数学八年级下册9.1 图形的旋转课时练习

这是一份数学八年级下册9.1 图形的旋转课时练习，共31页。试卷主要包含了0分），【答案】C，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。

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9.1图形的旋转同步练习苏科版初中数学八年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，在△ABC中，∠BAC=108°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′.若点B′恰好落在BC边上，且AB′=CB′，则∠C′的度数为(    )
A. 18° B. 20° C. 24° D. 28°
2. 如图，把一个直角三角板△ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合，连接CD，则∠BDC的度数为(    )
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°
3. 如图，在△ABC中，∠B=42°，把△ABC绕着点A顺时针旋转，得到△AB′C′，点C的对应点C′落在BC边上，且B′A//BC，则∠BAC′的度数为(    )
A. 24°
B. 25°
C. 26°
D. 27°
4. 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合，且两条直角边分别经过点A和点B，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一个锐角，当三角尺的两直角边与AB，AC分别交于点E、F时，下列结论中错误的是(    )．
A. AE+AF=AC B. ∠BEO+∠CFO=180°
C. OE+OF=22BC D. S四边形AEOF=12S△ABC
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−4,0)、B(0,3)，对△AOB连续作旋转变换依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第2022个三角形的直角顶点的坐标是(    )
A. (8076,0) B. (8076,125) C. (8088,0) D. (8088,125)
6. 如图，△ABC是等边三角形，点P在△ABC内，PA=2，将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，则P1P的长等于(    )
A. 2
B. 3
C. 32
D. 1
7. 如图，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，P是AB上一动点，连结OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60∘得到线段OD，若使点D恰好落在BC上，则线段AP的长是 (    )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 8
8. 如图，在等边△ABC中，点D是边AC上一点，连接BD，将△BCD绕着点B逆时针旋转60º，得到△BAE，连接ED，则下列结论中：
①AE // BC；②∠DEB=60º；③∠ADE=∠BDC，其中正确结论的序号是(       )
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. 只有①
9. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，将△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A’BC’，连接A’C，则A’C的长为(    )
A. 6
B. 4+23
C. 4+33
D. 2+33
10. 如图，△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移的距离和旋转角的度数分别为(    )
A. 4；30° B. 2；60° C. 1；30° D. 3；60°
11. 如图，直线y=3x+3与y轴交于点P，将它绕着点P旋转90∘所得的直线对应的函数解析式为(    )
A. y=33x+3
B. y=−33x+3
C. y=13x+3
D. y=−13x+3

12. 如图，在等边△ABC中，D是边AC上一动点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60∘得到△BAE，连接ED，若BC=10，则△AED的周长的最小值是(    )
A. 10 B. 103 C. 10+53 D. 20
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=4，以CD为直径作⊙O.将矩形ABCD绕点C旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O相切，切点为E，边CD′与⊙O相交于点F，则CF的长为______．


14. 一副三角板如图放置，将三角板ADE绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)，使得三角板ADE的一边所在的直线与BC垂直，则α的度数为______．




15. 如图，等边三角形ABC内有一点P，分別连结AP、BP、CP，若AP=6，BP=8，CP=10.则S△ABP+S△BPC=______．



16. 如，是块完0°角的三角板，分别记作△C△′BC′，将两块三角板重叠在一起，设较长角边的点为M，绕中M转动上面的三角板ABC，使其直角顶点C恰好落在角板A′C斜边A′B上当∠A=30°，AC=1时，此时两直角顶点C、C′间距是______ ．


17. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD′，连接BD′.若AB=2cm，则BD′的最小值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
18. 如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°．
①当点D在AC上时，如下面图1，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出结论，不需要证明．
②将下面图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α角(0°<α<90°)，如下图2，上述关系是否成立？如果成立请说明理由．








19. (1)如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D，E在BC上，∠DAE=45°，为了探究BD，DE，CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD，DE，CE之间的等量关系式是______；(无须证明)
(2)如图2，在△ABC中，∠BAC=140°，AB=AC，D，E在BC上，∠DAE=70°，∠ADE=45°，试仿照(1)的方法，利用图形的旋转变换，探究BD，DE，CE之间的等量关系，并证明你的结论．








20. 如图，平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A(−3,2)，B(0,4)，C(0,2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，在图中画出旋转后对应的△A1B1C；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0,−4)，在图中画出平移后对应的△A2B2C2，则平移的距离是______．
(3)若将△A1B1C绕某一点旋转可以得到△A2B2C2则旋转中心的坐标是______．








21. 如图，等腰三角形ABC中，BA=BC，∠ABC=α.作AD⊥BC于点D，将线段BD绕着点B顺时针旋转角α后得到线段BE，连接CE.求证：BE⊥CE．











22. 已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F．

(1)如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=则______，如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=______，如图3，若∠ACD=α，则∠AFB=______(用含α的式子表示)；
(2)设∠ACD=α，将图3中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点F至少在BD、AE中的一条线段上)，如图4，试探究∠AFB与α的数量关系，并予以证明．







23. 如图，△ABC中，∠C=90°．
(Ⅰ)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出旋转后的三角形．
(Ⅱ)若BC=4，AC=3，则AA′的长为______．











24. 如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB=∠DCE=90°．

(1)观察猜测：图1，点E在BC上，则线段AE与BD的数量关系是___________ ，位置关系是______________ ．
(2)探究证明：把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC=BC=13，DE=10，当A、E、D三点共线时，请直接写出AD的长．







25. 通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整。原题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45º，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由。
  
(1)【思路梳理】
∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90º至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADG=∠B=90º，∴∠FDG=180º，点F、D、G共线，根据________，易证△AFG≌________，得EF=BE+DF；
(2)【类比引申】
如图②，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90º，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45º，若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系________时，仍有EF=BE+DF；
(3)【联想拓展】
如图③，在△ABC中，∠BAC=90º，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45º，猜想BD，DE，EC应满足的等量关系，并写出推理过程。







答案和解析
1.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用这些的性质解决问题是本题的关键．
由旋转的性质可得∠C=∠C′，AB=AB′，由等腰三角形的性质可得∠C=∠CAB′，∠B=∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】
解：∵AB′=CB′，
∴∠C=∠CAB′，
∴∠AB′B=∠C+∠CAB′=2∠C，
∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，
∴∠C=∠C′，AB=AB′，
∴∠B=∠AB′B=2∠C，
∵∠B+∠C+∠CAB=180°，
∴3∠C=180°−108°，
∴∠C=24°，
∴∠C′=∠C=24°，
故选C．
  
2.【答案】A

【解析】解：∵△EBD由△ABC旋转而成，
∴△ABC≌△EBD，
∴BC=BD，∠EBD=∠ABC=30°，
∴∠BDC=∠BCD，∠DBC=180−30°=150°，
∴∠BDC=12(180°−150°)=15°；
故选：A．
根据图形旋转的性质得出△ABC≌△EBD，可得出BC=BD，根据图形旋转的性质求出∠EBD的度数，再由等腰三角形的性质即可得出∠BDC的度数．
本题考查的是旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．

3.【答案】D

【解析】解：由旋转的性质得：∠B′=∠B=42°，∠AC′B′=∠C，AC′=AC，
∴∠AC′C=∠C=∠AC′B′，
∵B′A//BC，
∴∠B′+∠B′C′C=180°，
∴∠B′C′C=180°−42°=138°，
∴∠AC′C=∠C=∠AC′B′=12×138°=69°，
∴∠BAC′=∠AC′C−∠B=69°−42°=27°；
故选：D．
由旋转的性质得出∠B′=∠B=42°，∠AC′B′=∠C，AC′=AC，由等腰三角形的性质得出∠AC′C=∠C=∠AC′B′，由平行线的性质得出∠B′C′C=138°，求出∠AC′C=∠C=∠AC′B′69°，再由三角形的外角性质即可得出答案．
此题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．

4.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、等腰直角三角形以及三角形内角和定理，逐一分析四个选项的正误是解题的关键．
连接AO，易证△EOA≌△FOC(ASA)，利用全等三角形的性质可得出EA=FC，进而可得出AE+AF=AC，选项A正确；由三角形内角和定理结合∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=90°可得出∠BEO+∠OFC=180°，选项B正确；由△EOA≌△FOC可得出S△EOA=S△FOC，结合图形可得出S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．综上，此题得解．
【解答】
解：连接AO，如图所示，


∵△ABC为等腰直角三角形，点O为BC的中点，
∴OA=OC，∠AOC=90°，∠BAO=∠ACO=45°．
∵∠EOA+∠AOF=∠EOF=90°，∠AOF+∠FOC=∠AOC=90°，
∴∠EOA=∠FOC．
在△EOA和△FOC中，∠EOA=∠FOCOA=OC∠EAO=∠FCO，
∴△EOA≌△FOC(ASA)，
∴EA=FC，
∴AE+AF=AF+FC=AC，选项A正确；
∵∠B+∠BEO+∠EOB=∠FOC+∠C+∠CFO=180°，∠B+∠C=90°，∠EOB+∠FOC=180°−∠EOF=90°，
∴∠BEO+∠CFO=180°，选项B正确；
∵△EOA≌△FOC，
∴S△EOA=S△FOC，
∴S四边形AEOF=S△EOA+S△AOF=S△FOC+S△AOF=S△AOC=12S△ABC，选项D正确．
故选C．  
5.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了坐标与图形变化−旋转，勾股定理的应用，观察图形，发现每3个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键．利用勾股定理列式求出AB的长，再根据图形写出第(3)个三角形的直角顶点的坐标即可；观察图形不难发现，每3个三角形为一个循环组依次循环，用2023除以3，根据商和余数的情况确定出第(2022)个三角形的直角顶点到原点O的距离，然后写出坐标即可．
【解答】
解：∵点A(−4,0)，B(0,3)，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=42+32=5，
∴三角形(3)的直角顶点坐标为：(12,0)，
∵2022÷3=674，
∴第2022个三角形是第674组的第三个直角三角形，
∵674×12=8088，
∴第2022个三角形的直角顶点的坐标是(8088,0)．
故选C．
  
6.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形的性质和判定，旋转的性质等知识点，关键是得出△APP1是等边三角形，注意“有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的对应边相等，每个角都等于60°”．
根据等边三角形的性质推出AC=AB，∠CAB=60°，根据旋转的性质得出△CP1A≌△BPA，推出AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，求出∠PAP1=60°，得出△APP1是等边三角形，即可求出答案．
【解答】
解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴AC=AB，∠CAB=60°，
∵将△PAB绕点A逆时针旋转得到△P1AC，
∴△CP1A≌△BPA，
∴AP1=AP，∠CAP1=∠BAP，
∴∠CAB=∠CAP+∠BAP=∠CAP+∠CAP1=60°，
即∠PAP1=60°，
∴△APP1是等边三角形，
∴P1P=PA=2．
故选A．  
7.【答案】C

【解析】
【分析】
本题考查了等边三角形各内角为60°的性质，全等三角形的证明和全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△APO≌△COD是解题的关键．根据∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，可得∠APO=∠COD，进而可以证明△APO≌△COD，进而可以证明AP=CO，即可解题．
【解答】
解：∵∠COP=∠A+∠APO=∠POD+∠COD，∠A=∠POD=60°，
∴∠APO=∠COD．
在△APO和△COD中，

∠A=∠C∠APO=∠CODOP=OD


∴△APO≌△COD(AAS)，
∴AP=CO，
∵CO=AC−AO=6，
∴AP=6．
故选C．  
8.【答案】A

【解析】
【分析】
本题考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握这些知识点是解题的关键.根据等边三角形的性质及旋转的性质得∠BAE=∠C=60°，AE=CD，则∠BAE=∠ABC，于是根据平行线的判定可对①进行判断；由△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE得到∠DBE=60°，BD=BE，则根据等边三角形的判定方法得到∠DEB=60°，于是可对②进行判断；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，DE=DB=4，然后说明∠BDC>60°，则∠ADE<60°，于是可对③进行判断．
【解答】
解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠C=60°，AC=BC， 
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴∠BAE=∠C=60°，AE=CD，
∴∠BAE=∠ABC， 
∴AE//BC，
故①正确；
∵△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△BAE，
∴∠DBE=60°，BD=BE，
∴△BDE为等边三角形， 
∴∠DEB=60°，
故②正确；
 ∴∠BDE=60°，DE=DB， 
在△BDC中，∵BC>BD，
 ∴∠BDC>∠C，即∠BDC>60°，
 ∴∠ADE<60°，
故③错误； 
故选A．  
9.【答案】C

【解析】解：连结CC′，A′C交BC于O点，如图，
∵△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△A′BC′，
∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，
∴△BCC′为等边三角形，
∴CB=CB′，
而A′B=A′C′，
∴A′C垂直平分BC′，
∴BO=12BC′=3，
∴A′O=A′B2−BO2=4
CO=BC2−BO2=33
∴A′C=A′O+CO=4+33
故选：C．
连结CC′，A′C交BC于O点，如图，利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，则可判断△BCC′为等边三角形，接着利用线段垂直平分线定理的逆定理说明A′C垂直平分BC′，则BO=12BC′=3，然后利用勾股定理计算出A′O，CO，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，解决本题的关键是证明△BCC′为等边三角形和A′C⊥BC′．

10.【答案】B

【解析】
【分析】
此题主要考查了平移和旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，得出△A′B′C是等边三角形是解题关键．利用旋转和平移的性质得出，∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，进而得出△A′B′C是等边三角形，即可得出BB′以及∠B′A′C的度数．
【解答】
解：∵∠B=60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，
∴∠A′B′C=60°，AB=A′B′=A′C=4，
∴△A′B′C是等边三角形，
∴B′C=4，∠B′A′C=60°，
∴BB′=6−4=2，
∴平移的距离和旋转角的度数分别为：2；60°．
故选B．  
11.【答案】B

【解析】略

12.【答案】C

【解析】解：如图，作BF⊥AC于F，

∵△ABC是等边三角形，BC=10，
∴AC=10，AF=FC=5．
在Rt△BFC中，BF=BC2−FC2=102−52=53．
∵将△BCD绕点B逆时针旋转60∘得到△BAE，
∴BD=BE，∠DBE=60∘，CD=AE，
∴△DBE是等边三角形，
∴BD=DE，
∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+BD=AC+BD，
∴当BD最小，即BD=BF=53时，△AED的周长最小，
最小值=AC+BF=10+53．
故选C．


13.【答案】4

【解析】解：连接OE，延长EO交CD′于点G，作OH⊥B′C于点H，

则∠OEB′=∠OHB′=90°，
∵矩形ABCD绕点C旋转所得矩形为A′B′CD′，
∴∠B′=∠B′CD′=90°，AB=CD=5、BC=B′C=4，
∴四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形，OE=OD=OC=2.5，
∴B′H=OE=2.5，
∴CH=B′C−B′H=1.5，
∴CG=B′E=OH=OC2−CH2=2．52−1．52=2，
∵四边形EB′CG是矩形，
∴∠OGC=90°，即OG⊥CD′，
∴CF=2CG=4，
故答案为：4．
连接OE，延长EO交CD′于点G，作OH⊥B′C，由旋转性质知∠B′=∠B′CD′=90°、AB=CD=5、BC=B′C=4，从而得出四边形OEB′H和四边形EB′CG都是矩形且OE=OD=OC=2.5，继而求得CG=B′E=OH=OC2−CH2=2．52−1．52=2，根据垂径定理可得CF的长．
本题主要考查圆的切线的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、旋转的性质、切线的性质、垂径定理等知识点．

14.【答案】15°或60°

【解析】
【分析】
本题主要考查了角的计算、旋转的性质、垂线的性质、三角形的内角和定理、分类讨论的思想等知识点，理清定义是解答本题的关键．
分两种情况讨论：①当DE⊥BC时，②当AD⊥BC时，分别求出∠BAD的度数，再利用α=90°−∠BAD，即可求解．
【解答】
解：分两种情况讨论：
①如图，当DE⊥BC时，

∴∠BDF=90°，
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA=45°，
∴∠BAD=180°−∠B−∠BDA=180°−60°−45°=75°，
∴α=90°−∠BAD=15°；
②如图，当AD⊥BC时，

∴∠BDA=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BAD=30°，
∴α=90°−∠BAD=60°，
综上，α=15°或60°．
故答案为15°或60°．
  
15.【答案】24+163

【解析】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，连接PP′，

根据旋转的性质可知，
旋转角∠PBP′=∠CAB=60°，BP=BP′，
∴△BPP′为等边三角形，
∴BP′=BP=8=PP′；
由旋转的性质可知，AP′=PC=10，
在△BPP′中，PP′=8，AP=6，
由勾股定理的逆定理得，△APP′是直角三角形，
∴S△ABP+S△BPC=S四边形AP'BP
=S△BP′B+S△AP'P
=34BP2+12×PP′×AP
=24+163，
故答案为：24+163．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°后得△AP′B，根据旋转的性质可得∠PBP′=∠CAB=60°，BP=BP′，可得△BPP′为等边三角形，可得BP′=BP=8=PP′，由勾股定理的逆定理可得，△APP′是直角三角形，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形是解题的关键，属于中档题．

16.【答案】5

【解析】解：接C′，∵两块三角板重在一起，长角边的中为M，
∴CMA′M=CM=12A=5，
∴C′C==5，
∴M是ACA′′的中点C=A′C′，
∴C′长为5．
∴′∠A′CM=30°，
填：5．
此题连接′，根据M是、AC′的中点，AC=′C′，得出C=′M=CM=12AC=5，再根据∠A′=∠A′C=0，得出∠CM′=60°，MC′等边三形从而证出′C=C，即可得案．
本题考旋转的性质要与殊三角形的性质与判相结合．

17.【答案】1

【解析】解：在AC上截取AE=AB=2，作EF⊥BC于F，如图，
∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴AC=2AB=4，BC=3AB=23，∠BAC=60°，
∴CE=AC−AE=2，
在Rt△CEF中，EF=12CE=1，FC=3EF=3，
∵线段AD绕点A顺时针旋转60°至AD′，
∴AD=AD′，∠DAD′=60°，
∴∠BAD′=∠EAD，
在△ABD′和△ADE中
AB=AE∠BAD′=∠EADAD′=AD，
∴△ABD′≌△ADE，
∴DE=BE′，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=(3−BD)2+12=(BD−3)2+1，
∴当BD=3时，DE2有最小值1，
∴BD′的最小值为1．
在AC上截取AE=AB=2，作EF⊥BC于F，如图，先计算出AC=2AB=4，BC=23，∠BAC=60°，则CE=2，再在Rt△CEF中计算出EF=1，FC=3，接着证明△ABD′≌△ADE得到DE=BE′，然后利用勾股定理得到DE2=DF2+EF2=(BD−3)2+1，然后根据二次函数的性质解决问题．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．构建△ADE与△AD′B全等是解决此题的关键．

18.【答案】解：(1)BD=CE，BD⊥CE，
理由：延长BD与EC交于点F，

在△ACE和△ADB中，AE=AD∠EAC=∠DABAC=AB，
∴△ACE≌△ADB(SAS)，
∴BD=CE，∠AEC=∠ADB，
∵∠ADB+∠ABD=90°
∴∠ABD+∠AEC=90°
∴∠BFE=90°，
∴BD⊥CE；
(2)成立，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
∵AB=AD∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE，
延长BD交AC于F，交CE于H.如图，

在△ABF与△HCF中，
∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC
∴∠CHF=∠BAF=90°
∴BD⊥CE．

【解析】(1)延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，即可解题；
(2)BD=CE，BD⊥CE.根据全等三角形的判定定理SAS推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线(延长BD交AC于F，交CE于H)BH构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE≌△ADB是解题的关键．

19.【答案】DE2=BD2+EC2

【解析】解：(1)线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2=DE2；
理由：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABD=∠ACE=45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB，
∴∠ABF=∠ACE=45°，FB=CE
∴∠FBD=∠ABF+∠ABD=90°旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，
故∠FAD=∠FAE−∠DAE=45°，
易证△AFD≌△AED(SAS)，
∴FD=DE，
在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2=DF2；
即：BD2+CE2=DE2．

(2)仿照(1)可证，△AEC≌△AFB，
∴BF=CE，△AFD≌△AED(SAS)，
∴FD=DE，
∵∠ADE=45°，
∴∠ADF=45°，故∠BDF=90°，
在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2=BD2+DF2，
∴CE2=BD2+DE2．
((1)将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，可证△AEC≌△AFB，故BF=CE，旋转角∠FAE=90°，又∠DAE=45°，故∠FAD=∠FAE−∠DAE=45°，易证△AFD≌△AED，故FD=DE，因为△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，所以∠ABC=∠FAB=45°，从而可得∠FAD=90°，在Rt△FBD中，由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式；
(2)方法同(1)，由∠ADE=45°可得∠ADF=45°，故∠BDF=90°，斜边BF=CE，直角边DF=DE，由勾股定理建立等量关系．
本题考查旋转的知识，三角形全等的判定方法和性质已经等边三角形的性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．利用全等来证明相等的线段是常用的方法之一．

20.【答案】(1)见解析(2)35   (3)(32,−1)

【解析】解：(1)旋转后对应的△A1B1C如图所示．
(2)平移后对应的△A2B2C2如图所示．平移的距离AA2=(−3)2+(2+4)2=35．

(3)连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为旋转中心，坐标为(32,−1)．
故答案为：35，(32,−1)．
(1)分别画出A，B的对应点A1，B1即可；
(2)分别画出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
(3)连接A1A2，B1B2交于点M，点M即为旋转中心．
本题考查作图--旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21.【答案】证明：∵线段BD绕点B顺时针旋转角α得到线段BE，
∴BD=BE，∠DBE=α，
∵∠ABC=α，
∴∠ABC=∠DBE，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°．
在△ABD与△CBE中，
AB=CB,∠ABD=∠CBE,BD=BE,
∴△ABD≌△CBE(SAS)
∴∠ADB=∠CEB=90°．
∴BE⊥CE．

【解析】由旋转的性质和已知条件易证△ABD≌△CBE(SAS)由全等三角形的性质可得∠ADB=∠CEB=90°，进而开证明BE⊥CE．
本题考查了旋转的性质以及全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的各种判定方法是证题的关键．

22.【答案】120°  90°  180°−α

【解析】解：(1)如图1，CA=CD，∠ACD=60°，
所以△ACD是等边三角形．
∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
所以△ECB是等边三角形．
∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE，
又∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACE=∠BCD．
∵AC=DC，CE=BC，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠EAC=∠BDC．
∠AFB是△ADF的外角．
∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°．
如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB，
∴△ACE≌△DCB．
∴∠AEC=∠DBC，
又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°，
∴∠EFD=90°．
∴∠AFB=90°．
如图3，∵∠ACD=∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE．
∴∠ACE=∠DCB．
∴∠CAE=∠CDB．
∴∠DFA=∠ACD．
∴∠AFB=180°−∠DFA=180°−∠ACD=180°−α．

(2)∠AFB=180°−α；
证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
即∠ACE=∠DCB．
在△ACE和△DCB中，
∵AC=DC∠ACE=∠DCBCE=CB，
∴△ACE≌△DCB(SAS)．
则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α．
∠AFB=180°−∠EFB=180°−α．
(1)如图1，首先证明△BCD≌△ECA，得出∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数．如图2，首先证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°.如图3，由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°−α．
(2)由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°−α．
本题考查了全等三角形的判定及其性质、三角形内角和定理等知识，本题还综合了旋转的知识点，是一道综合性比较强的题，要熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理．

23.【答案】52

【解析】解：(Ⅰ)将△ABC绕点B逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，如图所示；
(Ⅱ)在Rt△ABC中，∵BC=4，AC=3，
∴AB=BA′=42+32=5，
∴在Rt△ABA′中，AA′=52+52=52
故答案为52

(Ⅰ)利用旋转变换的性质，画出旋转后的三角形即可；
(Ⅱ)求出AB=BA′=5，再根据勾股定理求出AA′的长即可；
本题考查作图−旋转变换，勾股定理知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换性质，属于中考常考题型．

24.【答案】解：(1)AE=BD；AE⊥BD；
(2)结论：AE=BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB=∠ECD=90°，
∴∠ACE=∠BCD，
∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC=90°，∠AOC=∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH=90°，
∴∠OHB=90°，即AE⊥BD．
(3)①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE=CD，∠ECD=90°，CH⊥DE，
∴EH=DH，CH=12DE=5，
在Rt△ACH中，∵AC=13，CH=5，
∴AH=132−52=12，
∴AD=AH+DH=12+5=17．
②当射线AD在直线AC的下方时，作CH⊥AD于H．

同法可得：AH=12，故AD=AH−DH=12−5=7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．

【解析】
【分析】
本题考查几何变换综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)延长AE交BD于H.只要证明△ACE≌△BCD即可；
(2)结论不变．延长AE交BD于H，交BC于O.只要证明△ACE≌△BCD即可；
(3)分两种情形分别求解即可解决问题．
【解答】
解：(1)如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC=CB，∠ACE=∠BCD，CE=CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC=90°，∠AEC=∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH=90°，
∴∠EHB=90°，即AE⊥BD，
故答案为AE=BD，AE⊥BD．
(2)见答案；
(3)见答案．  
25.【答案】(1)SAS；△AFE；
(2)∠B+∠D=180°；
(3)猜想：DE2=BD2+EC2，
证明：连接DE′，根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，
∴△AEC≌△ABE′，
∴BE′=EC，AE′=AE，
∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，
在Rt△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，
即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，
即∠E′AD=45°，
在△AE′D和△AED中，
AE′=AE∠E′AD=∠EADAD=AD，
∴△AE′D≌△AED(SAS)，
∴DE=DE′，
∴DE2=BD2+EC2．

【解析】
【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、旋转变换的性质以及勾股定理及其逆定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用勾股定理的逆定理判断直角三角形是解题的关键．
(1)把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，再证明△AFG≌△AFE进而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；
(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF，与(1)的证法类同；
(3)根据△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△ABE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根据Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2．
【解答】
解：(1)∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案为SAS；△AFE；
(2)∠B+∠D=180°时，EF=BE+DF；
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∴∠BAE=∠DAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
∵∠ADC+∠B=180°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
在△AFE和△AFG中，
AE=AG∠EAF=∠GAFAF=AF，
∴△AFE≌△AFG(SAS)，
∴EF=FG，
即：EF=BE+DF，
故答案为∠B+∠D=180°；
(3)见答案．