2021年北京市海淀区九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年北京市海淀区九年级上学期数学期中试卷含答案，共19页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.拼图是一种广受欢迎的智力游戏，需要将形态各异的组件拼接在一起，以下拼图组件是中心对称图形的为〔 〕
A. B. C. D.
2.一元二次方程 的一次项系数是〔 〕
A. -4 B. -3 C. 2 D. 3
3.点 关于原点对称的点的坐标是〔 〕
A. B. C. D.
4.将 向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为〔 〕
A. B. C. D.
5.用配方法解方程 ，以下变形正确的选项是〔 〕
A. B. C. D.
6.如图，不等边 内接于 ，以下结论不成立的是〔 〕
A. B. C. D.
7.如图，菱形 对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别在线段 ， 上，且 ．以 为边作一个菱形，使得它的两条对角线分别在线段 ， 上，设 ，新作菱形的面积为 ，那么反映 与 之间函数关系的图象大致是〔 〕
A. B.
C. D.
8.计算机处理任务时，经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比．下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图：
假设圆半径为1，当任务完成的百分比为 时，线段 的长度记为 ．以下描述正确的选项是〔 〕
A. B. 当 时，
C. 当 时， D. 当 时，
二、填空题
9.二次函数 ，请判断点 是否在该二次函数的图象上．你的结论为________〔填“是〞或“否〞〕．
10.如图，正方形 的边长为6，点 在边 上．以点 为中心，把 顺时针旋转 至 的位置，假设 ，那么 ________．
11.关于 的方程 有两个相等的实数根，那么 ________．
12.如图，在 的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点 为圆心，5为半径画圆，共经过图中________个格点〔包括图中网格边界上的点〕．
13.某学习平台三月份新注册用户为200万，五月份新注册用户为338万，设四、五两个月新注册用户每月平均增长率为 ，那么可列出的方程是 1 ．
14.二次函数 〔 是常数〕，那么该函数图象的对称轴是直线 ________．
15.如图，点 ， ， 在 上，顺次连接 ， ， ， ．假设四边形 为平行四边形，那么 ________ ．
16.对于二次函数 和 ．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：
根据二次函数图象的相关性质可知： ________， ________．
三、解答题
17.解方程： ．
18.如图， ， ，点 在 上， ．
求证： ．
19.二次函数 的图象过点 ， ．
〔1〕求这个二次函数的解析式；
〔2〕画出这个函数的图象．
20.关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根．
〔1〕求 的取值范围；
〔2〕假设 为正整数，求此时方程的根．
21.如图， 中， ，以 为直径的半圆与 交于点 ，与 交于点 ．
〔1〕求证：点 为 的中点；
〔2〕求证： ．
22.如图，用一条长 的绳子围成矩形 ，设边 的长为 ．
〔1〕.边 的长为 1 ，矩形 的面积为 2 〔均用含 的代数式表示〕；
〔2〕.矩形 的面积是否可以是 ？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．
23.如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象过点 ，且与 轴交于点 ．
〔1〕.求 的值和点 的坐标；
〔2〕.求 的解集．
24.某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离 〔单位： 〕与滑行时间 〔单位： 〕的假设干数据，如下表所示：
为观察 与 之间的关系，建立坐标系，以 为横坐标， 为纵坐标，描出表中数据对应的点〔如图〕．可以看出，其中绝大局部的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数 来近似地表示 与 的关系．
〔1〕.有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是 1 ；
〔2〕.当 时， ，所以 1 ；
〔3〕.当此滑雪者滑行距离为 时，用时约为 1 〔结果保存一位小数〕．
25.如图1， 是 的直径，点 在 上， 为 的中点，连接 ， ．
〔1〕求证： ；
〔2〕如图2，过点 作 的垂线与 交于点 ，作直径 交 于点 ．假设 为 中点， 的半径为2，求弦 的长．
26.平面直角坐标系 中，二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，交 轴于点 ．
〔1〕求二次函数的解析式；
〔2〕将点 向右平移 个单位，再次落在二次函数图象上，求 的值；
〔3〕对于这个二次函数，假设自变量 的值增加4时，对应的函数值 增大，求满足题意的自变量 的取值范围．
27.是等边三角形，点 在 上，点 ， 分别在射线 ， 上，且 ．
〔1〕如图1，当点 是 的中点时，那么 ________ ；
〔2〕如图2，点 在 上运动〔不与点 ， 重合〕．
①判断 的大小是否发生改变，并说明理由；
②点 关于射线 的对称点为点 ，连接 ， ， ．依题意补全图形，判断四边形 的形状，并证明你的结论．
28.在平面直角坐标系 中，旋转角 满足 ，对图形 与图形 给出如下定义：将图形 绕原点逆时针旋转 得到图形 ． 为图形 上任意一点， 为图形 上的任意一点，称 长度的最小值为图形 与图形 的“转后距〞．点 ，点 ，点 ．
〔1〕当 时，记线段 为图形 ．
①画出图形 ；
②假设点 为图形 ，那么“转后距〞为 ▲ ；
③假设线段 为图形 ，求“转后距〞；
〔2〕点 在点 的左侧，点 ，记线段 为图形 ，线段 为图形 ，对任意旋转角 ，“转后距〞大于1，直接写出 的取值范围．
答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】A、是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：A．

【分析】根据中心对称图形的特征判定即可。
2.【答案】 D
【解析】【解答】一元二次方程 的一次项系数是3
故答案为：D．

【分析】根据一元二次方程一般式的定义求解即可。
3.【答案】 C
【解析】【解答】解：点A〔1，2〕关于原点对称的点的坐标是〔-1，-2〕，
故答案为：C．

【分析】根据关于原点对称的点的特征求解。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：抛物线 的顶点坐标为〔0，0〕，把点〔0，0〕向上平移2个单位得到的点的坐标为〔0，2〕，所以平移后的抛物线的解析式为 。
故答案为：A。
【分析】找出原抛物线解析式的顶点坐标，根据点的坐标与平移的规律“横坐标，左减右加；纵坐标上加下减〞得出平移后新抛物线的顶点坐标，根据平移不会改变抛物线的开口程度及开口方向故二次项的系数不变，从而即可得出平移后新抛物线的解析式。
5.【答案】 D
【解析】【解答】把方程 的常数项移到等号的右边，得到： ，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到： ，
配方得： ，
故答案为：D．

【分析】利用配方法求解即可。
6.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵OB=OC，
∴∠1=∠2，所以A选项的结论成立；
∵OA=OB，
∴∠4=∠OBA，
∴∠AOB=180°-∠4-∠OBA=180°-2∠4，
∵△ABC为不等边三角形，
∴AB≠BC，
∴∠BOC≠∠AOB，
而∠BOC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1，
∴∠1≠∠4，所以B选项的结论不成立；
∵∠AOB与∠ACB都对弧AB，
∴∠AOB=2∠ACB，所以C选项的结论成立；
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠3，
∴∠ACB=∠1+∠OCA=∠2+∠3，所以D选项的结论成立．
故答案为：B．

【分析】根据圆周角的性质及圆半径相等的性质逐项判定即可。
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：设OB=a，那么OP=a-x，
那么OQ=OPtan∠QPO=〔a-x〕tan∠QPO，
故
∵2tan∠QPO为大于0的常数，
故上述函数为开口向上的抛物线，且x=a时，y取得最大值0，
故答案为：C．

【分析】先用含x的代数式表示出OP，再用三角形函数表示出OQ，最后利用菱形的面积计算公式列出表达式即可。
8.【答案】 D
【解析】【解答】解：A、d〔25%〕= ＞1，本选项不符合题意．
B、当x＞50%时，0≤d〔x〕＜2，本选项不符合题意．
C、当x1＞x2时，d〔x1〕与d〔x2〕可能相等，可能不等，本选项不符合题意．
D、当x1+x2=100%时，d〔x1〕=d〔x2〕，本选项符合题意．
故答案为：D．

【分析】根据题干的信息逐项判定即可。
二、填空题
9.【答案】 是
【解析】【解答】解：∵当x=1时，y=﹣〔﹣1〕2=﹣1，
∴点 在二次函数 的图象上．
故答案为：是．

【分析】将点A的坐标代入二次函数，判断等式是否成立即可。
10.【答案】 8
【解析】【解答】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，
由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，
∴∠ABF＋∠ABC＝180°，
∴C、B、F三点在一条直线上，
∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，
故答案为：8．

【分析】根据旋转的性质可得：BF=DE，再将BF和BC相加即可。
11.【答案】 0
【解析】【解答】解：∵关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴关于 的方程 有两个相等的实数根，
∴△=02-4m=0，解得m=0．
故答案为0．

【分析】利用一元二次方程根的判别式，带入计算即可。
12.【答案】 4
【解析】【解答】解：如图，
⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．

【分析】以点O为圆心做圆，数交点个数即可。
13.【答案】
【解析】【解答】解：由题意得：
；
故答案为 ．

【分析】用含x的表达式表示出五月份的注册用户，列出等式即可。
14.【答案】 2
【解析】【解答】∵二次函数 〔a是常数〕，
∴该函数的对称轴是直线x＝− ＝2，
故答案为：2．

【分析】根据二次函数对称轴的公式代入计算即可。
15.【答案】 120
【解析】【解答】解：如图：连接OB
∵点 ， ， 在 上
∴OA=OC=OB
∵四边形 为平行四边形
∴四边形 是菱形
∴OA=OC=OB=AB=BC
∴△AOB、△OBC为等边三角形
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOC=120°．
故答案为：120．

【分析】根据平行四边形的性质判断出四边形为菱形，再判断出等边三角形即可。
16.【答案】 -1；3
【解析】【解答】解：根据x=-1和x=m时， 的值都为c，且 的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3
综上：m=-1；d-c=3

【分析】根据题干给的信息及二次函数的性质，列出等式求解即可。
三、解答题
17.【答案】 解：
， ．
【解析】【分析】采用配方法求解即可。
18.【答案】 证明：∵∠BCD＝∠ABD，
∴∠BCD＝∠ABE，
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】根据题意利用“SAS〞证出三角形全等，再利用全等的性质证出对应边相等。
19.【答案】 〔1〕解：∵二次函数 的图象过点 ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
〔2〕解：列表：
描点画图：
【解析】【分析】〔1〕将点A、B的坐标代入解析式，列出二元一次方程组求解即可；〔2〕利用“五点作图法〞作图即可。
20.【答案】 〔1〕解：∵方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
∴ ．
〔2〕解：∵ 为正整数，且 ，
∴ ．
当 时，方程为 ，
∴ ， ．
【解析】【分析】〔1〕根据一元二次方程根的判别式求m的取值范围；〔2〕根据题意求出m的具体值，再代入计算即可。
21.【答案】 〔1〕证明：连接CD，如图，

∵BC为直径，
∴∠BDC＝90°，
∴CD⊥AB，
∵CA＝CB，
∴AD＝BD，即点D为AB的中点；
〔2〕证明：∵四边形BCED为⊙O的内接四边形，
∴∠B＋∠DEC＝180°，
而∠AED＋∠DEC＝180°，
∴∠AED＝∠B，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠B，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE．
【解析】【分析】〔1〕利用直径所对的圆周角式直角，再结合等腰三角形的三线合一证明即可；〔2〕利用圆内接四边形的性质证明即可。
22.【答案】 〔1〕〔20-x〕；〔−x2＋20x〕
〔2〕解：假设矩形ABCD的面积是120m2 ， 那么−x2＋20x＝120．
∵△＝b2−4ac＝−80＜0，
∴这个方程无解．
∴矩形ABCD的面积不可以是120m2 ．
【解析】【解答】解：〔1〕根据题意，知边BC的长为：〔20−x〕m，
矩形ABCD的面积为：〔20−x〕x＝〔−x2＋20x〕m2；
故答案是：〔20−x〕；〔−x2＋20x〕；

【分析】〔1〕根据题意用含x的表达式分别表示出BC的长，结合矩形的面积计算公式代入计算即可；
〔2〕利用一元二次方程根的判别式判断即可。
23.【答案】 〔1〕解：∵ 的图象过点 ，
∴ ，
∴ ．
∴ ．
令 ，得 ，
∴点 的坐标为 ；
〔2〕解：∵二次函数 图象过 ， 两点
∴ ，解得：
画出函数图像如图：
由函数图像可得不等式 的解集为： ．
【解析】【分析】〔1〕将点A的坐标代入计算即可算出m的值；〔2〕根据函数值大的图像在上方的原那么，先求出焦点坐标，再比较即可。
24.【答案】 〔1〕3
〔2〕0
〔3〕3.1
【解析】【解答】解：〔1〕由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3；
故答案为3；〔2〕把t=0，s=0代入 得：c=0；
故答案为0；〔3〕由〔2〕可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入 得：
，解得： ，
∴二次函数的解析式为： ，
把s=30代入解析式得： ，
解得： 〔不符合题意，舍去〕，
∴当此滑雪者滑行距离为 时，用时约为3.1s；
故答案为3.1．

【分析】〔1〕根据图形判定即可；〔2〕讲t、s的值带入计算即可；〔3〕先求出二次函数表达式，再将s的值带入计算即可。
25.【答案】 〔1〕证明：连接 ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
〔2〕解：∵ ， 是 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】〔1〕根据圆周角的性质，证出角相等，再利用平行线的判定即可；〔2〕利用垂径定理求出BG，再利用勾股定理求解即可。
26.【答案】 〔1〕解：∵二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
〔2〕解：依题意，点 的坐标为 ，
该二次函数图象的对称轴为 ，
设点 向右平移 个单位后，所得到的点为 ，由于点 在抛物线上，
∴ ， 两点关于二次函数的对称轴 对称．
∴点 的坐标为 ．
∴ ．
〔3〕解：依题意，即当自变量取 时的函数值，大于自变量为 时的函数值．
结合函数图象，由于对称轴为 ，分为以下三种情况：
①当 时，函数值 随 的增大而减小，与题意不符；
② 当 时，需使得 ，方可满足题意，联立解得 ；
③ 时，函数值 随 的增大而增大，符合题意，此时 ．
综上所述，自变量 的取值范围是 ．
【解析】【分析】〔1〕将点A、B点坐标代入计算即可；〔2〕先表示出点C平移后的坐标，再代入计算求出n的值；〔3〕分情况讨论，对称轴左边及对称轴右边，再结合函数的性质求解即可。
27.【答案】 〔1〕120°
〔2〕解：①不发生改变，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∵ ．
∴点 ， ， 在以 为圆， 长为半径的圆上，
∴ ．
②补全图形如下：四边形 为平行四边形，证明如下：
由①知， ，
∵ ， ，
∴ ．
在 和 中，
，
∴ ．
∴ ．
∵点 和点 关于射线 对称，
∴ ， ．
∴ ，且 ．
∴四边形 为平行四边形．
【解析】【解答】解：〔1〕∵点D是等边△ABC的边BC的中点，
∴∠DAB＝∠DAC＝ ∠BAC＝30°，
∵DA＝DE，
∴∠AED＝∠BAD＝30°，
∴∠ADE＝180°−∠BAD−∠AED＝120°，
同理：∠ADF＝120°，
∴∠EDF＝360°−∠ADE−∠ADF＝120°，
故答案为：120；

【分析】〔1〕根据等边三角形的性质及角的运算求解即可；〔2〕 ①通过角的运算，证出 点 ， ， 在以 为圆， 长为半径的圆上 ，进而得到角的关系；②利用AAS证明三角形全等，进而证出 四边形 为平行四边形 。
28.【答案】 〔1〕解；①如图，线段OA′，即为图形M′：
；2
③连接 ，作 于 ，作 于 ，如图．
依题意， 的长度即为所求转后距．
∵ ， ，
∴ ， ， ．
在 中， ．
∵ ，
∴ ．
∴转后距为 ．
〔2〕解：如图3中，由题意记线段AB为图形M，线段PQ为图形N，对任意旋转角α，“转后距〞大于1，
观察图象可知，只要线段PA上的任意一点到阴影局部图形上的任意一点的距离大于1时，即可满足条件，
即满足条件的m的取值范围为：m＜−5或0＜m＜2．
【解析】【解答】〔2〕②观察图象可知，点C为图形N，那么“转后距〞为线段OC的长＝2，
故答案为2；

【分析】〔1〕 ① 根据要求作图即可； ② 根据题干定义结合图象求解； ③ 做出草图，结合题干求解；〔2〕根据要求做出草图，解答问题。-1
位置1
位置2
位置3
位置4
位置5
位置6
位置7
滑行时间
0
1.07
1.40
2.08
2.46
2.79
3.36
滑行距离
0
5
10
15
20
25
35
…
0
1
2
3
4
…
…
3
0
-1
0
3
…