
A．“22选5” B．“29选7” C．一样大 D．不能确定
【分析】先计算出“22选5”和“29选7”获奖的可能性，再进行比较，即可得出答案．
解：“22选5”福利彩票中，全部获奖的可能性为：，
“29选7”福利彩票中，全部获奖的可能性为：，
∵＜，
∴获一等奖机会大的是“29选7”，
故选：B．
【点评】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
5．点A（﹣3，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】利用待定系数法求出函数值即可判断．
解：当x＝﹣3时，y1＝1，
当x＝﹣1时，y2＝3，
当x＝1时，y3＝﹣3，
∴y3＜y1＜y2
故选：C．
【点评】本题考查反比例函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4m＞0，然后解关于m的不等式，最后对各选项进行判断．
解：根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m＞0，
解得m＜1．
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
7．已知如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，则∠CBA的度数为（　　）

A．60° B．50° C．40° D．30°
【分析】首先连接AC，由AB是⊙O的直径，可得∠ACB＝90°，然后由圆周角定理，求得∠A＝∠D，继而求得答案．
解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠CDB＝40°，
∴∠CBA＝90°﹣∠A＝50°．
故选：B．

【点评】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
8．把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（　　）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4
C．y＝2（x﹣3）2﹣4 D．y＝2（x﹣3）2+4
【分析】抛物线y＝2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
解：把抛物线y＝2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y＝2（x+3）2+4．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
9．如图，在平行四边形ABCD中，AE：EB＝1：2，E为AB上一点，AC与DE相交于点F． S△AEF＝3，则S△FCD为（　　）

A．6 B．9 C．12 D．27
【分析】先根据AE：EB＝1：2得出AE：CD＝1：3，再由相似三角形的判定定理得出△AEF∽△CDF，由相似三角形的性质即可得出结论．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AE：EB＝1：2，
∴AE：CD＝1：3，
∵AB∥CD，
∴∠EAF＝∠DCF，
∵∠DFC＝∠AFE，
∴△AEF∽△CDF，
∵S△AEF＝3，
∴，
解得S△FCD＝27．
故选：D．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
10．如图，△ABC中，M是AC的中点，E、F是BC上的两点，且BE＝EF＝FC．则BN：NQ：QM等于（　　）

A．6：3：2 B．2：1：1 C．5：3：2 D．1：1：1
【分析】连结MF，如图，先证明MF为△CEA的中位线，则AE＝2MF，AE∥MF，利用NE∥MF得到＝＝1，＝＝，即BN＝NM，MF＝2NF，设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，所以AN＝3b，然后利用AN∥MF得到＝＝＝，所以NQ＝a，QM＝a，再计算BN：NQ：QM的值．
解：连结MF，如图，
∵M是AC的中点，EF＝FC，
∴MF为△CEA的中位线，
∴AE＝2MF，AE∥MF，
∵NE∥MF，
∴＝＝1，＝＝，
∴BN＝NM，MF＝2NF，
设BN＝a，NE＝b，则NM＝a，MF＝2b，AE＝4b，
∴AN＝3b，
∵AN∥MF，
∴＝＝＝，
∴NQ＝a，QM＝a，
∴BN：NQ：QM＝a： a： a＝5：3：2．
故选：C．

【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为　（﹣1，2）　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案．
解：点A（1，﹣2）关于原点对称的点A′的坐标为：（﹣1，2）．
故答案为：（﹣1，2）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．
12．如表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．那么，这名球员投篮一次，投中的概率约为　0.5　（精确到0.1）．
投篮次数（n）
50
100
150
200
250
300
500
投中次数（m）
28
60
78
104
123
152
251
投中频率（m/n）
0.56
0.60
0.52
0.52
0.49
0.51
0.50
【分析】计算出所有投篮的次数，再计算出总的命中数，继而可估计出这名球员投篮一次，投中的概率．
解：由题意得，这名球员投篮的次数为1550次，投中的次数为796，
故这名球员投篮一次，投中的概率约为：≈0.5．
故答案为：0.5．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
13．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为　x1＝﹣1或x2＝3　．

【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．
解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（3﹣1）＝﹣1，
∴交点坐标为（﹣1，0）
∴当x＝﹣1或x＝3时，函数值y＝0，
即﹣x2+2x+m＝0，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝3．
故答案为：x1＝﹣1或x2＝3．
【点评】本题考查的是关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．
14．将一个底面半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是　144　度．
【分析】根据圆锥的侧面积公式得出圆锥侧面积，再利用扇形面积求出圆心角的度数．
解：∵将一个半径为6cm，母线长为15cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，
∴圆锥侧面积公式为：S＝πrl＝π×6×15＝90πcm2，
∴扇形面积为90π＝，
解得：n＝144，
∴侧面展开图的圆心角是144度．
故答案为：144
【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式应用以及与展开图扇形面积关系，求出圆锥侧面积是解决问题的关键．
15．已知一等腰三角形的底边长和腰长分别是方程x2﹣3x＝4（x﹣3）的两个实数根，则该等腰三角形的周长是　10或11　．
【分析】因式分解法解方程求得x的值，再分两种情况求解可得．
解：解方程x2﹣3x＝4（x﹣3），即（x﹣3）（x﹣4）＝0得x＝3或x＝4，
若腰长为3时，周长为3+3+4＝10，
若腰长为4时，周长为4+4+3＝11，
故答案为：10或11．
【点评】本题主要考查解一元二次方程和等腰三角形的能力，解题的关键是熟练掌握因式分解法解一元二次方程的能力和等腰三角形的定义．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P是线段BO、OA上的动点，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是　（0，），（2，0），（，0）　．

【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到＝，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；
当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴＝，
∵点A（4，0）和点B（0，3），
∴AB＝＝5，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝，
∴＝，
∴AP＝，
∴OP＝OA﹣AP＝4﹣＝，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．
故答案为：（0，），（2，0），（，0）．

【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．
三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（9分）解方程：x2﹣6x+8＝0．
【分析】把方程左边分解得到（x﹣2）（x﹣4）＝0，则原方程可化为x﹣2＝0或x﹣4＝0，然后解两个一次方程即可．
解：x2﹣6x+8＝0
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
∴x﹣2＝0或x﹣4＝0，
∴x1＝2 x2＝4．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
18．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A、B的对应点分别是点D、E，请直接画出旋转后的三角形简图（不要求尺规作图），并求点A与点D之间的距离．

【分析】首先根据题意画出旋转后的三角形，易得△ACD是等腰直角三角形，然后由勾股定理求得AC的长．
解：如图，

∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，
∴AC＝＝3，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，
∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°，
∴AD＝＝3．
【点评】此题考查了旋转的性质以及勾股定理．注意掌握旋转前后图形的对应关系是解此题的关键．
19．（10分）在湖州创建国家卫生文明城市的过程中，张辉和夏明积极参加志愿者活动，当时有下列四个志愿者工作岗位供他们选择：
①清理类岗位：清理花坛卫生死角；清理楼道杂物（分别用A1，A2表示）．
②宣传类岗位：垃圾分类知识宣传；交通安全知识宣传（分别用B1，B2表示）．
（1）张辉同学从四个岗位中随机选取一个报名，恰好选择清理类岗位概率为是　　；
（2）若张辉和夏明各随机从四个岗位中选一个报名，请你利用树状图或列表法求出他们恰好都选择同一个岗位的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）根据题意先画出树状图，得出所以等可能的结果数，再找出张辉和夏明恰好都选择田赛的结果数，然后根据概率公式求解即可．
解：（1）张辉同学选择清理类岗位的概率为：＝；
故答案为：；

（2）根据题意画树状图如下：

共有16种等可能的结果数，张辉和夏明恰好选择同一岗位的结果数为4，
所以他们恰好选择同一岗位的概率：＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
20．（10分）如图，∠A＝∠B＝30°
（1）尺规作图：过点C作CD⊥AC交AB于点D；
（只要求作出图形，保留痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，求证：BC2＝BD•AB．

【分析】（1）利用过直线上一点作直线的垂线确定D点即可得；
（2）根据圆周角定理，由∠ACD＝90°，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠A＝30°，推出△CDB∽△ACB，根据相似三角形的性质即可得到结论．
解：（1）如图所示，CD即为所求；


（2）∵CD⊥AC，
∴∠ACD＝90°
∵∠A＝∠B＝30°，
∴∠ACB＝120°
∴∠DCB＝∠A＝30°，
∵∠B＝∠B，
∴△CDB∽△ACB，
∴＝，
∴BC2＝BD•AB．
【点评】本题考查了复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质．
21．（12分）随着市民环保意识的增强，春节期间烟花爆竹销售量逐年下降．某市2015年销售烟花爆竹20万箱，到2017年烟花爆竹销售量为9.8万箱．
（1）求该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率；
（2）预测该市2018年春节期间的烟花爆竹销售量．
【分析】（1）设该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，根据2015年和2017年销售的箱数，列出方程，求解即可．
（2）根据（1）中的平均下降率预测该市2018年春节期间的烟花爆竹销售量．
解：（1）设该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率为x，
依题意得：20（1+x）2＝9.8，
解这个方程，得x1＝0.3，x2＝1.7，
由于x2＝1.7不符合题意，即x＝0.3＝30%．
答：该市2015年到2017年烟花爆竹年销售量的平均下降率为30%．

（2）由题意，得9.8×（1﹣30%）＝6.86（万箱）
答：预测该市2018年春节期间的烟花爆竹销售量为6.86万箱．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
22．（12分）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点，且∠DBC＝∠A＝60°，连接OE并延长与⊙O相交于点F，与BC相交于点C．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为6cm，求弦BD的长．

【分析】（1）连接OB，由垂径定理的推论得出BE＝DE，OE⊥BD，＝，由圆周角定理得出∠BOE＝∠A，证出∠OBE+∠DBC＝90°，得出∠OBC＝90°即可；
（2）由勾股定理求出OC，由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长．
（1）证明：连接OB，如图所示：
∵E是弦BD的中点，
∴BE＝DE，OE⊥BD，＝，
∴∠BOE＝∠A，∠OBE+∠BOE＝90°，
∵∠DBC＝∠A，
∴∠BOE＝∠DBC，
∴∠OBE+∠DBC＝90°，
∴∠OBC＝90°，
即BC⊥OB，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵OB＝6，∠DBC＝∠A＝60°，BC⊥OB，
∴OC＝12，
∵△OBC的面积＝OC•BE＝OB•BC，
∴BE＝，
∴BD＝2BE＝6，
即弦BD的长为6．

【点评】本题考查了切线的判定、垂径定理的推论、圆周角定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握垂径定理的推论和圆周角定理是解决问题的关键．
23．（12分）如图，在四边形OABC中，BC∥AO，∠AOC＝90°，点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），点D为AB上一点，且，双曲线y＝（k＞0）经过点D，交BC于点E
（1）求双曲线的解析式；
（2）求四边形ODBE的面积．

【分析】（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，利用点A，B的坐标得到BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，再证明△ADN∽△ABM，利用相似比可计算出DN＝2，AN＝1，则ON＝OA﹣AN＝4，得到D点坐标为（4，2），然后把D点坐标代入y＝中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数k的几何意义和S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD进行计算．
解：（1）作BM⊥x轴于M，作DN⊥x轴于N，如图，
∵点A，B的坐标分别为（5，0），（2，6），
∴BC＝OM＝2，BM＝OC＝6，AM＝3，
∵DN∥BM，
∴△ADN∽△ABM，
∴＝＝，即＝＝，
∴DN＝2，AN＝1，
∴ON＝OA﹣AN＝4，
∴D点坐标为（4，2），
把D（4，2）代入y＝得k＝2×4＝8，
∴反比例函数解析式为y＝；

（2）S四边形ODBE＝S梯形OABC﹣S△OCE﹣S△OAD
＝×（2+5）×6﹣×|8|﹣×5×2
＝12．

【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数k的几何意义和梯形的性质；理解坐标与图形的性质；会运用相似比计算线段的长度．
24．（14分）二次函数y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5，其中m+2＞0．
（1）求该二次函数的对称轴方程；
（2）过动点C（0，n）作直线l⊥y轴．
①当直线l与抛物线只有一个公共点时，求n与m的函数关系；
②若抛物线与x轴有两个交点，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．当n＝7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点，求此时m的值；
（3）若对于每一个给定的x的值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

【分析】（1）将抛物线解析式配方成顶点式即可得；
（2）①画出函数的大致图象，由图象知直线l经过顶点式时，直线l与抛物线只有一个交点，据此可得；
②画出翻折后函数图象，由直线l与新的图象恰好有三个公共点可得﹣2m+3＝﹣7，解之可得；
（3）由开口向上及函数值都不小于1可得，解之即可．
解：（1）∵y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5＝（m+2）（x﹣1）2﹣2m+3，
∴对称轴方程为x＝1．

（2）①如图，由题意知直线l的解析式为y＝n，

∵直线l与抛物线只有一个公共点，
∴n＝﹣2m+3．
②依题可知：当﹣2m+3＝﹣7时，直线l与新的图象恰好有三个公共点．
∴m＝5．

（3）抛物线y＝（m+2）x2﹣2（m+2）x﹣m+5的顶点坐标是（1，﹣2m+3）．
依题可得
解得
∴m的取值范围是﹣2＜m≤1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点及解不等式组得能力，根据题意画出函数的图象，结合函数图象得出对应方程或不等式组是解题的关键．
25．（14分）如图，在△ABC中，已知AB＝BC＝CA＝4cm，AD⊥BC于D，点P，Q分别从BC两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动．速度为1cm/s；点Q沿CA、AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x（s）．
（1）求x为何值时，PQ⊥AC；
（2）设△PQD的面积为y（cm2），当0＜x＜2时，求y与x的函数关系式；
（3）探索以PQ为直径的圆与AC的位置关系，请写出相应位置关系的x的取值范围．

【分析】（1）若使PQ⊥AC，则根据路程＝速度×时间表示出CP和CQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
若使PQ⊥AB，则根据路程＝速度×时间表示出BP，BQ的长，再根据30度的直角三角形的性质列方程求解；
（2）首先画出符合题意的图形，再根据路程＝速度×时间表示出BP，CQ的长，根据等边三角形的三线合一求得PD的长，根据30度的直角三角形的性质求得PD边上的高，再根据面积公式进行求解；
（3）根据（1）中求得的值，确定圆与AB、AC相切时的t的值，即可分情况进行讨论．
解：（1）当Q在AB上时，显然PQ不垂直于AC，
当Q在AC上时，由题意得，BP＝x，CQ＝2x，PC＝4﹣x；
∵AB＝BC＝CA＝4，
∴∠C＝60°；
若PQ⊥AC，则有∠QPC＝30°，
∴PC＝2CQ，
∴4﹣x＝2×2x，
∴x＝；
当x＝（Q在AC上）时，PQ⊥AC；

（2）如图②，当0＜x＜2时，P在BD上，Q在AC上，过点Q作QN⊥BC于N；
∵∠C＝60°，QC＝2x，
∴QN＝QC×sin60°＝x；
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝BC＝2，
∴DP＝2﹣x，
∴y＝PD•QN＝（2﹣x）•x＝﹣x2+x；

（3）显然，不存在x的值，使得以PQ为直径的圆与AC相离，
由（1）可知，当x＝时，以PQ为直径的圆与AC相切；
当点Q在AB上时，8﹣2x＝，解得x＝，
故当x＝或时，以PQ为直径的圆与AC相切，
当0≤x＜或＜x＜或＜x≤4时，以PQ为直径的圆与AC相交．

【点评】本题考查三角形综合题、等边三角形的性质、直角三角形的性质以及直线和圆的位置关系求解．解题的关键是用动点的时间x和速度表示线段的长度，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．