2021年河北省唐山市九年级上学期数学期中试卷 (3)含答案

这是一份2021年河北省唐山市九年级上学期数学期中试卷 (3)含答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.将方程〔x﹣1〕2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的选项是〔   〕
A. x2﹣2x+5＝0                  B. x2﹣2x﹣5＝0                  C. x2+2x﹣5＝0                  D. x2+2x+5＝0
2.以下关系式中，属于二次函数〔 为自变量〕的是〔   〕
A.                                B.                                C.                                D. y=-x+1
3.抛物线y＝ 的顶点是〔   〕
A. (2,-3)                                    B. (1,4)                                    C. (3,4)                                    D. (2,3)
4.如图， 为 的弦，半径 交 于点 ， ， ， ，那么 的长为〔   〕

A. 8                                           B. 6                                           C. 4                                           D. 2
5.以下一元二次方程有两个相等的实数根的是〔   〕
A. x2+2x=0                            B. 〔x﹣1〕2=0                            C. x2=1                            D. x2+1=0
6.函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是〔   〕
A. y=﹣2〔x﹣1〕2+2      B. y=﹣2〔x﹣1〕2﹣2      C. y=﹣2〔x+1〕2+2      D. y=﹣2〔x+1〕2﹣2
7.用配方法解一元二次方程x2﹣6x﹣4=0，以下变形正确的选项是〔   〕
A. 〔x﹣6〕2=﹣4+36        B. 〔x﹣6〕2=4+36        C. 〔x﹣3〕2=﹣4+9        D. 〔x﹣3〕2=4+9
8.关于二次函数 的说法，正确的选项是(    )
A. 最大值为-4                       B. 最小值为-4                       C. 最大值为-8                       D. 最小值为-8
9.如图，⊙O的直径AB＝8，点C在⊙O上，∠ABC＝30°，那么AC的长是〔   〕

A. 2                                       B. 2                                        C. 2                                        D. 4
10.如图，A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，那么∠AOC的度数是〔   〕

A. 35°                                  B. 140°                                  C. 70°                                  D. 70°或 140°
11.某商品原价800元，连续两次降价a％后售价为578元，以下所列方程正确的选项是〔  〕

A. 800〔1+a%〕2=578                                         B. 800〔1－a%〕2=578 
C. 800〔1－2a%〕=578                                        D. 800〔1－a2%〕=578
12.如图为二次函数 的图象，且此图象过 、 两点．那么结论正确的选项是〔   〕

A. 的最大值小于0                                                B. 当 时， 的值小于0
C. 当 时， 的值大于1                                  D. 当 时， 的值大于1
13.如以下列图：⊙O的直径为10，弦AB的长为8，点P是弦AB上的一个动点，使线段OP的长度为整数的点P有〔   〕

A. 3 个                                      B. 4个                                      C. 5个                                      D. 6个
14.当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，那么a的值为〔   〕
A. 1                                        B. 2                                        C. 1或2                                        D. 0或3
二、填空题
15.假设关于x的一元二次方程〔m﹣2〕x2+x+m2﹣4＝0的一个根为0，那么m值是________．
16.抛物线 的局部图象如下列图，那么关于x的一元二次方程 的解为________．

17.在 中， ， 截 三边所得的线段相等，那么 的度数是________．
18.假设二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，那么m的取值范围是________.
三、解答题
19.解方程：
〔1〕；
〔2〕．
20.抛物线顶点坐标是 且经过点 ．
〔1〕求该抛物线的解析式；
〔2〕求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
21.关于x的一元二次方程x2+〔m+4〕x﹣2m﹣12＝0，求证：
〔1〕方程总有两个实数根；
〔2〕如果方程的两根相等，求此时方程的根.
22.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为( ) ，正六边形的边长为( )cm〔其中 )，求这两段铁丝的总长

23.如图，二次函数y＝x2+ax+3的图象经过P点〔2，3〕.

〔1〕求a的值和图象的顶点坐标.
〔2〕点Q〔m，n〕在该二次函数的图象上.
①当m＝﹣2时，求n的值；
②假设点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围.
24.如图， 是 的直径， 和 是它的两条切线， 切 于点 ，交 于点 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ．

〔1〕求证： ；
〔2〕猜想： 与 有何数量关系？并说明理由．
25.如图，AB ， AC是⊙O的两条弦，且 ．

〔1〕求证：AO平分∠BAC；
〔2〕假设AB＝4 ，BC＝8，求半径OA的长．
26.抛物线 与 轴交于点 ，且 ．

〔1〕求抛物线的解析式及顶点 的坐标；
〔2〕假设 ， 均在该抛物线上，且 ，求 点横坐标 的取值范围；
〔3〕点 为抛物线在直线 下方图象上的一动点，当 面积最大时，求点 的坐标．

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：〔x-1〕2=6，
x2-2x+1-6=0，
x2-2x-5=0，
即将方程〔x-1〕2=6化成一般形式为x2-2x-5=0，
故答案为：B．

【分析】根据一元二次方程的一般形式，判断得到答案即可。
2.【答案】 A
【解析】【解答】解：A、二次函数；
B、正比例函数；
C、反比例函数；
D、一次函数．
故答案为：A．

【分析】根据二次函数的定义，判断得到答案即可。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：抛物线y＝ 的顶点是(2,3).
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的顶点式y＝ 的性质可知其顶点坐标是〔k,h〕,从而即可得出答案。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：连接OB ， 如下列图：

∵⊙O的半径为5，OD＝3，
∵AD＝DB ，
∴OC⊥AB ，
∴∠ODB＝90°，
∴ ，
∴AB＝2BD＝8．
故答案为：A ．

【分析】根据圆的半径以及CD的长度，计算得到OD的长度，继而由垂径定理计算得到OC⊥AB，根据勾股定理求出BD的长度，得到结论即可。
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：A. ，所以此方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
B. 方程化为一般形式为 ， ，方程有两个相等的实数根，符合题意；
C. 方程可化为 ， ，方程有两个不相等的实数根；不符合题意；
D. ，方程没有实数根，不符合题意；
故答案选B.

【分析】分别计算出各个选项中的一元二次方程的△的值，即可对各个方程的根的情况作出判断。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：函数y=﹣2x2先向右平移1个单位可得到：y=﹣2(x-1)2 ， 再向下平移2个单位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，
故答案为：B.

【分析】二次函数左右平移是自变量发生变化，规律是“左加右减〞；上下平移是因变量发生变化，规律是“上加下减〞；
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：x2﹣6x﹣4=0，
移项，得x2﹣6x=4，
配方，得〔x﹣3〕2=4+9．
应选：D．
【分析】根据配方法，可得方程的解．
8.【答案】 D
【解析】【解答】 =
当x=2时，y有最小值-8
故答案为：D.
【分析】把二次函数化为顶点式可求得其最值，即可解答.
9.【答案】 D
【解析】【解答】∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=8；
∴AC= AB=4．
故答案为：D．

【分析】根据圆周角定理计算得到∠ACB=90°，进而利用直角三角形中30°角的性质，求出答案即可。
10.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，
∴∠AOC=2∠ABC=2×70°=140°．
应选B．
【分析】由A、B、C是⊙O上的三点，且∠ABC=70°，利用圆周角定理，即可求得答案．
11.【答案】 B
【解析】【解答】根据平均变化率公式：原价×〔1-降价的百分率〕2=现价，得方程：800〔1-a%〕2=578，故正确的选项是B．
【分析】此题的等量关系是：原价×〔1-降价的百分率〕2=连续两次降价后的售价。
12.【答案】 B
【解析】【解答】由图像可得：开口向下，且y的最大值大于0，故A不符合题意；
∵图像经过点 、 ，
∴当 时， ，故B符合题意；
当 时， ，故C不符合题意；
当 时， ，故D不符合题意；
故答案为：B．

【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
13.【答案】 A
【解析】【解答】当P为AB的中点时，由垂径定理得OP⊥AB，此时OP最短，
∵AB=8，
∴AP=BP=4，
在直角三角形AOP中，OA=5，AP=4，
根据勾股定理得OP=3，即OP的最小值为3；
当P与A或B重合时，OP最长，此时OP=5，
∴ ，那么使线段OP的长度为整数的点P有3，4，5，共3个．
故答案为：A

【分析】根据题意，结合垂径定理以及勾股定理，计算得到OP最短和最长的数值，即可得到OP的取值范围。
14.【答案】 D
【解析】【解答】当 时，有 ，
解得： ， ，
当 时，函数有最小值1，
或 ，
或 .
故答案为： .
【分析】先将y=1代入方程，建立关于x的方程，求出x的值，再根据x的取值范围，建立关于a的方程，解方程求出a的值。
二、填空题
15.【答案】 -2
【解析】【解答】把x=0代入方程〔m-2〕x2+〔2m-1〕x+m2-4=0得m2-4=0，解得m=2或m=-2，
而m-2≠0，
所以m=-2．
故答案为-2．
【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方法解得m=±2，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．
16.【答案】 x1=1，x2=-3
【解析】【解答】∵抛物线与x轴的交点为 〔1,0〕
∴x1=1
∵对称轴为
∴
∴方程的解为x1=1，x2=-3
故答案为：x1=1，x2=-3．

【分析】根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另外一个交点的坐标，计算得到关于x的一元二次方程的解即可。
17.【答案】 110
【解析】【解答】解：如图，DE=FG=MN，作OK⊥DE于K，OH⊥FG于H，OP⊥MN于P，连接OB、OC，∵DE=FG=MN，

∴OK=OH=OP
∴ OB平分∠ABC， OC平分∠ACB，
∵∠A＝40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°－40°＝140°
∴∠OBC＋∠OCB＝ 〔∠ABC+∠ACB〕= ×140°＝70°
∴∠BOC＝180°－70°＝110°
故答案为：110°

【分析】根据题意，由圆心角、弧、弦和弦心距的关系，计算得到OK=OH=OP，继而由角平分线定理的逆定理即可得到OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，根据三角形的内角和计算得到∠BOC的度数即可。
18.【答案】 m＜1且m≠0
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，
∴方程y＝x2+2x+m有两个不相等的实数根，且m≠0，
∴△=2 −4m>0，
∴m<1.
∴m<1且m≠0.
故答案为：m＜1且m≠0
【分析】由于抛物线的二次项系数大于0，图象开口向上，由二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点 即可得出其△=b2-4ac＞0，且常数项不为0，从而列出不等式组，求解即可.
三、解答题
19.【答案】 〔1〕解：这里 ， ， ，
∵ ，∴ ．
∴ ，

〔2〕解：∵ ，∴ ，
∴ ，
那么 或 ，
解得 ， ．
【解析】【分析】〔1〕利用求根公式，解出方程的根即可；
〔2〕利用提公因式法解出方程的根即可。
20.【答案】 〔1〕解：设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过 ，
∴ ，
解得：
∴ 〔或 〕

〔2〕解：令 得 ，
故 轴交点为
令 得 ，
解得 ， ，
进而得出 轴交点为 或
【解析】【分析】〔1〕设出抛物线的顶点式，将点C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；
〔2〕令x=0，即可得到抛物线与y轴的交点；令y=0，即可得到抛物线与x轴的交点。
21.【答案】 〔1〕证明：∵△＝〔m+4〕2﹣4〔﹣2m﹣12〕＝m2+16m+64＝〔m+8〕2≥0，
∴方程总有两个实数根；

〔2〕解：如果方程的两根相等，那么△＝〔m+8〕2＝0，
解得m＝﹣8，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
即〔x﹣2〕2＝0，
解得x1＝x2＝2.
【解析】【分析】〔1〕只要证出方程的根的判别式的值为非负数即可知方程有两个实数根；
〔2〕如果方程的两根相等，那么△=0，据此求出m的值，代入方程求解可得.
22.【答案】 解：由得．正五边形周长为 ，正六边形周长为 ．
因为正五边形和正六边形的周长相等．所以
整理得， ，配方得 ．解得 ， 〔舍去〕
故正五边形的周长为
又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420cm.
答：这两段铁丝的总长为420cm．
【解析】【分析】根据题意，即可表示出正五边形以及正六边形的周长代数式，根据两个图形的周长相等，即可将代数式联立，解出方程的解，即可得到两段线段的总长度。
23.【答案】 〔1〕解：把点P〔2，3〕代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3＝〔x﹣1〕2+2，
∴顶点坐标为〔1，2〕

〔2〕解：①当m＝﹣2时，n＝〔﹣2〕2﹣2×〔﹣2〕+3＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11
【解析】【分析】〔1〕把点P〔2，3〕代入y＝x2+ax+3中，求出a=-2，可得y＝x2﹣2x+3＝〔x﹣1〕2+2，从而可得顶点坐标为〔1，2〕；
〔2〕①将m＝﹣2直接代入y＝x2﹣2x+3中即可求出n值；
② 由于点Q到y轴的距离小于2， 可得|m|＜2，从而得出﹣2＜m＜2， 利用二次函数的性质求出n的范围即可.
24.【答案】 〔1〕证明：连接 ，

∵ ， 是 的切线， 、 是 的半径，
∴ ， ，
又∵ 为公共边
∴ 〔HL〕
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴

〔2〕解： ，
理由：∵AM、DE是圆的切线，
∴DA=DE，AB⊥AD，
同理可得：CB=CE，BC⊥AB，
证得四边形ABCD是梯形，
∵F是CD的中点、O是AB的中点，
∴OF＝ ＝ ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕根据切线的性质，证明得到△AOD≌△EOD，继而由圆周角定理以及全等三角形的性质，证明得到OD∥BE；
〔2〕根据切线的性质，证明得到四边形ABCD为梯形，由中点的性质，求出答案即可。
25.【答案】 〔1〕证明：连接OB、OC，

∵
∴AB＝AC，
又OC＝OB，OA＝OA，
∴△AOB≌△AOC〔SSS〕，
∴∠1＝∠2，
∴AO平分∠BAC；

〔2〕解：连接AO并延长交BC于E，连接OB，

∵AB＝AC，AO平分∠BAC，
∴AE⊥BC，
设OA＝x，可得：AB2﹣BE2＝AE2 ， OB2＝OE2+BE2 ，
可得： ，x2＝OE2+42
解得：x＝5，OE＝3，
∴半径OA的长＝5．
【解析】【分析】〔1〕根据题意，证明得到△AOB≌△AOC，继而由全等三角形的性质，即可得到∠1=∠2,得到答案即可；
〔2〕根据勾股定理，解出答案即可。
26.【答案】 〔1〕解：把 代入 ，
即 ，解得： ，
故抛物线的表达式为： ，
=
那么顶点 ．

〔2〕解：由〔1〕知抛物线的对称轴 ，
所以点 关于 对称点 在抛物线上
∵ ∴ 的取值范围为

〔3〕解：令y=0,即 =0，
解得x1=1,x2=3,
∴C〔3,0〕
将点 、 的坐标代入一次函数表达式：
得
解得：
∴直线 的表达式为： ，
过点 作 轴的平行线交 于点 ，

设点 ，那么点 ，
∴
那么 ，
∵ ，故 有最大值，此时 ，
故点 ．
【解析】【分析】〔1〕将点〔0,3〕代入解析式，即可得到抛物线的顶点；
〔2〕根据函数的图象以及对称轴为x=2，计算得到答案即可；
〔3〕首先计算BC的解析式，设出点P的坐标，即可表示H点的坐标，根据三角形的面积公式列出方程，根据二次函数的值求出答案即可。