苏科版九年级下册7.3 特殊角的三角函数课堂检测

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7.3特殊角的三角函数同步练习苏科版初中数学九年级下册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列选项错误的是

A.  B.
C.  D.

2. 在中，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

3. 的值为

A.  B.  C.  D.

4. 的值等于

A.  B.  C.  D.

5. 已知为锐角，且，则等于

A.  B.  C.  D.

6. 在中，，，，则下列结论正确的是

A.  B.  C.  D.

7. 在中，若，则一定是     

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形

8. 的值是     

A.  B.  C.  D.

9. 如图，是的直径，，是上的三等分点，且，则等于     

A.
B.
C.
D.

10. 规定：，，，给出以下四个结论：；；；其中正确的结论的个数为

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 如图，是的弦，，点是上的一个动点，且，若点、分别是、的中点，则的最大值是   

A.
B.
C.
D.

12. 如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为   

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13. 若，，则______．
14. 如图，四边形与四边形都是菱形，点，在上，已知，，则          ．

15. 如图，边长为的菱形中，，点是的中点，、是对角线上的两个动点，且，则线段的最小值为________．
     

16. 计算：______．
17. 我们定义：圆内接正边形的最短对角线与最长对角线的比值称为这个正多边形的“特征值”，记为则是______．

三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）

18. 先化简，再求代数式的值，其中．
    
    
    
    
    
    
     
19. 计算：；
    先化简，再求值：，其中．
    
    
    
    
    
    
     
20. 计算

；
 ．






 

21. 解下列方程：    

先化简，再求值：，其中






 

22. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在四边形中，，，，交于点，过点作，垂足为，且．
    求证：四边形是菱形；
    若，求的面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 计算：
    如图，在正五边形中，与相交于点，若，求．
     

25. 计算：．
    解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：．
分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，分母有理化以及去括号法则逐一判断即可．
本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，分母有理化以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
 

2.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的是非负数的性质的应用、特殊角的三角函数值的计算和三角形内角和定理的应用，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
根据非负数的性质列出关系式，根据特殊角的三角函数值求出、的度数，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】
解：由题意得，，，
即，，
解得，，，
，
故选：．  

3.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
直接根据特殊角的函数值写出答案即可．
本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的函数值，难度较小．
 

4.【答案】
 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值可得答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数，关键是掌握、、角的各种三角函数值．
 

5.【答案】
 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据特殊角的三角函数值可得，进而可得的值．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，关键是掌握、、角的各种三角函数值．
 

6.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
则、，此选项错误；
B、，此选项正确；
C、，此选项错误；
D、，此选项错误；
故选：．
先根据勾股定理求出，再根据三角函数的定义分别求解可得．
本题主要考查了勾股定理，特殊锐角三角函数值，解题的关键是掌握勾股定理和三角函数的定义．
 

7.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得、的值，根据直角三角形的判定，可得答案．
【解答】
解：由，，得
，．
解得，，
则一定是等腰直角三角形，
故选D．  

8.【答案】
 

【解析】

【分析】
此题考查实数的运算，熟记特殊角三角函数值是解题的关键，把特殊角三角函数值代入，进行运算．
【解答】
原式．
故选B．  

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题主要考查圆心角，弦，弧的关系，等边三角形的判定与性质，圆周角定理等知识的综合运用．
由圆心角，弦，弧的关系及圆周角定理可得，，，通过证明为等边三角形，即可求，进而可求解．
【解答】
解：，是上的三等分点，
，
是的直径，
，
又，，
，，
，
为等边三角形，
，
，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式．
根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论．
【解答】
解：，故此结论正确
，故此结论正确
，故此结论正确

，故此结论错误．
所以正确的结论有个，
故选C．  

11.【答案】
 

【解析】解：点、分别是、的中点，
，
当取得最大值时，就取得最大值，
当是直径时，的值最大，
连接并延长交于点，连接，
是的直径，
．

，，
，
，
．
故选A．

12.【答案】
 

【解析】解：如图，连接，
，
，
，
四边形内接于，
，
是的直径，
，
，故选B．

13.【答案】
 

【解析】解：，，
，
则，
故答案为：．
由、知，据此可得．
本题主要考查特殊锐角三角函数值，解题的关键是熟记特殊锐角的三角函数值．
 

14.【答案】
 

【解析】

【分析】此题主要考查了菱形的性质以及锐角三角函数关系等知识，表示出，的长是解题关键利用菱形的性质对角线平分对角，结合勾股定理以及锐角三角函数关系表示出，的长，进而求出即可．
【解答】

解：如图，过点作于点，

四边形与四边形都是菱形，，，

，，
．

不妨设，

则在等腰中，
在中，．

．
．

15.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值等知识点．
取的中点，连接，延长交于点，根据菱形的性质可得，为等边三角形，设，则，根据为的中点，可求得，连接，可得四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证得，进而可知当、、三点共线时，取最小值，延长，过点作的延长线，根据勾股定理求出的长，即可得出的最小值．
【解答】
解：如图，取的中点，连接，延长交于点，则，

易得、分别为、的中位线，
四边形为菱形，
，
，为等边三角形，
，
设，则，
为的中点，
，
，
，
连接，可得四边形是平行四边形，
，
，
在和中，

，
，
，
当、、三点共线时，取最小值，
延长，过点作的延长线，
，

，，，
，
的最小值为．
故答案为．  

16.【答案】
 

【解析】解：原式，
故答案为．
根据绝对值的性质、零次幂的性质、特殊角的三角函数值计算即可；
本题考查绝对值的性质、零次幂的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握基本知识，是解决问题的关键．
 

17.【答案】
 

【解析】解：如图，正六边形中，对角线、交于点，连接．

易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
故答案为．
如图，正六边形中，对角线、交于点，连接易知是正六边形最长的对角线，是正六边形的最短的对角线，只要证明是直角三角形即可解决问题．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
 

18.【答案】解：原式，
当时，原式．
 

【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

；

，

，
当时，原式．
 

【解析】先根据绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
本题考查了整式的混合运算与求值，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，实数的混合运算等知识点，能正确运用实数的运算法则和整式的运算法则进行计算或化简是解此题的关键，注意运算顺序．
 

20.【答案】解：






 

【解析】本题主要考查了零指数幂，特殊锐角三角函数值，绝对值的性质，最简二次根式熟练掌握零指数幂，特殊锐角三角函数值和绝对值的性质，最简二次根式的定义是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值的性质、特殊的锐角三角函数值来答题；
根据零指数幂，二次根式的化简、特殊锐角三角函数值来答题．
 

21.【答案】解：

，

，；

，

，

原式．

【解析】本题主要考查了解一元二次方程和分式的化简求值，特殊角的三角函数值，负指数幂和零指数幂公式，关键是熟练掌握一元二次方程的解法和分式的混合运算．
先移项，然后利用因式分解法解方程可得一元二次方程的解．
先利用特殊角的三角函数值，负指数幂公式，零指数幂公式计算得出的值，然后利用分式的混合运算进行化简，最后代入计算可得结果．
 

22.【答案】解：原式

．
原式

．
 

【解析】根据绝对值的意义，乘方的意义以及特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．
根据分式的加减运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算以及实数的运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及绝对值的意义，乘方的意义和特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．
 

23.【答案】证明：，
，
，，
是的平分线，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形；
解：由知，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
 

【解析】根据已知条件证得是的平分线，得到，进而证得，得到，根据平行四边形的判定证得四边形是平行四边形，再证得，可得四边形是菱形；
根据平行线的性质证得，进而推出，由三角函数的定义求出，根据三角形的面积公式即可求出的面积．
本题主要考查了菱形的判定和性质，三角形的面积公式，角平分线的判定，由角平分线的性质结合已知条件推出是解决问题的关键．
 

24.【答案】解：原式
在正五边形中，，，
，
，
，
，，
，，设，
，，
∽，
，
，
，
或舍弃，
．
 

【解析】根据负指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质计算即可．
首先证明，，设，利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题．
本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，负指数幂，零指数幂，绝对值等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

25.【答案】解：原式

；
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将解集表示在数轴上如下：

 

【解析】先计算负整数指数幂、代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂，再计算乘法，最后计算加减即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．