初中数学9.3 平行四边形精练

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9.3平行四边形同步练习苏科版初中数学八年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. ▱中，，是对角线上不同的两点．下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是

A.  B.
C.  D.

2. 不能判定四边形为平行四边形的条件是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

3. 如图，是▱边延长线上一点，连接，，，交于点添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是

A.
B.
C.
D.
 

4. 平行四边形所具有的性质是

A. 对角线相等 B. 邻边互相垂直
C. 两组对边分别相等 D. 每条对角线平分一组对角

5. 如图，已知凸五边形的边长均相等，且，，则必定满足

A.
B.
C.
D. 以上情况均有可能
 

6. 如图，在▱中，平分，，，则的长是

A.
B.
C.
D.

7. 如图，在平行四边形中，，是的中点，以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，两弧相交于点，射线分别与，交于点，，若，，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在中，连接若，，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 如图，在平行四边形中，平分交边于点，若平行四边形的周长是，，则的长为

A.  B.  C.  D.

10. 下列说法不正确的是

A. 平行四边形两组对边分别平行
B. 平行四边形的对角线互相平分
C. 平行四边形的对角互补，邻角相等
D. 平行四边形的两组对边分别平行且相等

11. 在▱中，，则的度数是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，下列结论错误的是

A.
B.
C.
D.
 

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 如图，平行四边形中， ，、分别在和的延长线上，，， ，则的长是______．
    
     

14. 如图，在四边形中，对角线、相交于点，，，，，则四边形的面积为______．

15. 如图，在▱中，，连接，作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，且，则的长为          ．

16. 如图，点是的对称中心，，、是边上的点，且，、是边上的点，且，若，则__________．
17. 已知，在▱中，的平分线交边于点，若边被点分为和两部分，则▱的周长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 如图，四边形中，，点、分别在、上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
    求证：≌；
    连接，线段与是否互相平分？请说明理由．

19. 如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边已知，，垂足为，连接求证：
     

；

四边形是平行四边形；

．






 

20. 如图，中，点是对角线的中点，过点，与，分别相交于点，，过点，与，分别相交于点，，连接，，，．
     

  求证：四边形是平行四边形；

  如图，若，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中与四边形面积相等的所有平行四边形四边形除外．






 

21. 如图，在中，点、分别在、上，且求证：四边形是平行四边形．
    
    
    
    
    
    
     
22. 如图，在中，为的中点，点在上，在的延长线上，，连接，．
    
    如图，求证：四边形是平行四边形；
    如图，若，请直接写出图中与线段相等的所有线段．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知：如图，平行四边形的对角线、相交于点，过点的直线分别与、相交于点、．
     

求证：．






 

24. 如图，在▱中，对角线，相交于点，过点作直线，分别交，于点，．
    
    求证：；
    小明从图找到了一种将平行四边形面积平分的方法．图是一张纸片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，小明发现可以用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助小明设计三种不同的分割方案．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图，已知四边形是平行四边形，点，是对角线上的两点，且，连接，求证：且．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
连接与相交于，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断即可得解．
【解答】
解：如图，连接与相交于，

在▱中，，，
要使四边形为平行四边形，只需证明得到即可；
A.若，则，即，故本选项不符合题意；
B.若，则无法判断，故本选项符合题意；
C.能够利用“角角边”证明和全等，从而得到，故本选项不符合题意；
D.能够利用“角边角”证明和全等，从而得到，然后同，故本选项不符合题意；
故选：．

2.【答案】
 

【解析】解：、，，不能判定四边形为平行四边形，错误；
B、，，，，，四边形为平行四边形，正确；
C、，，四边形为平行四边形，正确；
D、，，，，，四边形为平行四边形，正确；
故选：．
根据平行四边形的判定定理进行判断．
此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定方法解答．
 

3.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，求得，，推出，于是得到四边形为平行四边形，故A正确；根据平行线的性质得到，根据全等三角形的性质得到，于是得到四边形为平行四边形，故B正确；根据平行线的性质得到，求得，求得，同理，，不能判定四边形为平行四边形；故C错误；根据平行线的性质得到，推出，于是得到四边形为平行四边形，故D正确．
【解答】

解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
，
，
为平行四边形，故A正确；
，
，
在与中，
，
≌，
，
，
四边形为平行四边形，故B正确；
，
，
，
，
，
同理，，
不能判定四边形为平行四边形；故C错误；
，
，
，
，
四边形为平行四边形，故D正确，
故选C．

4.【答案】
 

【解析】解：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，两组对边分别平行且相等．
故选：．
根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等，继而即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对角线互相平分，对边平行且相等；熟记平行四边形的性质是关键．
 

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查等腰三角形的性质有关知识，据，且的内角和为，得出，判定，由，推出四边形为平行四边形推出则，推出．
【解答】
证明：，
，同理
，
，
，，
，
，
，
，
四边形为平行四边形．
．
是等边三角形，
，
在中，，
．
故选A．  

6.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，根据平行线性质求出，根据角平分线定义求出，推出，推出，求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线定义，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出的长，注意：平行四边形的对边平行且相等，难度适中．
 

7.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，，
，
连接，，，，
以点为圆心，大于点到的距离为半径画弧，两弧相交于点，
，，
，
，
，
为中点，
为的中点，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
故选：．
根据已知作图和线段垂直平分线的判定求出，求出，求出为的中点，求出，根据勾股定理求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的中位线等知识点，能求出的长是解此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等腰直角三角形是解决问题的关键证出是等腰直角三角形，由勾股定理求出，即可得出的长．

【解答】

解：四边形是平行四边形，
，，，
，，
是等腰直角三角形，
．
故选C．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的概念，等腰三角形的判定，平行线的性质等，难度不大．
先由平行四边形得到  ，，，再根据平行线及角平分线得到，再由平行四边形的周长即可求出的值．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
  ，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长是，
，
得：，
，
，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：、平行四边形两组对边分别平行，说法正确，不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，说法正确，不符合题意；
C、平行四边形的对角相等，邻角互补，说法错误，符合题意；
D、平行四边形的两组对边分别平行且相等，说法正确，不符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质判断即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答．
 

11.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质解答即可．
本题考查了平行四边形的性质，是中考常见题型，比较简单．
 

12.【答案】
 

【解析】解：、平行四边形的对角线、相交于点，
，故此选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
，故此选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
，故此选项不符合题意；
D、当四边形是菱形时，，故此选项符合题意；
故选：．
根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握平行四边形的性质是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查平行四边形的性质和判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答根据平行四边形的判定和性质，解直角三角形可以求得的长，本题得以解决．
【解答】

解：四边形是平行四边形，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，，
，
，
故答案为．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由勾股定理得到由此可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求出即可得出结果．
【解答】
解在中，
，
．
，
，
，
四边形是平行四边形，

四边形的面积；
故答案为．  

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查平行四边形的性质与判定，直角三角形的性质，根据平行四边形的性质与判定可求解，根据，可求解，再利用直角三角形的性质可求解，进而可求解的长．
【解答】
解：四边形是平行四形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：如图，连结、、，
，，
，，
，．
点是▱的对称中心，
，
，
又，
．
故答案为：．
根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比得出与的面积之比，与的面积之比，再由点是▱的对称中心，根据平行四边形的性质可得，从而得出与之间的等量关系．
本题考查了中心对称，三角形的面积，平行四边形的性质，掌握同高的两个三角形面积之比等于底边之比是解题的关键．
 

17.【答案】或
 

【解析】解：在平行四边形中，，则．
平分，
，
，
，，
当，时，
平行四边形的周长为：．
当，时，
平行四边形的周长为：．
故答案为：或．
根据平分及可得出，，从而根据、的长可求出平行四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质，比较简单，根据题意判断出是解答本题的关键，同学们要学会将所学知识综合起来运用．
 

18.【答案】证明：，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌；
解：线段与互相平分，理由如下：
连接、，如图所示：
由得：≌，
，
，
四边形是平行四边形，
线段与互相平分．
 

【解析】由垂线的性质得出，，由平行线的性质和对顶角相等得出，由即可得出≌；
连接、，由全等三角形的性质得出，证出四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

19.【答案】证明：中，，
，
又是等边三角形，，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
是等边三角形，
，，

又，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
 

【解析】此题考查了平行四边形的性质和判定、三角形全等的性质和判定以及等边三角形的性质，首先利用等边三角形的性质证明全等三角形，然后利用全等三角形的性质和等边三角形的性质证明平行四边形．
首先中，由可以得到，又因为是等边三角形，，由此得到，并且，然后即可证明≌，再根据全等三角形的性质即可证明；
根据知道，而是等边三角形，所以，并且，而，由此得到，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形是平行四边形；
先求，由▱得，可以得，则．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
在与中
≌，
，
同理，
四边形是平行四边形；
解：与四边形面积相等的所有平行四边形有，，，；
四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形，，，为平行四边形，
过点，过点，
，，
，，，，它们面积的面积，
与四边形面积相等的所有平行四边形有，，，．
 

【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
由四边形是平行四边形，得到，根据平行四边形的性质得到，证出≌，得到，同理，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论；
根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可得到结论．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
 

【解析】此题考查了平行四边形的性质与判定，注意熟练掌握定理与性质是解决问题的关键．
由四边形是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得，，又由，即可证得，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形是平行四边形．
 

22.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
，
为的中点，
，
，且，
四边形是平行四边形；
解：与线段相等的所有线段为、、、；理由如下：
由得：，，
，
．
 

【解析】先证≌，得，再证，即可得出结论；
由得：，，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

23.【答案】证明：四边形是平行四边形
，

在与中

≌

 

【解析】本题主要考查了全等三角形以及平行四边形的知识根据平行四边形的性质：对角线互相平分和对边互相平行，可得，，又由平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可得，再由对顶角相等，进而证得≌，从而得出．
 

24.【答案】证明：如图，四边形是平行四边形，，，，在和中，≌，
；
如图所示，，所示：
 

【解析】略
 

25.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，，
≌，
，，
，
，
且．
 

【解析】由平行四边形的性质得，由已知条件和三角形全等的判定方法即可证明≌，得出，进而可得，得出即可．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质以及平行线的判定方法；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．