2021年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中考试试卷含答案

这是一份2021年江苏省无锡市江阴市九年级上学期数学期中考试试卷含答案，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下轴对称图形中，对称轴条数最多的是〔   〕
A. 线段                                 B. 等边三角形                                 C. 正方形                                 D. 圆
2.以下方程是一元二次方程的是〔  〕
A.                     B.                     C.                     D. 
3.关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 的值是〔  〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
4.如图， 中， ， ， ，那么 的长是〔  〕

A.                                      B.                                      C.                                      D. 
5.如图，在 外任取一点 ，连接 ， ， ，并取它们的中点 ， ， ，连接 ， ， ，得 ，那么以下说法错误的选项是〔  〕

A. 与 是位似图形                             B. 与 是相似图形
C. 与 的周长比为                      D. 与 的面积比为
6.如图，点 ， ， ， 在射线 上，点 ， ， 在射线 上，且 ， .假设 ， 的面积分别为 ，8，那么图中三个阴影三角形面积之和为〔  〕

A.                                         B.                                         C.                                         D. 
7.如图2，在平面直角坐标系中，点 的坐标为〔1，4〕、〔5，4〕、〔1、 〕，那么 外接圆的圆心坐标是

A. 〔2，3〕                           B. 〔3，2〕                           C. 〔1，3〕                           D. 〔3，1〕
8.太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上的投影长是10cm，那么皮球的直径是〔　　〕


A. 5                                       B. 15                                       C. 10                                       D. 8
9.⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，那么AC的长为〔   〕
A. 2 cm                B. 4  cm                C. 2 cm或4 cm                D. 2 cm或4 cm
10.如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如下列图的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，假设OG⊥DG，且☉O的半径长为1，那么以下结论不成立的是〔  〕

A. CD+DF=4                 B. CD−DF=2 −3                 C. BC+AB=2 +4                 D. BC−AB=2
二、填空题
11.在比例尺为 的某省地图上，量得 地到 地的距离约为 厘米，那么 地到 地的实际距离约为      千米.
12. ，那么 ________．
13.方程2x－4＝0的解也是关于x的方程x2＋mx＋2＝0的一个解，那么m的值为       ．

14.假设关于 的方程 的两根均是整数，那么 的值可以是      .〔只要求写出两个〕
15.在平行四边形 中， 为靠近点 的 的三等分点，连结 ，交 于点 ， ，那么 为      .

16.如图，在直角三角尺 中， ，把直角三角尺 放置在圆上， 经过圆心 ， 与 相交于 ， 两点，点 ， ， 的刻度分别是 ， ， ， 与 相切于 点，那么 的半径是       .

17.有一圆锥，它的高为8cm，底面半径为6cm，那么这个圆锥的侧面积是      cm2 ． 〔结果保存π〕
18.如图，在 中， ， ， ，经过点 且与边 相切的动圆与 ， 分别相交于点 ， ，那么线段 长度的最小值是      .

三、解答题
19.  
〔1〕；
〔2〕；
〔3〕.
20.关于x的方程 x2-5x-m2-2m-7=0.
〔1〕假设此方程的一个根为-1，求m的值；
〔2〕求证：无论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根.
21.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．

〔1〕求证：△ADE∽△MAB；
〔2〕求DE的长．
22.在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如下列图，其中木竿AB＝2m，它的影子BC＝1.6m，木竿PQ落在地面上的影子PM＝1.8m，落在墙上的影子MN＝1.1m，求木竿PQ的长度.

23.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB.

〔1〕求证：DC为⊙O的切线；
〔2〕假设⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长.
24.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．

〔1〕.求证：DP是⊙O的切线；
〔2〕.假设⊙O的半径为3cm，求图中阴影局部的面积．
25.如图

〔1〕如图1，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，现以C为圆心、CB长为半径画弧交边AC于D，再以A为圆心、AD为半径画弧交边AB于E.求证： .〔这个比值 叫做AE与AB的黄金比.〕
〔2〕如果一等腰三角形的底边与腰的比等于黄金比，那么这个等腰三角形就叫做黄金三角形.请你以图2中的线段AB为腰，用直尺和圆规，作一个黄金三角形ABC.
〔注：直尺没有刻度！作图不要求写作法，但要求保存作图痕迹，并对作图中涉及到的点用字母进行标注〕
26.今年深圳“读书月〞期间，某书店将每本本钱为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．在每本涨价幅度不超过10元的情况下，假设每本涨价1元，那么每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
〔1〕.填空：每天可售出书      本〔用含x的代数式表示〕；
〔2〕.假设书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
27.在 中， ， ， ，点 ，点 同时从点 出发，点 沿边 以 的速度向点 运动，点 从点 出发，沿边 以 的速度向点 运动〔点 不与 ， 重合，点 不与 ， 重合〕，设运动时间为 .

〔1〕求证： ；
〔2〕当 为何值时，以 为直径的 与直线 相切？
〔3〕把 沿直线 折叠得到 ，假设 与梯形 重叠局部的面积为 ，试求 关于 的函数表达式，并求 为何值时， 的值最大，最大值是多少？
28.小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理——“中线长定理〞：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍.如图1， 在 中，点 为 的中点，根据“中线长定理〞，可得： .小明尝试对它进行证明，局部过程如下：
解：过点 作 于点 ，如图2，在 中， ，
同理可得： ， ，
为证明的方便，不妨设 ， ，
…

〔1〕阅读理解：请你完成小明剩余的证明过程；
〔2〕理解运用：
①在 中，点 为 的中点， ， ， ，那么 ________；
②如图3， 的半径为 ，点 在圆内，且 ，点 和点 在 上，且 ，点 、 分别为 、 的中点，那么 的长为________；

〔3〕拓展延伸：小明解决上述问题后，联想到?能力训练?上的题目：如图 4， 的半径为 ，以 为直角顶点的 的另两个顶点 ， 都在 上， 为 的中点，求 长的最大值.请你利用上面的方法和结论，求出 长的最大值.


答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、线段有两条对称轴；
B、等边三角形有三条对称轴；
C、正方形有四条对称轴；
D、圆有无数条对称轴．
应选D．
【分析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
2.【答案】 D
【解析】【解答】解: 、 方程 中含有两个未知数，未知数的最高次数是 .故是二元二次方程，故本选项错误；
、 方程 中 、 、 是否是常数不确定，故此方程不能确定是几次，故本选项错误；
、 方程 中含有分式，是分式方程，故本选项错误；
、 方程 中含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 ，故此方程是一元二次方程.
故答案为： .
【分析】方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程〔等式〕，叫做一元二次方程，据此判断.
3.【答案】 A
【解析】【解答】解：根据题意得 ，
解得 .
故答案为： .
【分析】利用一元二次方程根的判别式，得出当△＞0时，方程有两个不相等的实数根，当△=0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根.
4.【答案】 C
【解析】【解答】解：

，


故答案为： .
【分析】根据平行线分线段成比例的性质可得， 然后结合条件进行求解.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：根据位似的定义可得： 与 是位似图形，也是相似图形，位似比是 ， 那么周长的比是 ，因而面积的比是 ， 故 、 、 正确， 错误.
故答案为： .
【分析】根据位似的定义可得： △ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2:1，然后结合位似图形的性质进行判断.
6.【答案】 C
【解析】【解答】解： ，
，
∽
又∵ ， 的面积分别为 ，

同理可得：

∴ 与 是等高不等底的三角形
，
又∵ 的面积是 ，
的面积为
同理可得： 的面积
的面积
三个阴影面积之和
故答案为： .
【分析】由平行线的性质可得∠OB2A2=∠OB3A3 ， ∠A2B1B2=∠A3B2B3 ， 证明△B1B2A2∽
△B2B3A3 ， 结合条件可得相似比为1:2，同理可得△A2A3B2与△A3A4B3的相似比为1:2，根据三角形的面积公式可得， 根据△A3B2B3的面积可得△A2B2A3的面积，同理求出△A3B3A4、△A1B1A2的面积，据此求解.
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：根据垂径定理的推论，那么

作弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，且坐标是〔3，1〕.
故答案为：D.
【分析】根据垂径定理的推论“弦的垂直平分线一定经过圆心〞，故作出弦AB、AC的垂直平分线，交点O1即为圆心，根据点的坐标与图形的性质借助方格纸的特点即可得出答案.
8.【答案】 B
【解析】【解答】解：由题意得：DC=2R，DE=10， ∠CED=60°，

∴可得：DC=DEsin60°=15．
应选B．

【分析】根据题意建立直角三角形DCE，然后根据∠CED=60°，DE=10可求出答案．
9.【答案】 C
【解析】【解答】连接AC，AO，

∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5−3=2cm，
在Rt△AMC中,AC= cm.
故答案为：C.
【分析】此题的难点在于没有图形，而通过题意建构图像框架时需要根据点标的先后顺序不同了解到共有两种情况。故以直径为分类标准，AB的相对位置不变，直径可标为CD、DC两种，从而画出图形，再根据题目条件解出答案即可。
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：如图，设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，

利用AAS易证△OMG≌△GCD，
所以OM=GC=1， CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.
又因AB=CD，所以可得BC−AB=2.
设AB=a，BC=b，AC=c， ⊙O的半径为r，
⊙O是Rt△ABC的内切圆可得r= 〔a+b-c〕，
所以c=a+b-2.
在Rt△ABC中，
由勾股定理可得 ，
整理得2ab-4a-4b+4=0，
又因BC−AB=2即b=2+a，
代入可得2a〔2+a〕-4a-4〔2+a〕+4=0，
解得 ，
所以 ，即可得BC+AB=2 +4.
再设DF=x，在Rt△ONF中，FN= ，OF=x，ON= ，
由勾股定理可得 ，
解得 ，
CD−DF= ，CD+DF= .
综上只有选项A错误.
故答案为：A.
【分析】设⊙O与BC的切点为M，连接MO并延长MO交AD于点N，易证△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1， CD=GM=BC-2，结合AB=CD可得BC-AB=2，设AB=a，BC=b，AC=c，⊙O的半径为r，那么r=(a+b-c)，在Rt△ABC中，由勾股定理可得2ab-4a-4b+4=0，推出b=2+a，整理可求得a、b的值，设DF=x，那么FN= ，OF=x，ON=， 由勾股定理求出x的值，进而得到CD-DF、CD+DF的值.
二、填空题
11.【答案】 100
【解析】【解答】解： 厘米=100千米.
故答案为： .
【分析】利用图上距离÷比例尺就可得到A、B之间距离，注意：单位的换算.
12.【答案】
【解析】【解答】解：由 得，x= ，
所以 ．
故答案为： ．
【分析】根据比例的性质，由 得，x= ，再将其代入所求式子可得出结果．
13.【答案】 -3
【解析】【解答】2x−4=0，
解得：x=2，
把x=2代入方程x2+mx+2=0得：
4+2m+2=0，
解得：m=−3.
故答案为：−3.
【分析】先将2x-4=0解出x的值，再将x的值代入方程x2＋mx＋2＝0，求解出m的值。
14.【答案】 或
【解析】【解答】解: 等等，
，或K= ，或  
故答案为： 或 .
【分析】假设方程的两根为x1 ， x2 ， 根据根与系数的关系可得x1·x2=-12，而-12=2×(-6)=6×(-2)=-3×4=-4×3等等，x1+x2=-k，据此即可得出答案.
15.【答案】
【解析】【解答】解：在 中， ， ， 
为 的三等分


∴ ∽

又 ， ，
.
故答案为： .
【分析】由平行四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，根据E为AD的三等分点，可得， 易证△AEF∽△CBF，然后根据相似三角形的性质进行求解.
16.【答案】
【解析】【解答】解：如图连接 ，作 于 .


四边形 是矩形，
，
由题意可知 ， ， ，
，
.
故答案为： .
【分析】连接OF，作OM⊥DE于M，易得四边形CFOM为矩形，那么OF=CM=CD+DM，根据垂径定理可得DM，进而得到OF，即求出该圆的半径.
17.【答案】 60π
【解析】【解答】解：圆锥的母线= =10cm，
圆锥的底面周长2πr=12πcm，
圆锥的侧面积= lR= ×12π×10=60πcm2 ．
故答案为：60π．
【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．
18.【答案】
【解析】【解答】解：设圆心为F， 与 的切点为 ，
， ， ，


是 的直径，
连接 ，连接 ， ，

∵点 、 在 上， 是 的直径
，
又∵
∴ ，
∵ 与 切于点 ，
∴ ；
∴当点 是 的斜边 的高的中点时， 三点共线，且 为 的斜边 的高，此时 的直径等于
又∵ ，
∴ 能取到最小值4.8.
故答案为： .
【分析】设圆心为F， 与AB的切点为D，根据条件结合勾股定理逆定理可得∠ACB=90°，故PQ为的直径，连接FD，CF，CD，那么PQ=FC+FD，推出当C、F、D三点共线，且CD为Rt△ABC的斜边AB的高时，PQ最小，然后由三角形的面积公式求出CD的值即可.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：

或 ；

〔2〕解：

或
或 ；

〔3〕解：


.
【解析】【分析】〔1〕根据平方根的定义利用直接开方法进行求解；
〔2〕将原方程中2x+3看成一个整体，将方程利用提取公因式法分解因式，根据两个因式的乘积等于1，那么这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
〔3〕用配方法解方程，首先将常数项移到方程的右边，然后在方程的两边都加上一次项系数一边的平方4，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，进而根据直接开平方法求解即可.
20.【答案】 〔1〕解： ，
原式： ，
，
，
.

〔2〕解： ，
，
，
，
∴ ，
∴方程始终有两个不相等的实数根.
【解析】【分析】〔1〕直接将x=-1代入原方程中就可求得m的值；
〔2〕只要证明该方程根的判别式的值恒大于0即可.
21.【答案】 〔1〕证明：∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，
∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，
∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，
∴∠BAM＝∠EDA，
在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，
∴△ADE∽△MAB；

〔2〕解：∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，
∴BM＝ ，
∴AM＝ ，
由〔1〕知，△ADE∽△MAB，
∴ ，
∴ ，
解得，DE＝ ．
【解析】【分析】〔1〕要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；〔2〕根据题意和〔1〕中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答此题．
22.【答案】 解：过N点作ND⊥PQ于D，

那么四边形DPMN为矩形，
∴DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，
∴ ，
∴QD＝ ＝2.25，
∴PQ＝QD＋DP＝ 2.25＋1.1＝3.35〔m〕.
答：木竿PQ的长度为3.35米.
【解析】【分析】过N点作ND⊥PQ于D，那么四边形DPMN为矩形，得DN＝PM＝1.8m，DP＝MN＝1.1m，那么， 求出QD，然后根据PQ＝QD＋DP进行计算.
23.【答案】 〔1〕证明：连接OC，

∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC=∠OAC.∴∠DAC=∠OCA.
∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
∵OC是⊙O的半径，
∴DC为⊙O的切线；

〔2〕解：连接BC，那么∠ACB=90°.

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，∴△ADC∽△ACB.
∴ .∴AC2=AD•AB.
∵⊙O的半径为3，AD=4，∴AB=6.
∴ .
【解析】【分析】〔1〕连接OC，由等腰三角形的性质可得∠OAC=∠OCA，由角平分线的概念可得∠DAC=∠OAC，推出∠DAC=∠OCA，那么OC∥AD，据此证明；
〔2〕连接BC，由圆周角定理可得∠ACB=90°，证明△ADC∽△ACB，由相似三角形的性质求解即可.
24.【答案】 〔1〕证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，
∴∠DOP=180°﹣120°=60°，
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线

〔2〕解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 cm，
∴图中阴影局部的面积S=S△ODP﹣S扇形DOB= ×3×3 ﹣ =〔 ﹣ π〕cm2

【解析】【分析】〔1〕连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；〔2〕求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．
25.【答案】 〔1〕解：证明：∵Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2BC，
∴设AB=2x，BC=x，那么AC= .
∴AD=AE= .
∴ .

〔2〕解：底与腰之比均为黄金比的等腰三角形，如答图，△ABC即为所求.

【解析】【分析】〔1〕设AB=2x，BC=x，那么AC= ，然后表示出AD、AE，进而求得AE：AB；
〔2〕过点B作EB⊥AB，作AB的垂直平分线交AB于点D，使BE=BD，连接AE，以E为圆心，BE长为半径画弧，使EF=BE，以B为圆心，AF长为半径画弧，以A为圆心，AB长为半径画弧，交点为C，那么△ABC即为所求.
26.【答案】 〔1〕〔300﹣10x〕
〔2〕设每本书上涨了x元〔x≤10〕，
根据题意得：〔40﹣30+x〕〔300﹣10x〕＝3750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15〔不合题意，舍去〕．
答：假设书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元
【解析】【解答】解：〔1〕∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书〔300﹣10x〕本．
故答案为：〔300﹣10x〕．
【分析】〔1〕利用每本单价涨价一元时，件数会减少十本的关系，可列出关系式。
〔2〕利用件数与单本利润的乘积为总利润，可列出关系式，求出上涨的价格。
27.【答案】 〔1〕证明：∵ ， ， ， ，
∴ ，
又∵ ，
∽ .

〔2〕解：在 中，
∵由〔1〕知∴ ∽ .

的直径
的半径 ，
可求得圆心 到直线 的距离
与直线 相切
∴ 即 ，解得
∴当 时， 与直线 相切

〔3〕解：当 点落在直线 上时，那么点 为 的中点，
故以下分两种情况讨论：
①当 时，
当 时， .
②当 时，设 交 于 ， 交 于

由翻折知： ，
又∵由 ∽ 得
∴ ， ，
∴ ， ∽
∴ ，
∵ ∽ .

∴
当 时， .
综上所述， ，当 时， 值最大，最大值是 .
【解析】【分析】〔1〕由题意可得AM=4xcm，AN=3xcm，那么， 然后结合相似三角形的判定定理进行证明；
〔2〕由勾股定理求出BC的值，根据相似三角形的性质可表示出MN，得到 的半径，求出圆心O到直线BC的距离，然后根据 与直线BC相切可得关于x的方程，求解即可；
〔3〕当P点落在直线BC上时，那么点M为AB 的中点，①当0