高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布本章综合与测试教学设计

《概率》全章节复习与巩固

【学习目标】

1.理解随机变量及其概率分布的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.

2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用.

3.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题.

4.理解随机变量的均值、方差的概念，能计算简单随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题.

5.了解正态分布的有关概念.

【要点梳理】

要点一、离散型随机变量及其分布列

1．离散型随机变量：

如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用希腊字母等表示。

对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量；

若是随机变量，其中a,b是常数，则也是随机变量，并且不改变其属性（离散型、连续型）。

2．离散性随机变量的分布列：

设离散型随机变量可能取得值为x1,x2,…,x3,…,若取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为，则称表

为随机变量的概率分布，简称的分布列.

离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

（1）pi≥0,i=1,2…；

（2）P1+P2+…=1

3．如果随机变量X的分布列为

称离散型随机变量服从参数为的两点分布。

要点二、超几何分布

在含M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件发生的概率为：

，

其中，，称分布列

为超几何分布列。

离散型随机变量X服从超几何分布。

要点三、二项分布

1.n次独立重复试验

每次试验只考虑两种可能结果与，并且事件发生的概率相同。在相同的条件下重复地做次试验，各次试验的结果相互独立，称为次独立重复试验。

要点诠释：

在次独立重复试验中，一定要抓住四点：

①每次试验在同样的条件下进行；

②每次试验只有两种结果与，即某事件要么发生，要么不发生；

③每次试验中，某事件发生的概率是相同的；

④各次试验之间相互独立。

总之，独立重复试验，是在同样的条件下重复的，各次之间相互独立地进行的一种试验，在这种试验中，每一次的试验结果只有两种，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

2.独立重复试验的概率公式

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为：

（k=0，1，2，…，n）．

令得，在n次独立重复试验中，事件A没有发生的概率为

令得，在n次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为。

3.二项分布

在一次随机试验中，事件A可能发生也可能不发生，在次独立重复试验中事件A发生的次数是一个离散型随机变量．如果在一次试验中事件A发生的概率是，则此事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率是

，（）．

于是得到离散型随机变量的概率分布如下：

由于表中第二行恰好是二项展开式

中各对应项的值，所以称这样的随机变量服从参数为，的二项分布，记作．

要点诠释：

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三：

其一是独立性，即每次试验的结果是相互独立的；

其二是重复性，即试验独立重复地进行了n次；

其三是试验的结果的独特性，即一次试验中，事件发生与不发生，二者必居其一。

要点四、随机变量的均值和方差

1.离散型随机变量的期望

一般地，若离散型随机变量的概率分布为

则称……为的均值或数学期望，简称期望．

要点诠释：

（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．

（2）一般地，在有限取值离散型随机变量的概率分布中，令…，则有…，…，所以的数学期望又称为平均数、均值。

（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位．

2.离散型随机变量的方差与标准差

方差：已知一组数据，，…，，它们的平均值为，那么各数据与的差的平方的平均数

＋＋…＋叫做这组数据的方差。

离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量的概率分布为

则称＝＋＋…＋＋…称为随机变量的方差，式中的是随机变量的期望．

的算术平方根叫做随机变量的标准差，记作．

3.常见分布的期望与方差

二点分布：若离散型随机变量服从参数为的二点分布，则

期望；方差

二项分布：若离散型随机变量服从参数为的二项分布，即则

期望；方差

几何分布：独立重复试验中，若事件在每一次试验中发生的概率都为，事件第一次发生时所做的试验次数是随机变量，且，，称离散型随机变量服从几何分布，记作：。

若离散型随机变量服从几何分布，且则

期望    方差

超几何分布：若离散型随机变量服从参数为的超几何分布，则期望

要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。

要点五、正态分布

1．概率密度函数

对于连续型随机变量，位于轴上方，落在任一区间（a，b]内的概率等于它与轴、直线与直线所围成的曲边梯形的面积（如图阴影部分），这条概率曲线叫做的概率密度曲线，以其作为图象的函数叫做的概率密度函数。

正态变量的概率密度函数表达式为：，（）

其中x是随机变量的取值；μ为正态变量的期望；是正态变量的标准差.

2．正态分布

如果对于任何实数随机变量满足：，

则称随机变量服从正态分布。记为。

若，则的期望与方差分别为：，。

3.正态密度曲线

如果随机变量X的概率密度函数为，其中实数和为参数（），则称函数的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线。

4．正态曲线的性质：

①曲线位于轴上方，与轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线对称；

③曲线在时达到峰值；

④当时，曲线上升；当时，曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近.

⑤曲线与轴之间的面积为1；

⑥决定曲线的位置和对称性；

当一定时，曲线的对称轴位置由确定；如下图所示，曲线随着的变化而沿轴平移。

⑦确定曲线的形状；

当一定时，曲线的形状由确定。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散。如下图所示。

【典型例题】

类型一、概率分布的性质

例1、若离散型随机变量ξ的概率分布列为：

试求出常数c与ξ的分布列。

【解析】由离散型随机变量分布列的基本性质知：

解得常数，从而ξ的分布列为：

【变式1】某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．

【解析】根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有

 P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22.

所求的概率为P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．

【变式2】随机变量的分布列如下：

其中成等差数列，若，则的值是          ．

【答案】；

【解析】由题意知：，解得，

所以。

类型二：有关超几何分布问题

例2、已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．

（Ⅰ）求取出的4个球均为黑球的概率；

（Ⅱ）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（Ⅲ）设为取出的4个球中红球的个数，求的分布列和数学期望．

【解析】（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．

由于事件相互独立，且，．

故取出的4个球均为黑球的概率为．

（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球，从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件．由于事件互斥，

且，．

故取出的4个球中恰有1个红球的概率为．

（Ⅲ）可能的取值为．

由（Ⅰ），（Ⅱ）得，，．

从而．

的分布列为

的数学期望．

【变式1】某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．

（I）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；

（II）任选3名下岗人员，记为3人中参加过培训的人数，求的分布列和期望．

【答案】任选1名下岗人员，

记“该人参加过财会培训”为事件，“该人参加过计算机培训”为事件，

由题设知，事件与相互独立，且，．

(I)法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是

所以该人参加过培训的概率是．

法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是

该人参加过两项培训的概率是．

所以该人参加过培训的概率是．

(II)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数服从二项分布，

，，

即的分布列是

的期望是．

（或的期望是）

【变式2】某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品，制作过程必须先后经过两次烧制，当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制，两次烧制过程相互独立．根据该厂现有的技术水平，经过第一次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，，经过第二次烧制后，甲、乙、丙三件产品合格的概率依次为，，．

（1）求第一次烧制后恰有一件产品合格的概率；

（2）经过前后两次烧制后，合格工艺品的个数为，求随机变量的期望．

【答案】分别记甲、乙、丙经第一次烧制后合格为事件，，，

（1）设表示第一次烧制后恰好有一件合格，则

．

（2）法一：因为每件工艺品经过两次烧制后合格的概率均为，所以，

故．

法二：分别记甲、乙、丙经过两次烧制后合格为事件，

则，

所以，

，

，

．

于是，．

【变式3】A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η，

（1）求ξ、η的概率分布；（2）求Eξ、Eη。

【答案】（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0

，

，

根据题意知ξ+η=3，

所以

。

（2）

因为ξ+η=3，所以

类型三、条件概率

 例3．5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：

（1）第1次抽到理科题的概率；

（2）第1次和第2次都抽到理科题的概率；

（3）在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题概率

【思路点拨】本题考查古典概型、条件概率．（1）和（2）中利用解决，（3）利用条件概率公式解决．

【解析】 设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB．

（1）．

（2）．

（3）．

【变式1】某学校一年级共有学生100名，其中男生60人，女生40人；来自北京的有20人，其中男生12人，若任选一人是女生，问该女生来自北京的概率是多少？

【答案】用A表示“任选一人是女生”，B表示“任选一人来自北京”，依题意知北京的学生有8名女生，这是一个条件概率问题，即计算P（B｜A）．

由于，，

∴．

【变式2】盒中装有5件产品，其中3件一等品，2件二等品，从中不放回地抽取产品，每次抽取1件，求：

（1）取两次，两次都取得一等品的概率；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率；

（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率。

【答案】事件Ai为“第i次取到一等品”，其中i=1，2，

（1）取两次，两次都取得一等品的概率为

；

（2）取两次，第二次取得一等品的概率，即第一次有可能取到一等品，也有可能取到二等品，

可得；

（3）取两次，已知第二次取得一等品，第一次取得的是二等品的概率，

即。

类型四、二项分布

例4、某人参加射击，击中目标的概率是。

①设为他射击6次击中目标的次数，求随机变量的分布列；

②设为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求的分布列；

③若他只有6颗子弹，若他击中目标，则不再射击，否则子弹打完，求他射击次数的分布列。

【思路点拨】 由已知，某人射击6次相当于6次独立重复试验，他射击6次击中目标的次数ξ满足，，因此，随机变量ξ服从二项分布；第一次击中目标时所需要射击的次数η满足，因此η服从几何分布。

【解析】①随机变量服从二项分布，而的取值为0,1,2,3,4,5,6，

则

故的分布列为：

②设表示他前次未击中目标，而在第次射击时击中目标，则的取值为全体正整数1,2,3,…　则

的分布列为

③的取值为1,2,3,4,5,6

，表示前次未击中，而第次击中，

∴，；

而表示前5次未击中，第6次可以击中，也可以未击中

∴

∴的分布列为：

【变式1】在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求：

（1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列；

（2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列.

【解析】η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析.

（1）随机变量ξ取值为0，1，2

P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，

所以ξ的分布列为

（2）随机变量η取值为0，1，2，3

P(η=k)=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），

所以η的分布列如下，

【变式2】从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．

（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率；

（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，表示取出的2件产品中二等品的件数，求的分布列．

【解析】（1）记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，

表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．

则互斥，且，

故

于是．解得；

（2）的可能取值为．

若该批产品共100件，由（1）知其二等品有件，

故，，．

所以的分布列为

【变式3】某运动员射击一次所得环数的分布如下：

现进行两次射击，以该运动员两次射击中最高环数作为他的成绩，记为.

(I)求该运动员两次都命中7环的概率；

(II)求的分布列；

【解析】 (Ⅰ)求该运动员两次都命中7环的概率为；

(Ⅱ)的可能取值为7、8、9、10

；

分布列为：

类型五、正态分布

例5.  如图所示，是一个正态曲线，试根据该图像写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．

【思路点拨】由正态曲线的图像可知，该曲线的对称轴为x=20，最大值为，因此，μ=20，由可求得的值．

【解析】从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x=20对称，

最大值是，所以μ=20．

由，解得．

于是概率密度函数的解析式是，x∈（－∞，+∞）．

总体随机变量的期望是μ=20，方差是．

【变式1】如图是三个正态分布X～N（0，0.25），Y～N（0，1），Z～N（0，4）的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线分别是图中的________、________、________。

【答案】①②③。