2021年河南省南阳市宛城区九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年河南省南阳市宛城区九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.假设式子 有意义，那么实数x的值可以是〔 〕
A. 0 B. 1 C. 2 D. 5
2.=， 那么的值是〔 〕
A. B. C. D.
3.以下二次根式中，不能与 合并的是〔 〕
A. B. C. D.
4.关于x的一元二次方程x2+〔k﹣2〕x+k2﹣1＝0的一个根是0，那么k的值是〔 〕
A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. 2
5.从“+，﹣，×，÷〞中选择一种运算符号，填入算式“〔 +1〕□x〞的“□〞中，使其运算结果为有理数，那么实数x不可能是〔 〕
A. +1 B. 5 ﹣1 C. ﹣2 D. 1﹣
6.假设 ，那么 的值为〔 〕
A. 10 +1 B. 10 C. ﹣13 D. 1
7.定义新运算“a※b〞：对于任意实数a、b，都有a※b＝〔a+b〕〔a﹣b〕﹣1，例4※2＝〔4+2〕〔4﹣2〕﹣1＝12﹣1＝11.那么方程x※1＝x的根的情况为〔 〕
A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 只有一个实数根
8.某口罩加工厂 年一月份口罩产值达 万元，第一季度总产值达 万元，假设第二、三月份的月平均增长率为x，那么由题意可列方程为〔 〕
A. B.
C. D.
9.等腰三角形的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程 的两个实数根，那么该等腰三角形的周长是〔 〕
A. 14 B. 14或15 C. 4或6 D. 24或25
10.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D〔﹣2，3〕，AD＝5，假设反比例函数y＝ 〔x＞0〕的图象经过点B，那么k的值为〔 〕
A. 4 B. C. 10 D.
二、填空题
11.方程x〔x﹣2〕＝2﹣x的根是 .
12.如图是小孔成像原理示意图，假设点O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，物体AB的高度是9cm，那么像CD的高度是 cm.
13.M＝ ﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应M值的总和是 .
14.“黄金分割〞被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见.如图，D、E是△ABC中边BC的两个“黄金分割〞点，那么△ADE与△ABC的面积之比是 .
15.如图，A、B、C、D都是格点〔小正方形的顶点〕，动点E在线段AC上，假设点A的坐标是〔1，1〕，那么当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是 .
三、解答题
16.解方程： x2﹣4x﹣ ＝0.
17.计算：
〔1〕.；
〔2〕..
18.求当m为何值时，关于x的方程mx2﹣〔2m﹣1〕x+m﹣2＝0有实数根.
19.如图，E是▱ABCD的边CD延长线上一点，连接BE，交AC于点O，交AD于F.
〔1〕.图中的相似三角形共有 .
A. 7对； B. 6对； C. 5对； D. 4对.
〔2〕.求证：OB2＝OE•OF.
20.“通过等价变换，化复杂为简单，化陌生为熟悉，化未知为〞是数学学习中解决问题的根本思维方式.例如：解方程x﹣ ＝0，就可利用该思维方式，设 ＝y，将原方程转化为： 这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x.这种方法又叫“换元法〞.请你用这种思维方式和换元法解决以下问题：
〔1〕.填空：假设 ，那么 的值为 ；
〔2〕.直接写出方程 的根；
〔3〕.解方程： 2 ﹣8＝0.
21.〔教材呈现〕如图是华师版九年级上册数学教材第77页的局部内容.

〔1〕.〔定理证明〕请根据教材内容，结合图①，写出证明过程.
〔2〕.〔定理应用〕如图②，四边形ABCD中，M、N、P分别为AD、BC、BD的中点，边BA、CD延长线交于点E，∠E＝45°，那么∠MPN的度数是 .
〔3〕.如图③，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点E在边AB上，且AE＝3BE.将线段AE绕点A旋转一周，得到线段AF，M是线段CF的中点，直接写出旋转过程中线段BM长的最大值和最小值.
22.〔问题提出〕在2021抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学〞的号召进行线上学习，九年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频 ，彼此关心，互相勉励，共同提高，假设每两名同学之间仅通过一次视频 ，如何求全班56名同学共通过多少次 呢？
〔模型构建〕用点 、 、 、…、 分别表示第1、2、3、…、56名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：
〔问题解决〕
〔1〕.填写如图中第5个图中S的值为 .
〔2〕.通过探索发现，通 次数S与该班级人数n之间的关系式为 ， 那么当n＝56时，对应的S＝ .
〔3〕.假设该班全体女生相互之间共通话253次，求该班共有多少名女生？
〔4〕.假设该班数学兴趣小组的同学们，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信182条，那么该班数学兴趣小组的人数是 .
23.
〔1〕.〔证明〕如图①，在△ABC中，D为BC上一点，∠CAD＝∠B.求证：CA2＝CD•CB.
〔2〕.〔应用〕如图②，在▱ABCD中，P为BC上一点，Q为BA延长线上一点，∠CQP＝∠D.假设CQ＝6，CP＝3，求AD的长.
〔3〕.〔拓展〕如图③，在菱形ABCD中，P是BC上一点，BD∥PQ，BD＝2PQ，∠ABC＝2∠PAQ，当BP＝1，AQ＝3 时，请直接写出菱形ABCD的边长.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意，得1﹣x＞0，
解得x＜1，
∴实数x的值可以x＜1的数0，
只有选项A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方式非负，分式有意义的条件：分母不能为0，列出不等式，求解即可.
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵=，
∴设a=2k，那么b=3k，
∴==，
应选A．
【分析】因为=， 所以可以设：a=2k，那么b=3k，将其代入分式即可求解．
3.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、 ，能与 合并，故本选项不符合题意；
B、 ，不能与 合并，故本选项符合题意；
C、 ，能与 合并，故本选项不符合题意；
D、 能与 合并，故本选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据二次根式的性质把各项的二次根式化成最简二次根式，再看他们的被开方数是否相同，如果被开方数相同，那么能合并，据此进行判断即可得出答案.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：把x＝0代入方程得：k2﹣1＝0，
解得：k＝1或k＝﹣1，
故答案为：C.
【分析】把x＝0代入一元二次方程得出关于k的方程，解方程求出k的值，即可得出答案.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、〔 +1〕﹣〔 +1〕＝0，故本选项不合题意；
B、〔 +1〕+=6， ( +1〕- =-4+2，( +1〕=14+4， ( +1〕÷=， 故本选项符合题意；
C、〔 +1〕﹣〔 ﹣2〕＝3，故本选项不合题意；
D、〔 +1〕〔1﹣ 〕＝﹣2，故本选项不合题意.
故答案为：B.
【分析】把 +1分别与各项的式子进行加、减、乘、除计算，即可得出答案.
6.【答案】 D
【解析】【解答】解：
.
故答案为：D.
【分析】把x的值代入，再根据二次根式混合运算顺序和法那么进行计算，即可得出答案.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：由新定义得(x+1)(x﹣1)﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣2＝0，
∵ ＝(﹣1)2﹣4×1×(﹣2)＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
故答案为：C.
【分析】由新定义可得关于x的一元二次方程，求得b2-4ac的值，再根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可求解.
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：二月份的产值为：50〔1＋x〕，
三月份的产值为：50〔1＋x〕〔1＋x〕＝50〔1＋x〕2 ，
故根据题意可列方程为：50＋50〔1＋x〕＋50〔1＋x〕2＝175.
故答案为：D.
【分析】根据题意先求出二月份的产值为50〔1＋x〕万元，三月份的产值为50〔1＋x〕2万元，再根据第一季度总产值为175万元，列出方程即可得出答案.
9.【答案】 A
【解析】【解答】解：分为两种情况：①当腰长是4时，设底边为a，
根据韦达定理：a+4＝10，
解得：a＝6，
即此时底边为6，
∴该等腰三角形的周长为14，
②底边为4，设腰长为b，
根据韦达定理：2b＝10，
解得b＝5，
所以该等腰三角形的周长是14.
故答案为：A.
【分析】分为两种情况讨论，①当腰长是4时，设底边为a，根据一元二次方程根与系数的关系得出a+4＝10，得出a＝6，求出等腰三角形的周长是14，②当底边为4时，设腰长为b，根据一元二次方程根与系数的关系得出2a＝10，得出a＝5，求出等腰三角形的周长是14，即可得出答案.
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：
设A〔t，0〕，
∵D〔﹣2，3〕，AD＝5，
∴〔t+2〕2+32＝52 ， 解得t＝2，
∴A〔2，0〕，
设C〔0，m〕，
∵D点向右平移2个单位，向上平移〔m﹣3〕个单位得到C点，
∴A点向右平移2个单位，向上平移〔m﹣3〕个单位得到B点，
∴B〔4，m﹣3〕，
∵AC＝BD，
∴22+m2＝〔4+2〕2+〔m﹣3﹣3〕2 ， 解得m＝ ，
∴B〔4， 〕，
把B〔4， 〕代入y＝ 得k＝4× ＝ .
故答案为：D.
【分析】设A〔t，0〕，利用两点间的距离公式得到〔t+2〕2+32=52 ， 解方程得到A〔2，0〕，设C〔0，m〕，根据矩形的性质通过点的平移得到B〔4，m-3〕，那么利用AC=BD得到22+m2=〔4+2〕2+〔m-3-3〕2 ， 解方程得B点坐标，然后把B点坐标代入y= 中可得到k的值.
二、填空题
11.【答案】 x1＝2，x2＝﹣1
【解析】【解答】解：x(x﹣2)＝2﹣x，
x(x﹣2)﹣(x﹣2)＝0，
(x﹣2)(x+1)＝0，
x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
故答案为：x1＝2，x2＝﹣1.
【分析】观察方程的特点，有公因式(x-2)，所以利用因式分解法解方程，首项将方程的右边整体移到方程的左边，方程的左边利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于0，那么这两个因式至少有一个为0，从而将原方程将次为两个一元一次方程，解两一元一次方程即可求出原方程的解.
12.【答案】 3
【解析】【解答】解：∵AB∥CD ，
∴ △ABO∽△DCO ，
∴ ，
又∵ AB=9cm ，
∴ CD=3cm .
故答案为：3.
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其他两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△ABO∽△DCO，根据相似三角形对应边上的高之比等于相似比得出， 即可求出CD的长.
13.【答案】 2022
【解析】【解答】解：M＝ ﹣x+3＝|x﹣2|﹣x+3，
①当x≤2时，|x﹣2|＝2﹣x，此时M＝ ﹣x+3＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x，
x＝1，M＝5﹣2x＝3，
x＝2，M＝5﹣2x＝1，
②当x＞2时，|x﹣2|＝x﹣2，此时M＝ ﹣x+3＝x﹣2﹣x+3＝1，
∴当x分别取1，2，3，…，2021时， 所对应M的值和=3+1+1×〔2021﹣2〕＝2022.
故答案为：2022.
【分析】先根据化简二次根式，进而分①当x≤2时与②当x＞2时求出M的表达式，再将x的取值依次代入求出M的值，然后求和即可得出答案.
14.【答案】 ﹣2
【解析】【解答】解：过A作AH⊥BC于H，如下列图：
∵D、E是边BC的两个“黄金分割〞点，
∴BE＝CD＝ BC，
∴BD＝BC﹣CD＝BC﹣ BC＝ BC，
∴DE＝BE﹣BD＝ BC﹣ BC＝( ﹣2)BC，
∴△ADE与△ABC的面积之比＝ ＝ ＝ ＝ ﹣2，
故答案为： ﹣2.
【分析】过A作AH⊥BC于H，所谓黄金分割就是将整体一分为二，其中较小局部与较大局部的比值等于较大局部与整体的比值，据此得出BE＝CD＝BC，得出BD＝BC﹣CD＝BC，从而得出DE＝BE﹣BD＝( ﹣2)BC，再根据三角形的面积公式得出△ADE与△ABC的面积之比=， 即可得出答案.
15.【答案】 〔3，3〕或〔 ， 〕
【解析】【解答】解：根据题意得：AD＝1，AB＝3，AC＝
∵∠A＝∠A，
∴假设△ADE∽△ABC时， ＝ ，
即： ，
解得：AE＝2 ，
∵点A的坐标是〔1，1〕，
∴E〔3，3〕；
假设△ADE∽△ACB时， ＝ ，
即： ＝ ，
解得：AE＝ ，
∴E〔 ， 〕，
∴当△ADE与△ABC相似时，动点E的坐标是〔3，3〕或〔 ， 〕，
故答案为：〔3，3〕或〔 ， 〕.
【分析】分两种情况讨论：当△ADE∽△ABC时， ＝ ，当△ADE∽△ACB时， ＝ ，分别求出AE的长，结合点A的坐标即可求出点E的坐标.
三、解答题
16.【答案】 解： x2﹣4x﹣ =0
整理得x2﹣3x﹣ ＝0，
∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣ ，
∴b2﹣4ac＝〔﹣3〕2﹣4×1×〔﹣ 〕＝10＞0，
∴方程有两个不相等的实数根
∴x＝ ＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ .
【解析】【分析】方程两边同乘以把方程化为x2-3x-＝0， 再计算出根的判别式的值，由于判别式的值大于0，故方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式“ x＝ 〞，即可求出方程的解.
17.【答案】 〔1〕解：
=
＝﹣2；
〔2〕解：
=
＝
＝ .
【解析】【分析】〔1〕根据负整数指数幂、零指数幂、二次根式的性质、实数的绝对值化简，再合并同类二次根式，即可得出答案；
〔2〕根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，即可得出答案.

18.【答案】 解：当m＝0时，方程为x﹣2＝0，解得x＝2；
当m≠0时，根据题意得△＝〔2m﹣1〕2﹣4m〔m﹣2〕≥0，解得m≥﹣ 且m≠0，
综上所述，当m≥﹣ 时，关于x的方程mx2﹣〔2m﹣1〕x+m﹣2＝0有实数根.
【解析】【分析】分两种情况讨论，①当m＝0时，方程化为x-2＝0，此方程是一元一次方程，一定有实数根； ②当m≠0时， 该方程是一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式可知：该方程如有实数根，那么b2-4ac≥0，据此列出不等式求解得出m的取值范围，综上即可求解.
19.【答案】 〔1〕B
〔2〕证明：∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COE.
∴OE：OB＝OC：OA；
∵AD∥BC，
∴△AOF∽△COB.
∴OB：OF＝OC：OA.
∴OB：OF＝OE：OB，
即OB2＝OF•OE.
【解析】【解答】解：〔1〕∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥DC，
∵△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，△ABF∽△EBC五对，还有一对特殊的相似即△ABC≌△ADC，
∴共6对，
故答案为：B；
【分析】〔1〕根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所截的三角形与原三角形相似得出△ABO∽△CEO，△AOF∽△COB，△EFD∽△EBC，△ABF∽△DEF，根据相似的传递性得出△ABF∽△EBC，还有一对特殊的相似△ABC≌△ADC，即可得出答案；
〔2〕根据△AOB∽△COE得出OE：OB＝OC：OA，根据△AOF∽△COB得出OB：OF＝OC：OA，从而得出OB：OF＝OE：OB，即可得出OB2＝OF•OE.
20.【答案】 〔1〕0
〔2〕， ， ，
〔3〕解：设 ＝t，原方程转化为 ，解得 ， ，
当t＝﹣4时， ＝﹣4，不合题意舍去；
当t＝2时， ＝2，那么 ，解得 ＝ ， ＝ ，
经检验，原方程的解为 ＝ ， ＝ .
【解析】【解答】解：〔1〕设 ，原方程转化为 ，解得 ， ，
当t＝0时， ；当 时， 〔舍去〕；
所以 的值为0；
故答案为：0；
〔2〕设 ，原方程转化为 ，解得 ， ，
当t＝1时，那么 ，解得 ，
当t＝2时，那么|x|＝2，解得 ，
所以原方程的解为 ， ， ， ；
【分析】〔1〕设，把原方程转化为 ，解方程求出t的值，再检验即可得出答案；
〔2〕设，把原方程转化为 ，解方程求出t的值，再转化为关于x的方程，解方程即可得出答案；
〔3〕设＝t，把原方程转化为 ， 解方程求出t的值，再转化为关于x的方程，解方程即可得出答案.
21.【答案】 〔1〕解：延长DE至F，使EF＝DE，连接CF，


在△AED和△CEF中 ，
∴△AED≌△CEF〔SAS〕，
∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，
∴AB∥CF，
∵AD＝DB，
∴BD＝CF，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝ BC；

〔2〕135°
〔3〕BM长的最大值为4，最小值为1
【解析】【解答】解：〔2〕解：∵M、P分别为AD、BD的中点，
∴MP∥AB，
∴∠MPD＝∠ABD，
∵N、P分别为BC、BD的中点，
∴PN∥CD，
∴∠NPD+∠PDC＝180°，
∴∠NPD＝180°﹣∠PDC，
∵∠PDC＝∠E+∠ABD，
∴∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°﹣∠E﹣∠ABD＝135°，
故答案为：135°；
〔3〕解：延长CB至H，使 连接FH，AH，
∵CM＝MF，
∴BM＝ FH，
由勾股定理得，AH＝ ＝5，
当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，
当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，
∴BM长的最大值为4，最小值为1.
【分析】〔1〕 延长DE至F，使EF＝DE，连接CF， 证出四边形DBCF为平行四边形，得出DF∥BC，DF＝BC，即可证出DE∥BC，DE＝ BC；
〔2〕根据三角形中位线定理和平行线的性质得∠MPD＝∠ABD，∠NPD+∠PDC＝180°，根据三角形外角性质得出∠PDC＝∠E+∠ABD，利用∠MPN＝∠MPD+∠NPD＝∠ABD+180°-∠E-∠ABD，即可求出∠MPN的度数；
〔3〕延长CB至H，使CB=BH， 连接FH，AH，根据三角形中位线定理得出BM＝FH，根据勾股定理求出AH=5，分两种情况讨论，①当点F在线段AH上时，FH最小，最小值为5﹣3＝2，②当点F在线段HA的延长线上时，FH最大，最大值为5+3＝8，即可得出BM长的最大值为4，最小值为1.
22.【答案】 〔1〕15
〔2〕；1540
〔3〕解：设该班有x名女生，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， 〔不合题意，舍去〕.
答：该班有23名女生.
〔4〕14人
【解析】【解答】解：〔1〕5×6÷2＝15.
故答案为：15；
〔2〕 .
当n＝56时， .
故答案为： ；1540；
〔4〕设该班数学兴趣小组的人数是y人，那么每人发送〔y﹣1〕条微信，
依题意得： ，
整理得： ，
解得： ， 〔不合题意，舍去〕.
故答案为：14人.
【分析】〔〔1〕观察图形，利用S＝顶点数×经过每个顶点的线段条数÷2，即可求出结论；
〔2〕观察图形，利用S＝顶点数×经过每个顶点的线段条数÷2，即可找出通 次数S与该班级人数n之间的关系式，再代入n＝56即可求出S的值；
〔3〕设该班有x名女生，由〔3〕的结论结合该班全体女生相互之间共通话253次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
〔4〕设该班数学兴趣小组的人数是y人，那么每人发送〔y−1〕条微信，利用全组共发送微信条数＝人数×每人发送微信条数，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
23.【答案】 〔1〕证明：∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBA，
∴ ，
∴CA2＝CD•CB；
〔2〕解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，∠B＝∠D，
∵∠CQP＝∠D，
∴∠CQP＝∠B，
∵∠PCQ＝∠QCB，
∴△PCQ∽△QCB，
∴ ，
∴CQ2＝CP•CB，
∴CB＝ ，
∴AD＝12；
〔3〕5
【解析】【解答】解：〔3〕解：如图③，
延长PQ，AD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADB＝ ∠ADC＝ ∠ABC，
∵∠ABC＝2∠PAQ，
∴∠PAQ＝∠ADB，
∵PQ∥BD，
∴∠ADB＝∠E，
∴∠PAQ＝∠E，
∵∠APQ＝∠EPA，
∴△APQ∽△EPA，
∴ ，
∴AP2＝PE•PQ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∵BD∥PQ，
∴四边形BDEP是平行四边形，
∴DE＝BP＝1，PE＝BD，
∵BD＝2PQ，
∴PE＝2PQ，
∴AP2＝2PQ2 ，
∴AP＝ PQ，
∴ ，
∴AE＝ AQ＝ ，
∴AD＝AE﹣DE＝6﹣1＝5.
∴菱形ABCD的边长为5.
【分析】〔1〕先根据相似三角形的判定定理证出△CAD∽△CBA，得出 ，即可得出CA2＝CD•CB；
〔2〕根据平行四边形的性质得出AD=BC，再根据相似三角形的判定定理证出△PCQ∽△QCB，得出 ，求出BC的长，即可求出AD的长；
〔3〕延长PQ，AD相交于点E，根据相似三角形的判定得出△APQ∽△EPA，得出 ，从而得出得出AP2＝PE•PQ，再证出四边形BDEP是平行四边形，得出DE＝BP＝1，PE＝BD=2PQ，从而得出AP2＝2PQ2 ， 得出AE=6，利用AD＝AE-DE，即可求出菱形ABCD的边长.