苏科版八年级下册10.5 分式方程达标测试

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10.5分式方程同步练习苏科版初中数学八年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 对于非零的两个实数、，规定，若，则的值为

A.  B.  C.  D.

2. 小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本两人的钱恰好用完，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为元，根据题意可列出的方程为

A.  B.  C.  D.

3. 在解方程时，设，则原方程可转化为，解得，，所以或，可得，，我们把这种解方程的方法叫做换元法．对于方程：，我们也可以类似用换元法设，将原方程转化为一元二次方程，再进一步解得结果，那么换元得到的一元二次方程式是

A.  B.
C.  D.

4. 下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

5. 某服装加工厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，设每天应多做加工件才能按时交货，则应满足的方程为

A.  B.
C.  D.

6. 方程的解是

A.  B.
C. 或 D. 无解

7. 锦州、沈阳两城市相距千米，高速铁路开通后，在两城市之间的一列高铁列车的平均速度是一列普通列车平均速度的倍，从而使得锦州到沈阳的时间缩短了小时分钟，试确定这列高铁列车的平均速度？在这个问题中，设这列高铁列车的平均速度为每小时千米，根据题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

8. 解分式方程，去分母得

A.  B.
C.  D.

9. 关于的分式方程有增根，则的值为

A.  B.  C.  D.

10. 某厂接到加工件衣服的订单，预计每天做件，正好按时完成，后因客户要求提前天交货，每天多做件才能按时交货，则满足的方程为

A.  B.
C.  D.

11. 对于非零实数、，规定若，则的值为   

A.  B.  C.  D.

12. 若关于的方程无解，则的值为

A. 或 B. 或
C. 或或 D. 或

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 若关于的分式方程无解，则的值为__________．
14. 为了改善生态环境，防止水土流失，红旗村计划在荒坡上种树棵．由于青年志愿者支援，实际每天种树的棵数是原计划的倍，结果提前天完成任务，则原计划每天种树的棵数是______．
15. 定义：，则方程的解为______．
16. 按照解分式方程的一般步骤解关于的方程出现增根，则______
17. 若关于的分式方程无解，则_______________．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了元，乙种商品共用了元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．
    求甲、乙两种商品的每件进价；
    该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为元，乙种商品的销售单价为元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？
    
    
    
    
    
    
     
19. 近年来，我市大力发展城市快速交通，小王开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程的普通道路，路线包含快速通道，全程，走路线比走路线平均速度提高，时间节省，求走路线的平均速度．
    
    
    
    
    
    
     
20. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手防疫，共渡难关”捐款活动，甲公司共捐款元，乙公司共捐款元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：
    
    甲、乙两公司各有多少人？
    现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱元，种防疫物资每箱元．若购买种防疫物资不少于箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？请设计出来注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为保障新冠病毒疫苗接种需求，某生物科技公司开启“加速”模式，生产效率比原先提高了，现在生产万剂疫苗所用的时间比原先生产万剂疫苗所用的时间少天问原先每天生产多少万剂疫苗？
    
    
    
    
    
    
     
22. 端午节是我国的传统节日，人们素有吃粽子的习俗．某商场在端午节来临之际用元购进、两种粽子个，购买种粽子与购买种粽子的费用相同．已知种粽子的单价是种粽子单价的倍．
    求、两种粽子的单价各是多少？
    若计划用不超过元的资金再次购进、两种粽子共个，已知、两种粽子的进价不变．求种粽子最多能购进多少个？
    
    
    
    
    
    
     
23. 随着科技的迅猛发展，高铁已成为我国建造业、制造业的一张名片，享誉全球，近年来，我国高铁科研团队继续深入研究、革新技术，实现了高速列车的速度再提高，这样，使高速列车从地到地的运行时间缩短了小时，已知、两地之间的距离是，问高速列车在这次提速前和提速后的速度分别是多少？

24. 现有、两种商品，已知买一件商品要比买一件商品少元，用元全部购买商品的数量与用元全部购买商品的数量相同．
    求、两种商品每件各是多少元？
    如果小亮准备购买、两种商品共件，总费用不超过元，且不低于元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
    
    
    
    
    
    
     
25. 某经销商月份用元购进一批恤衫售完后，月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，但每件进价涨了元．
    月份进了这批恤衫多少件？
    月份，经销商将这批恤衫平均分给甲、乙两家分店销售，每件标价元．甲店按标价卖出件以后，剩余的按标价八折全部售出；乙店同样按标价卖出件，然后将件按标价九折售出，再将剩余的按标价七折全部售出，结果利润与甲店相同．
    用含的代数式表示．
    已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，请你求出乙店利润的最大值．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．先根据规定运算把方程转化为一般形式，然后把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．
【解答】
解：因为，所以，
故有，

所以，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
故选A．

2.【答案】
 

【解析】解：设软面笔记本每本售价为元，
根据题意可列出的方程为：．
故选：．
直接利用小明用元买售价相同的软面笔记本，小丽用元买售价相同的硬面笔记本，数量相同得出等式求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．
 

3.【答案】
 

【解析】解：
，
，
设，则原方程可化为：，即，
故选：．
设，则原方程可化为：，即．
本题主要考查换元法解方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．
去分母根据的是等式的性质，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．
【解答】
解：方程的两边同乘，得
．
故选：．  

5.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前天”找到等量关系，然后列出方程．
【解答】
解：因客户的要求每天的工作效率应该为：件，所用的时间为：，
根据“因客户要求提前天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：，
故选D．  

6.【答案】
 

【解析】解：去分母得：，
解得：，
经检验是分式方程的解，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

7.【答案】
 

【解析】解：设这列高铁列车的平均速度为每小时千米，则普通列车的平均速度是千米时，
依题意，得，
故选：．
设这列高铁列车的平均速度为每小时千米，则普通列车的平均速度是千米时，根据题意可得，乘坐高铁行驶千米比乘坐普通列车行驶千米少小时分，据此列方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题案的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
 

8.【答案】
 

【解析】解：去分母得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母
解得，
当时，
解得，
所以的值为．
故选C．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查由实际问题抽象出分式方程的问题，这道题的等量关系比较明确，直接分析题目中的重点语句即可得知，再利用等量关系列出方程．解答本题的关键是要弄清因客户要求工作量提速后的工作效率和工作时间，然后根据题目给出的关键语“提前天”找到等量关系，然后列出方程．

【解答】
解：因客户的要求每天的工作效率应该为：件，所用的时间为：，根据“因客户要求提前天交货”，用原有完成时间减去提前完成时间，
可以列出方程：
．
故选：．

11.【答案】
 

【解析】解：根据题意得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
经检验，是分式方程的解．
故选：．
根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
 

12.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是分式方程的解，解分式方程的有关知识，掌握分式方程无解的条件是解题的关键．先去分母得到关于的整式方程，然后根据分式方程无解得到关于的方程，从而求得的值．
【解答】
解：去分母得：．
整理得：．
当时，解得：，此时分式方程无解；
当时，．
当时，解得：，此时分式方程无解；
当时，，解得：，此时分式方程无解．
故选：．  

13.【答案】或
 

【解析】

【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解或由分式方程无解确定出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
【解答】

解：方程两边都乘以，得；，

若此一次方程无解，则，
若此一次方程有解，则，

分式方程无解，

，

解得，

故答案为或．

14.【答案】棵
 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．设原计划每天种树棵，由题意得等量关系：原计划所用天数实际所用天数，根据等量关系，列出方程，再解即可．
【解答】

解：设原计划每天种树棵，由题意得：
，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
故答案为棵．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了解分式方程和新定义的理解，熟练掌握解分式方程的步骤是关键．
根据新定义列分式方程可得结论．
【解答】
解：由，
可得，
化简得，
解得，
经检验：是原方程的解，
故答案为：．  

16.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
分式方程去分母转化为整式方程，把分式方程的增根代入整式方程计算即可求出的值．
【解答】

解：去分母得：，
根据题意得：分式方程的增根为，
把代入整式方程得：，
解得：，
故答案为：
 

17.【答案】或
 

【解析】

【分析】

本题考查了分式方程的解，解分式方程，应注意分式方程无解有两种情况：一是去分母后所得整式方程无解二是去分母后所得整式方程的解使最简公分母为把分式方程去分母，整理得，根据方程无解情况可以得出：，求出；当及时，得出，即可得出结果．

【解答】

解：去分母得，整理得．
原方程无解有两种情况：
去分母后所得整式方程无解，即，解得
去分母后所得整式方程有解，但所得解使最简公分母为，即解为增根，
所以有，
当时，此方程无解，
当时，经检验，是方程的解．
综上所述，或．
故答案为或．

18.【答案】解：设甲种商品的每件进价为元，则乙种商品的每件进价为元．
根据题意，得，，
解得．
经检验，是原方程的解．
答：甲种商品的每件进价为元，乙种商品的每件进价为元；

甲乙两种商品的销售量为件．
设甲种商品按原销售单价销售件，则
，
解得．
答：甲种商品按原销售单价至少销售件．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用．本题属于商品销售中的利润问题，对于此类问题，隐含着一个等量关系：利润售价进价．
设甲种商品的每件进价为元，乙种商品的每件进价为元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了元，乙种商品共用了元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；
设甲种商品按原销售单价销售件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于元”列出不等式．
 

19.【答案】解：设走路线的平均速度为，则走路线的平均速度为，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：走路线的平均速度为．
 

【解析】设走路线的平均速度为，则走路线的平均速度为，根据时间路程速度结合走路线比走路线少用，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

20.【答案】解：设甲公司有人，则乙公司有人，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：甲公司有人，乙公司有人．
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，
依题意，得：，

又，且，均为正整数，
，，
有种购买方案，方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资；方案：购买箱种防疫物资，箱种防疫物资．
 

【解析】设甲公司有人，则乙公司有人，根据乙公司的人均捐款数是甲公司的倍，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，再结合且，均为正整数，即可得出各购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
 

21.【答案】解：设原先每天生产万剂疫苗，
由题意可得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，
原先每天生产万剂疫苗．
 

【解析】设原先每天生产万剂疫苗，根据现在生产万剂疫苗所用的时间比原先生产万剂疫苗所用的时间少天可得方程，解之即可．
此题主要考查了分式方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
 

22.【答案】解：设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，两种粽子各自的总价为元
根据题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种粽子单价为元个，种粽子单价为元个．
设购进种粽子个，则购进种粽子个，
依题意，得：，
解得：．
答：种粽子最多能购进个．
 

【解析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
设种粽子单价为元个，则种粽子单价为元个，根据数量总价单价结合用元购进、两种粽子个，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进种粽子个，则购进种粽子个，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
 

23.【答案】解：设设提速前的列车速度为，则它提速后的速度为，根据题意得：
．
解之得：．
经检验：是原方程的解，且符合题意．
．
答：高速列车在这次提速前的速度是，提速后的速度是．
 

【解析】提速前后路程没变，关键描述语为：“高速列车从地到地的运行时间缩短了小时”；等量关系为：提速前的列车所用时间提速后的列车所用时间．
本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：设商品每件元，则商品每件元，
根据题意，得：，
经检验：是原方程的解，
所以商品每件元，则商品每件元．
设购买商品件，则购买商品共件，
列不等式组：，
解得：，
取整数：，，．
有三种方案：
商品件，则购买商品件；费用：，
商品件，则购买商品件；费用：，
商品件，则购买商品件；费用：，
所以方案费用最低．
 

【解析】设商品每件元，则商品每件元，根据“元全部购买商品的数量与用元全部购买商品的数量相同”列方程求解可得；
设购买商品件，则购买商品共件，列不等式组：，解之求出的整数解，从而得出答案．
本题主要考查分式方程与不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式组．
 

25.【答案】解：设月份购进件恤衫，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：月份进了这批恤衫件；
每件恤衫的进价为：元，


化简，得；
设乙店的利润为元，

，
乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，
，
即，
解得，，
当时，取得最大值，此时，
答：乙店利润的最大值是元．
 

【解析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
根据月份用元购进一批相同的恤衫，数量是月份的倍，可以得到相应的分式方程，从而可以求得月份进了这批恤衫多少件；
根据甲乙两店的利润相同，可以得到关于、的方程，然后化简，即可用含的代数式表示；
根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量，可以得到的取值范围，从而可以求得乙店利润的最大值．