初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形一课一练
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7.5解直角三角形同步练习苏科版初中数学九年级下册
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，在网格中，小正方形的边长均为，点、、都在格点上，则的正弦值是
A.
B.
C.
D.
- 如图，在中，，，，，点在第二象限，与轴交于点，若轴平分，则点的坐标不能表示为
A.
B.
C.
D.
- 直线与轴相交，所成的锐角的正切值为，则的值为
A. B. C. D. 无法确定
- 如图，内接于，为上一点，、分别为、中点．若半径为，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 如图，点、、在半径为的上，当时，锐角的正弦值为
A.
B.
C.
D.
- 在中，，若，，则斜边上的高等于
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，于，设，则的值为
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是
A.
B.
C.
D.
- 在中，，若是上一点，且，则的值为
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，则等于
A. B. C. D.
- 如图，在中，，，，则的长是
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
- 如图，中，是的中点，：：：：，则______．
- 如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是______．
|
- 如图，在中，，，则的值为______．
|
- 如图所示的网格是正方形网格，则与的大小关系是______．
|
- 如图，在中，，，，则的长为______．
三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）
- 如图，已知中，，，求的面积．
- 如图，已知中，，
利用直尺和圆规作线段的垂直平分线，交于点，交于点保留作图痕迹，不写作法
在所作的图形中，求．
- 如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
求证：；
求证：为的切线；
若的半径为，，求的长．
|
- 已知：如图，在菱形中，，垂足为，对角线，求：
边的长；
的正弦值．
- 如图，是的角平分线，以点为圆心，为半径作交于点，当为切线时．
求证：是的切线；
若，，求图中阴影部分面积．结果保留和根号
|
- 如图，，切分别于点，，交于点，连接并延长交于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．
- 如图，是的直径，点是上一点，点是的中点，过点作交延长线于点．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
- 如图，在中，，平分交于点，，，求的长．
|
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：过点作于点，过点作于点，则，，如图所示．
，．
，即，
，
．
故选：．
过点作于点，过点作于点，则，，利用勾股定理可求出，的长，利用面积法可求出的长，再利用正弦的定义可求出的正弦值．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出，的长度是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：作轴于，交于．
，
，，
，，
∽，
，
，，
，
由题意可证∽，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
作轴于，交于由∽，推出，推出，，推出，由题意可证∽，可得，推出，推出，可得，因为，推出，，可得，由此即可判断；
本题考查解直角三角形、坐标与图形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
3.【答案】
【解析】解：由直线的解析式可知直线与轴的交点为，与轴的交点为，
直线与轴相交所成锐角的正切值为，
即，
解得．
故选：．
首先确定直线与轴和轴的交点，然后利用直线与轴相交所成锐角的正切值为这一条件求出的值．
本题考查了一次图象上点的坐标特征，解直角三角形等，求得直线与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：如图，作的直径，连接，
则，，
、分别为、中点，
，
半径为，
，
，
，
故选：．
作的直径，连接，则，，由、分别为、中点以及半径为，可得．
本题考查圆周角定理，锐角三角函数的定义，三角形中位线定理．解题的关键是添加圆的直径把转化为．
5.【答案】
【解析】解：过点作直径，连接，
，
，，
，
故选：．
过点作直径，连接，可得出，则，答案得出．
本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：如图所示，，即为斜边上的高，
在中，，，，
，即，
根据勾股定理得：，
，
，
故选：．
如图所示，，即为斜边上的高，利用锐角三角函数定义求出的长，利用勾股定理求出的长，利用面积法求出即可．
此题属于解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出是解题的关键．
根据勾股定理得到，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】
解：，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长是解题的关键．
过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值．
【解答】
解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，
，
在中，，，
，
．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：取格点，，连接，如图，
，
．
，，
在中，．
故选：．
取格点，，连接，可得，利用勾股定理求得线段，，依据余弦的定义可得结论．
本题主要考查了解直角三角形．利用网格的特点巧妙构造直角三角形是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：过点作于点，
，，
，
在中，，
设，则，
，，
，
，
，，
，，
，
设，，
根据勾股定理得，，
解得：，
，
，
．
故选：．
过点作于点，由，设，则，在，，得，表示出，，，由，设，，根据勾股定理得，，解得：，得，再求出，即可求解．
本题考查了锐角三角函数的综合运用，勾股定理，解题关键是构造直角三角形，表示出相关线段的长．
11.【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形，关键是掌握解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，利用勾股定理求得，再利用锐角三角函数的定义即可求得答案．
【解答】
解：因为 ，，，
所以所以 ．
故选A．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．
根据及特殊角的三角函数值解题即可．
【解答】
解：在中，，，，，即
．
故选D．
13.【答案】
【解析】解：延长到，使，连接，过点作，垂足为，
是的中点，
，
又，，
≌，
，
：：：：，
设，则，
，
在中，，
，即，
故答案为：．
利用“中线倍长法”构造全等三角形，进而得出等腰三角形，再通过作等腰三角形的高，依据锐角三角函数可求出答案．
本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质以及锐角三角函数等知识，理解直角三角形的边角关系是正确计算的前提．
14.【答案】
【解析】解：在中，，，，
，，，
绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
，
图中阴影部分的面积是：，
故答案为：．
由图可知，阴影部分的面积扇形的面积的面积，然后根据题目中的条件，可以计算出、、的长，从而可以解答本题．
本题考查扇形面积的计算、旋转的性质、解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，如图所示．
在中，，
；
在中，，，
，
．
故答案为：．
过点作，垂足为，在中可求出，的长，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用正弦的定义可求出的值．
本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出，的长是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：如图，连接、，过作于．
，
，
．
在中，，
在中，，
．
故答案为：．
作辅助线，构建三角形及高线，利用面积法求出高线，再分别求出、的正弦值即可判断．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积，作辅助线构建直角三角形，从而利用面积法求出高线的值是解题的关键．
17.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．过作垂直于，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【解答】
解：过作，
在中，，，
，
在中，，
，即，
根据勾股定理得：，
故答案为．
18.【答案】解：作于点，
在中，，
，，
在中，，
，
，
的面积．
【解析】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
作于点，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
19.【答案】解：如图，为所作；
垂直平分，
，，
在中，，
，
．
【解析】利用基本作图作垂直平分；
根据线段垂直平分线的性质得到，，再利用三角形函数求出，然后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线也考查了解直角三角形．
20.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，又，
；
证明：如图，连接，
，，
是的中位线，
，又，
，
为的切线；
解：，
，
的半径为，
，
，
，
，
，
．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据线段垂直平分线的性质证明；
连接，根据三角形中位线定理得到，得到，证明结论；
解直角三角形求得，进而根据勾股定理求得、，据正弦的定义计算即可求得．
本题考查的是圆周角定理、切线的判定定理以及三角形中位线定理，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键．
21.【答案】解：连接，与相交于点，
四边形是菱形，
，，
中，，
，
；
，
，
，
，
，
．
【解析】首先连接，与相交于点，由四边形是菱形，可得，，又由，可求得的长，然后由勾股定理求得边的长；
由，利用，即可求得的长，继而求得的正弦值．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
22.【答案】证明：过作于，
为切线，
，
是的角平分线，
，
是的切线；
中，，，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】过作于，根据角平分线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论；
由得，，可得，，根据即可得到结论．
本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”也考查了扇形面积公式．
23.【答案】证明：切于点，
，
，
，
；
解：过点作于点，连接，
设，
，
，
由勾股定理得：，
，切分别于点，，
，
，，，
知四边形为矩形，
，，
，
在中，，即，
解得：，
．
【解析】根据切线的性质得到，根据，得到，根据垂径定理证明结论；
过点作于点，连接，根据正切的定义用表示出，根据勾股定理计算求出，得到答案．
本题考查的是切线的性质、垂径定理、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
24.【答案】证明：连接，连接交于点，
是的直径，
，
，
，
，
点是的中点，
，
，
又为半径，
是的切线；
解：由可知，
四边形为矩形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
的半径为．
【解析】连接，连接交于点，证明，由垂径定理得出，得出，由切线的判定可得出答案；
证出，设，则，求出，则可得出答案．
本题考查了切线的判定与性质，矩形的判定与性质，平行线的性质，垂径定理，圆周角定理，三角函数定义等知识；熟练掌握切线的判定和垂径定理是解题的关键．
25.【答案】解：如图，作于．
在中，，，，
，
．
平分交于点，，于，
，
．
在中，，，，
，
，
．
【解析】作于，解，求出，根据角平分线的性质得出，那么再解，求出，，然后根据勾股定理得到．
本题考查了解直角三角形，角平分线的性质，勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形求出是解题的关键．
苏科版九年级下册7.5 解直角三角形精品随堂练习题： 这是一份苏科版九年级下册7.5 解直角三角形精品随堂练习题，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形课时训练： 这是一份初中数学苏科版九年级下册7.5 解直角三角形课时训练，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中苏科版第7章 锐角函数7.5 解直角三角形随堂练习题： 这是一份初中苏科版第7章 锐角函数7.5 解直角三角形随堂练习题，共1页。
