2021年河北省唐山市九年级上学期数学期中试卷含答案

这是一份2021年河北省唐山市九年级上学期数学期中试卷含答案，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 九年级上学期数学期中试卷
一、单项选择题
1.抛物线 的对称轴是  
A. 直线                       B. 直线                       C. 直线                       D. 直线
2.x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，那么﹣a﹣2b＝〔    〕
A. ﹣1                                         B. 1                                         C. 2                                         D. ﹣2
3.以下列图形中，不是中心对称图形的是〔    〕
A. 圆                                B. 菱形                                C. 正十边形                                D. 等边三角形
4.点 在抛物线 上，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.                        B.                        C.                        D. 
5.一元二次方程 配方后可化为〔   〕
A.                       B.                       C.                       D. 
6.如下列图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置,旋转角为α〔0°<α<90°〕.假设∠1=110°,那么α等于〔  〕

A. 20°                                       B. 30°                                       C. 40°                                       D. 50°
7.把抛物线y＝3 +1先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是〔    〕
A. y＝3 ﹣2            B. y＝3 +3            C. y＝3 ﹣2            D. y＝3 +3
8. ，那么关于 的一元二次方程 根的情况为〔    〕
A. 无实数根                 B. 有两个相等实数根                 C. 有两个不相等实数根                 D. 无法确定
9.某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得〔  〕
A. 168〔1+x〕2＝108
B. 168〔1﹣x〕2＝108
C. 168〔1﹣2x〕＝108
D. 168〔1﹣x2〕＝108
10.关于x的一元二次方程〔a+1〕x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，那么a的值为〔    〕
A. 0                                       B. 0或﹣1                                       C. 1                                       D. ﹣1
11.如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，∠BAC=30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1 ， 连接BC1 ， 那么BC1的长为〔   〕

A. 6                                          B. 8                                          C. 10                                          D. 12
12.二次函数 的图象如下列图，对称轴为直线 ，以下结论错误的选项是〔    〕

A.                                                                   B. 当 时，顶点的坐标为
C. 当 时，                                     D. 当 时，y随x的增大而增大
13.在等边△ABC中，D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED，假设BC=5，BD=4．那么以下结论错误的选项是〔  〕

A. AE//BC                B. ∠ADE=∠BDC

                C. △BDE是等边三角形                D. △ADE的周长是9



14.二次函数y＝ax2+bx+c〔a，b，c为常数，且a≠0〕中的x与y的局部对应值如表：
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
以下结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+〔b﹣1〕x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为〔    〕
A. 4                                           B. 3                                           C. 2                                           D. 1
15.某建筑物，从10m高的窗口A ， 用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状〔抛物线所在的平面与墙面垂直〕，如下列图，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面 m，那么水流落地点B离墙的距离OB是〔   〕

A. 2m                                       B. 3m                                       C. 4m                                       D. 5m
16.如图，一段抛物线：y＝﹣x〔x﹣3〕〔0≤x≤3〕，记为C1 ， 它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2 ， 交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3 ， 交x轴于点A3；…，如此进行下去，直至得C13 ． 假设P〔32，m〕在第11段抛物线C11上，那么m值为〔    〕

A. 2                                       B. 1.5                                       C. ﹣2                                       D. ﹣2.25
二、填空题
17.方程2〔x+3〕2＝x+3的解为       ．
18.抛物线y＝ax2+bx+c的局部图象如图，那么当y＞3时，x的取值范围是       ．

19.如图，在平面直角坐标系中， 的直角顶点 的坐标为  ，点 在 轴正半轴上，且 .将 先绕点 逆时针旋转 ，再向左平移3个单位，那么变换后点 的对应点的坐标为________.

20.二次函数y＝﹣x2+2x﹣3．
〔1〕当2＜x＜5时，函数值y的取值范围是________；
〔2〕当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是________．
三、解答题
21.定义新运算：对于任意实数m，n都有 ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算．例如： ．根据以上知识解决问题：
〔1〕假设 ，求x的值；
〔2〕求抛物线 的顶点坐标；
〔3〕将〔2〕中的抛物线绕着原点旋转 ，写出得到的新的抛物线解析式．
22.如图，在平面直角坐标系中，△AOB是边长为3的等边三角形，将△AOB绕着点B按顺时针方向旋转得到△DCB，使得点D落在x轴的正半轴上，连接OC，AD．

〔1〕求证：OC＝AD；
〔2〕求OC的长．
23.探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次．
〔1〕假设参加聚会的人数为3，那么共握手________次；假设参加聚会的人数为6，那么共握手________次；
〔2〕假设参加聚会的人数为n〔n为正整数〕，那么共握手________次；
〔3〕假设参加聚会的人共握手45次，请求出参加聚会的人数．
拓展：
嘉嘉给琪琪出题：“假设在直角∠AOB的内部由顶点O引出m条射线〔不含OA、OB边〕，角的总数为20，求m的值．〞
琪琪的思考：“在这个问题上，角的总数不可能为20．〞琪琪的思考对吗？假设对，请求出m的值；假设不对，请说明理由．
24.如图①是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD＝13，DM＝5．

〔1〕在旋转过程中．
①当A，D，M三点在同一直线上时，求AM的长；
②当A，D，M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长；
〔2〕假设摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2 ． 如图②，此时∠AD2C＝135°，CD2＝20，求BD2的长．
25.某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研说明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元．〔销售利润=销售价﹣进货价〕
〔1〕求y与x的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；
〔2〕当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？
〔3〕要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？
26.如图，抛物线 经过 ， 两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连结CD.

〔1〕求该抛物线的表达式；
〔2〕点P为该抛物线上一动点〔与点B、C不重合〕，设点P的横坐标为t.
①当点P在直线BC的下方运动时，求 的面积的最大值；
②该抛物线上是否存在点P，使得 假设存在，求出所有点P的坐标；假设不存在，请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 A
【解析】【解答】解： 抛物线 ，
该抛物线的对称轴是直线 ，
故答案为： ．

【分析】将抛物线化为顶点式，即可得到该抛物线的对称轴，即可得到答案。
2.【答案】 B
【解析】【解答】解：将x＝1代入原方程可得：12+a+2b＝0，
∴a+2b＝﹣1，
∴﹣a﹣2b＝﹣〔a+2b〕＝1，
故答案为：B．

【分析】将x＝1代入原方程即可求出〔a+2b〕的值。
3.【答案】 D
【解析】【解答】解：A．圆属于中心对称图形，不合题意；
B．菱形属于中心对称图形，不合题意；
C．正十边形属于中心对称图形，不合题意；
D．等边三角形不属于中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．

【分析】根据中心对称图形的定义即可得出答案。
4.【答案】 A
【解析】【解答】解：当x=1时,y1=−(x+1) +2=−(1+1) +2=−2；
当x=2时,y =−(x+1) +2=−(2+1) +2=−7；
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将点A,B的横坐标代入抛物线的解析式，算出对应的函数值，即y1,y2的值，再根据有理数比大小的方法判断得出答案.
5.【答案】 C
【解析】【解答】解：移项，得



故答案为：C.
【分析】先移项，将常数项移到方程的右边，再配方，在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方，然后将方程的左边写成完全平方式，可得答案.
6.【答案】 A
【解析】【解答】如图,因为四边形ABCD为矩形,
所以∠B=∠D=∠BAD=90°,
因为矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′,

所以∠D′=∠D=90°,∠4=α,
因为∠1=∠2=110°,
所以∠3=360°-90°-90°-110°=70°,
所以∠4=90°-70°=20°,
所以α=20°.
故答案为：A

【分析】根据矩形的性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°,根据旋转的性质得出∠D′=∠D=90°,利用对顶角相等得出∠1=∠2=110°,再根据四边形的内角和为360度，可计算出∠3=360°-90°-90°-110°=70°,利用互余即可得到∠α的度数。
7.【答案】 D
【解析】【解答】解：y＝3 +1先向上平移2个单位，得到y＝3 +3，再向右平移3个单位y＝3 +3．
故得到抛物线的解析式为y＝3 +3．
故答案为：D．

【分析】先得到抛物线的顶点坐标，再分别确定每次平移后得到顶点坐标，再根据顶点式，写出最后抛物线的解析式。
8.【答案】 A
【解析】【解答】对于关于 的一元二次方程 ，
△=
当 时，-m-8＜0，
∴△＜0，
∴一元二次方程 没有实数根，
故答案为：A．

【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△= ， 再由时，-m-8＜0，得出△＜0，由此得出方程无解。
9.【答案】 B
【解析】【解答】设每次降价的百分率为x，根据题意得：
168〔1﹣x〕2＝108．
故答案为：B．
【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格〔1﹣降价的百分率〕，那么第一次降价后的价格是168〔1﹣x〕，第二次后的价格是168〔1﹣x〕2 ， 据此即可列方程求解．
10.【答案】 A
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程〔a+1〕x2﹣2x+a2+a＝0有一个根为x＝0，
∴a2+a＝0，且a+1≠0，
那么a的值为：a＝0．
故答案为：A．

【分析】把x=0代入方程再结合a +1不等于零，进而得出答案。
11.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1 ，
∴AC=AC1 ， ∠CAC1=60°，
∵AB=8，AC=6，∠BAC=30°，
∴∠BAC1=90°，AB=8，AC1=6，
∴在Rt△BAC1中，BC1的长= ，
故答案为：C．
【分析】根据旋转的性质，AC=AC1 ， ∠CAC1=60°，故∠BAC1=90°，根据勾股定理即可算出BC1的长。
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
当 时，
∴顶点的坐标为 ，故B选项正确，不符合题意；
当 时，由图象知此时
即
∴ ，故C选项不正确，符合题意；
∵对称轴为直线 且图象开口向上
∴当 时，y随x的增大而增大，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、利用对称轴为直线x==2,求出a值，据此判断.
B、将b=-4，a=4代入抛物线解析式中，可得y=x2-4x-4，然后将其化为顶点式，据此判断即可.
C、根据图象可得，当x=-1时，y=1+4+b＜0，从而可求出b的范围，据此判断即可.
D、由于抛物线的开口向上，对称轴直线x=2,可得当x＞2时，y随x的增大而增大，据此判断即可.
13.【答案】 B
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠C=60°，∵将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，∴∠EAB=∠C=60°，∴∠EAB=∠ABC=60°，∴AE∥BC，A符合题意；∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB=BC=5，∵△BAE是△BCD逆时针旋旋转60°得到，∴AE=CD，BD=BE，∠EBD=60°，∴AE+AD=AD+CD=AC=5，∵∠EBD=60°，BE=BD，∴△BDE是等边三角形，C符合题意；∴DE=BD=4，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+BD=5+4=9，D符合题意；而选项B没有条件证明∠ADE=∠BDC，∴结论错误的选项是B，
故答案为：B．
【分析】根据旋转的性质和等边三角形的性质进行作答求解即可。
14.【答案】 C
【解析】【解答】解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝ ＝ ，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①符合题意，
②∵抛物线的对称轴x＝ ，
∴当x＞ 时，y的值随x值的增大而减小，故②不符合题意，
∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3〔b﹣1〕+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+〔b﹣1〕x+c＝0的一个根，故③符合题意．
∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣〔b﹣1〕+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+〔b﹣1〕x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+〔b﹣1〕x+c＞0，故④不符合题意．
故答案为：C．

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线X=1.5，再根据二次函数的性质对个小题分析判断即可得解。
15.【答案】 B
【解析】【解答】设抛物线的解析式为y＝a(x﹣1)2+ ，
把点A〔0，10〕代入a(x﹣1)2+ ，得a(0﹣1)2+ ＝10，
解得a＝﹣ ，
因此抛物线解析式为y＝﹣ (x﹣1)2+ ，
当y＝0时，解得x1＝3，x2＝﹣1〔不合题意，舍去〕；
即OB＝3米.
故答案为：B.
【分析】设抛物线的解析式为y＝a(x-1)2+， 将点A坐标代入可得a的值，进而得到函数解析式，令y=0，求出x的值即可得到OB的长.
16.【答案】 A
【解析】【解答】解：令y＝0，那么﹣x〔x﹣3〕＝0，
解得x1＝0，x2＝3，
∴A1〔3，0〕，
由图可知，抛物线C11在x轴上方，
相当于抛物线C1向右平移6×5＝30个单位得到，
∴抛物线C11的解析式为y＝﹣〔x﹣30〕〔x﹣30﹣3〕＝﹣〔x﹣30〕〔x﹣33〕，
∵P〔32，m〕在第11段抛物线C11上，
∴m＝﹣〔32﹣30〕〔32﹣33〕＝2．
故答案为：A．

【分析】求出抛物线C1与x轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在X轴上方，再求出抛物线C13平移的距离，再根据向右平移横坐标加表示出抛物线C11的解析式，把点P的坐标带入计算即可得解。
二、填空题
17.【答案】 x1＝﹣3，x2＝﹣2.5
【解析】【解答】解：∵2〔x+3〕2＝x+3，
∴2〔x+3〕2﹣〔x+3〕＝0，
那么〔x+3〕〔2x+5〕＝0，
∴x+3＝0或2x+5＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝﹣2.5，
故答案为：x1＝﹣3，x2＝﹣2.5．
【分析】方程移项后提取公因式化为积的形式，再利用两数相成乘积为0，两个因数中至少有一个为零转化为两个一元一次方程来求解。
18.【答案】 0＜x＜2
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c〔a≠0〕与y轴的交点坐标为〔0，3〕，对称轴为x＝﹣1，
∴点〔0，3〕关于对称轴的对称点为〔2，3〕，
由图象可知，当y＞3时，x的取值范围是0＜x＜2．
故答案为：0＜x＜2．

【分析】根据抛物线与Y轴的交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与X轴的另一个交点，再根据图像即可求得结论。
19.【答案】
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ， ，
∴点 的坐标为 ，
如下列图，将 先绕点 逆时针旋转90°，

那么点 的坐标为 ，
再向左平移3个单位长度，那么变换后点 的对应点坐标为 。
故答案为： 。
【分析】首先根据旋转的性质得出A'C=AC=2，∠A'CO=90°，从而即可得出点的坐标为 ，再根据平移与坐标特点“横坐标左减右加〞进而即可得出平移后点A的对应点的坐标。
20.【答案】 〔1〕﹣18＜y＜﹣3
〔2〕﹣6＜y≤﹣2
【解析】【解答】解：〔1〕∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣〔x﹣1〕2﹣2，
 
∵对称轴为直线x＝1，有最大值﹣2，
把x＝2代入y＝﹣x2+2x﹣3得，y＝﹣3；
把x＝5代入y＝﹣x2+2x﹣3得，y＝﹣18，
∴当2＜x＜5时，函数值y的取值范围是﹣18＜y＜﹣3，
故答案为﹣18＜y＜﹣3；
〔2〕把x＝3代入y＝﹣x2+2x﹣3得，y＝﹣6，
∴当0≤x＜3时，函数值y的取值范围是﹣6＜y≤﹣2，
故答案为﹣6＜y≤﹣2．
【分析】〔1〕根据二次函数的性质即可求解；
〔2〕根据二次函数的性质即可求解。
 
三、解答题
21.【答案】 〔1〕解：根据题意，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
整理，得 ，
解得： ；

〔2〕解：根据题意知，
整理得：
所以，顶点坐标〔 ， 〕

〔3〕解：根据题意知，新的抛物线解析式为 ．
【解析】【分析】〔1〕利用新定义运算法那么列出方程在解方程即可；
〔2〕利用新定义运算法那么列出方程，再利用配方法，写出顶点式解析式可直接得出答案；
〔3〕根据关于原点对称的函数性质解答即可。
22.【答案】 〔1〕解：∵ 是边长为3的等边三角形，
∴ ， ，
又 是由 绕着点B按顺时针方向旋转得到的，
∴ 也是边长为3的等边三角形，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
∴ 〔全等三角形的对应边相等〕

〔2〕解： 中 ， ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
OC＝ ．
【解析】【分析】〔1〕根据旋转的性质和等边三角形的性质可以证明  ， 即可得出结论；
〔2〕结合〔1〕可得出  ， 根据勾股定理即可求出OC的长。
 
23.【答案】 〔1〕3；15
〔2〕n〔n﹣1〕
〔3〕解：设有x 人参加聚会，根据题意得，
x〔x﹣1〕=45，
解得：x1＝10，x2＝﹣9〔不合题意，舍去〕，
答：参加聚会的有10人．
拓展：解：琪琪的思考对，理由如下：
设从点O共引出m条射线，假设共有20个角，
那么有： ，
解得：m＝ ，〔负值舍去〕，
∴m= ，与m为正整数矛盾，
所以不可能有20个角．
【解析】【解答】解：〔1〕参加聚会的人数为3，那么共握手 ×3×2＝3〔次〕；
 
假设参加聚会的人数为6，那么共握手 ×6×5＝15〔次〕；
故答案为：3，15；
〔2〕参加聚会的人数为n〔n为正整数〕，那么共握手 n〔n﹣1〕次．
故答案为： n〔n﹣1〕；
【分析】〔1〕根据握手次数等于参会人数× (参会人数-1 〕÷2即可求出结论；
〔2〕由〔1〕的结论，结合参会人数为N即可得出结论；
〔3〕由〔2〕的结论结合共握手45次，即可得出关于N的一元二次方程。解之取其正值即可得出结论；
拓展：根据题意，即可得出关于M的一元二次方程解，解之该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考是对的。
24.【答案】 〔1〕解：①由题意可知：当点M在线段AD的延长线上时，AM＝AD+DM＝13+5＝18，
当点M在线段AD上时，AM＝AD﹣DM＝13﹣5＝8；
综上所述：AM＝8或18；
②假设AM为斜边，那么AM＝ ，
假设AD为斜边，那么AM＝ ，
综上所述：AM＝12或 ；

〔2〕解：如图，连接CD1 ，

由旋转90°可知：AD1＝AD2＝13，∠D2AD1＝90°，
∴∠AD2D1＝∠AD1D2＝45°，
∴D1D2＝13 ，
∴∠D1D2C＝∠AD2C﹣∠AD2D1＝90°，
在Rt△D1D2C中 由勾股定理得：D1C＝ ，
由△ABC为等腰直角三角形可知：AB＝AC，∠BAC＝90°＝∠D2AD1 ，
∴∠BAC﹣∠D2AC＝∠D2AD1﹣∠D2AC，
即：∠BAD2＝∠CAD1 ，
又∵AD2＝AD1 ，
∴△BAD2≌△CAD1〔SAS〕，
∴D1C＝BD2＝ ．
【解析】【分析】〔1〕①分两种情况讨论，由线段关系可求解；②分两种情况讨论由勾股定理可求解；
〔2〕由旋转的性质可得AD1＝AD2＝13，∠D2AD1＝90°，由勾股定理可求D1C的长，由“SAS〞可证出△BAD2≌△CAD1， 可得D1C＝BD2＝   ．
25.【答案】 〔1〕解：由题意得： ，
∴ 〔 〕；

〔2〕解：假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，
那么

，
∴ 时，S最大为50．
∵ 〔万元〕，
∴每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；

〔3〕解：当S=48时，
，
解得： ，
∵ ，二次项系数为﹣8＜0，
∴S为开口向下的二次函数，
∵对称轴为直线 ，
∴当 时，S随x的增大而增大；当 时，S随x的增大而减小，
∴当 时， ．
∵实际售价等于〔 〕万元，
∴ 时， ．
∴销售价格在27万元至28万元之间时〔含27万、28万元〕该汽车城平均每周的利润不低于48万元．
【解析】【分析】〔1〕根据销售利润=销售价-进货价，列出Y关于X的关系式，化简即可；
〔2〕假设这种汽车平均每周的销售利润为S万元，根据平均每周的销售利润为S万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得S关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；
〔3〕当S=48时，可得关于x的一元二次方程，求得方程的解，再根据二次函数的性质可得出符合题意的x的值，再由世纪售价等于〔29-x〕万元，可得出销售价的范围。
26.【答案】 〔1〕解：将点A、B坐标代入二次函数表达式得： ，解得： ，
故抛物线的表达式为： …①，
令 ，那么 或 ，
即点

〔2〕解：①如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为： …②，
设点 ，那么点 ，
，
， 有最大值，当 时，其最大值为 ；
②设直线BP与CD交于点H，

当点P在直线BC下方时，
， 点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为 ，
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为： ，将点 代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为： …③，
同理直线CD的表达式为： …④，
联立③④并解得： ，即点 ，
同理可得直线BH的表达式为： …⑤，
联立①⑤并解得： 或 〔舍去 〕，
故点 ；
当点 在直线BC上方时，
， ，
那么直线BP′的表达式为： ，将点B坐标代入上式并解得： ，
即直线BP′的表达式为： …⑥，
联立①⑥并解得： 或 〔舍去 〕，
故点 ；
故点P的坐标为 或
【解析】【分析】〔1〕利用待定系数法，将 点A、B坐标代入二次函数 ，即可得出一个关于a,b的二元一次方程组，求解算出a,b的值，从而求出抛物线的解析式；
〔2〕 ① 如图1，过点P作y轴的平行线交BC于点G， 根据抛物线与x轴交点的坐标特点求出点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，根据点的坐标与图形的性质用含t的式子表示出点G,P的坐标，然后根据 ，建立出函数关系式，再根据所得函数的性质即可解决问题； ②设直线BP与CD交于点H， 当点P在直线BC下方时， 根据等角对等边即线段垂直平分线的性质得出当 点H在BC的中垂线上， 利用中点坐标公式得出线段BC的中点坐标，再根据互相垂直的直线的自变量的系数的乘积等于-1，利用待定系数法即可求出直线BC中垂线的表达式， 直线CD的表达式 ，联立直线BP、CD的解析式组成的方程组即可求出点H的坐标， 然后利用待定系数法求出直线BH的解析式，联立直线BH与抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P的坐标； 当点 在直线BC上方时， 根据内错角相等，二直线平行由 得出 ，根据互相平行的直线上的自变量的系数相同，利用待定系数法求出直线BP'的解析式，联立直线BP'的解析式与抛物线的解析式组成的方程组即可求出点P'的坐标，综上所述即可得出答案。