2021年广西壮族自治区南宁市九年级上学期数学期中考试试题含答案

这是一份2021年广西壮族自治区南宁市九年级上学期数学期中考试试题含答案，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 九年级上学期数学期中考试试卷
一、单项选择题
1.以下列图形中，成中心对称图形的是〔  〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.用配方法解方程 时，配方后所得的方程为〔   〕
A.                  B.                  C.                  D. 
3.今年新型冠状病毒肆虐，它的直径为 ，那么 的原数是〔  〕
A. 0.0000125                   B. 0.00000125                   C. 0.000000125                   D. 0.0000000125
4.一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元，设两次降价的百分率都为x，那么x满足等式〔  〕
A.               B.               C.               D. 
5.方程x2+4x+4＝0的根的情况是〔   〕
A. 有两个不相等的实数根           B. 有两个相等的实数根           C. 有一个实数根           D. 没有实数根
6.假设m是方程 的根，那么 的值为〔   〕
A. 0                                           B. 1                                           C. -1                                           D. 2
7.抛物线y＝x2﹣4x+2不经过〔   〕
A. 第一象限                           B. 第二象限                           C. 第三象限                           D. 第四象限
8.如图，线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，以下结论错误的选项是〔   〕

A. AB＝A'B'                     B. ∠AOA'＝∠BOB'                     C. OB＝OB'                     D. ∠AOB'＝100°
9.函数y=﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是〔   〕
A. y=﹣2〔x﹣1〕2+2      B. y=﹣2〔x﹣1〕2﹣2      C. y=﹣2〔x+1〕2+2      D. y=﹣2〔x+1〕2﹣2
10.对于抛物线y＝〔x﹣1〕2+2的描述正确的选项是〔   〕
A. 开口向下                B. 顶点坐标为〔﹣1，2〕                C. 有最大值为2                D. 对称轴为x＝1
11.如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边AC上时，连接AD，假设∠ACB=30°，那么∠DAC的度数是(   )

A.                                        B.                                        C.                                        D. 
12.如图，二次函数 的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OC＝2OB那么以下结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的结论有〔   〕

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
二、填空题
13.写出有一个根为1的一元二次方程是      .
14.平面直角坐标系中，点 关于原点O的对称点的坐标是      .
15.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于〔2，0〕，〔6，0〕两点，那么它的对称轴为________.

16.如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABC绕着点A按逆时针方向旋转一个角度后，得到△ACD，那么图中的旋转角等于________度

17.把二次函数 的图象绕原点旋转180°后得到的图象解析式为       ．

18.如图抛物线 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，假设点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，连接DE，DF，那么DE+DF的最小值为      .

三、解答题
19.计算： .
20.解方程：
21.如图，正方形ABCD ， 点E ， F分别在AD ， CD上，且DE＝CF ， AF与BE相交于点G ．

〔1〕求证：BE＝AF；
〔2〕假设AB＝4，DE＝1，求AG的长．
22.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A〔1，1〕，B〔4，1〕，C〔3，3〕.

〔 1 〕请画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1；
〔 2 〕将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB2C2 ， 请画出旋转后的△AB2C2；
〔 3 〕在图中找到一点D，使得A、B、C、D四点围成一个以AC、BC为邻边的平行四边形，请画出这个平行四边形，并写出点D的坐标.
23.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为30000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增，为满足市场需求，厂决定从2月份起扩大产量，3月份平均日产量到达36300个.
〔1〕求口罩日产量的月平均增长率；
〔2〕按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？
24.某厂生产一种玩具，本钱价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y〔件〕与销售单价x〔元〕存在一次函数关系 .
〔1〕销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？
〔2〕假设物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？
25.〔探索发现〕如图①，四边形ABCD是正方形，M，N分别在边CD、BC上，且 ，我们把这种模型称为“半角模型〞，在解决“半角模型〞问题时，旋转是一种常用的方法.如图①，将 绕点A顺时针旋转 ，点D与点B重合，得到 ，连接AM、AN、MN.

〔1〕试判断DM，BN，MN之间的数量关系，并写出证明过程.
〔2〕如图②，点M、N分别在正方形ABCD的边BC、CD的延长线上， ，连接MN，请写出MN、DM、BN之间的数量关系，并写出证明过程.
〔3〕如图③，在四边形ABCD中，AB=AD， ， ，点N，M分别在边BC，CD上， ，请直接写出线段BN，DM，MN之间的数量关系.
26.如图，抛物线 交于x轴于 ，B两点，与 轴交于点 ，连接AC、BC，M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q.
 
〔1〕求抛物线的解析式.
〔2〕过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点坐标为 ，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
〔3〕试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，假设存在，请求出此时点Q的坐标；假设不存在.请说明理由.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【答案】 B
【解析】【解答】解：A、 不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形，故符合题意；
C、 不是中心对称图形，故不符合题意；
D、 不是中心对称图形，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据定义并结合图形即可判断求解.
2.【答案】 D
【解析】【解答】根据配方的正确结果作出判断：
。
故答案为：D。
【分析】先将常数项移到等号右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后左边写成完全平方式即可.
3.【答案】 C
【解析】【解答】 .
故答案为：C.
【分析】先将10-7变为小数，然后乘以1.25即可.
4.【答案】 C
【解析】【解答】第一次降价后的价格： 元；
第二次降价后的价格： 元；
由题意：两次降价后的价格为16元，
所以 .
故答案为：C.
【分析】首先分别表示出第一次、第二次减价后的价格，然后根据两次降价后的价格为16元就可列出方程.
5.【答案】 B
【解析】【解答】解：∵△＝b2﹣4ac＝16﹣16＝0
∴方程有两个相等的实数根.
故答案为：B.
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了,如果△＞0，方程有两个不相等的实数根；如果△=0，方程有两个相等的实数根；如果△＜0，方程没有实数根.
6.【答案】 A
【解析】【解答】∵m是方程x2−2x−1＝0的根，
∴m2−2m−1＝0，
∴m2−2m＝1，
∴ ＝ ，
故答案为：A.
【分析】由一元二次方程根的概念可得m2−2m−1＝0，求出m2−2m的值，然后将待求式变形为1-(m2−2m)，据此计算.
7.【答案】 C
【解析】【解答】解：y＝x2﹣4x+4﹣2＝〔x﹣2〕2﹣2，
即抛物线的顶点坐标是〔2，﹣2〕，在第四象限；
当y＝0时，x2﹣4x+2＝0，解得：x＝2 ，
即与x轴的交点坐标是〔2+ ，0〕和〔2﹣ ，0〕，都在x轴的正半轴上，
a＝1＞0，抛物线的图象的开口向上，与y轴的交点坐标是〔0，2〕，
即抛物线的图象过第一、二、四象限，不过第三象限，
故答案为：C.
【分析】求出抛物线的顶点坐标以及与x轴、y轴的交点坐标，然后根据抛物线的开口方向确定出其经过的象限，据此解答.
8.【答案】 D
【解析】【解答】∵线段AB绕着点O旋转一定的角度得线段A'B'，
∴AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，故A，B，C选项正确，
∵∠AOB和∠BOB′的度数不确定，
∴∠AOB′≠100°，故D选项错误.
故答案为：D.
【分析】由旋转的性质可得AB＝A′B′，∠AOA′＝BOB′，OB＝OB′，据此判断.
9.【答案】 B
【解析】【解答】解：函数y=﹣2x2先向右平移1个单位可得到：y=﹣2(x-1)2 ， 再向下平移2个单位可得到：y=﹣2(x-1)2-2，
故答案为：B.

【分析】二次函数左右平移是自变量发生变化，规律是“左加右减〞；上下平移是因变量发生变化，规律是“上加下减〞；
10.【答案】 D
【解析】【解答】解：∵抛物线y＝〔x−1〕2＋2，
∴该抛物线开口向上，应选项A错误；
顶点坐标为〔1，2〕，应选项B错误；
当x＝1时，该函数取得最小值，最小值是y＝2，应选项C错误；
对称轴是直线x＝1，应选项D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确.
11.【答案】 D
【解析】【解答】△ABC≌△DEC，
∴∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，
∴∠DAC=〔180°−∠DCA〕÷2=〔180°−30°〕÷2=75°.
故答案为：D.

【分析】根据全等三角形的对应角，对应边相等，可得∠ACB=∠DCE=30°，AC=DC，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠DAC的度数即可.
12.【答案】 C
【解析】【解答】解：①观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴
∴a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，
所以①正确；
②当x＝1时，y＝a+b+c，不能说明y的值是否大于还是小于0，
所以②错误；
③设A〔x1 ， 0〕〔x1＜0〕，B〔x2 ， 0〕〔x2＞0〕，
∵OC＝2OB，∴﹣2x2＝c，
∴ ，
∴B〔 ，0〕
将点B坐标代入y＝ax2+bx+c中，
，
∵
∴
所以③正确；
④当y＝0时，ax2+bx+c＝0，
方程的两个根为x1 ， x2 ，
根据根与系数的关系，得 ，
即
所以④正确.
故答案为：C.
【分析】观察图象可知：抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点在y轴负半轴，据此可得a、b、c的正负，进而判断①；当x＝1时，y＝a+b+c，据此判断②；设A〔x1 ， 0〕〔x1＜0〕，B〔x2 ， 0〕〔x2＞0〕，由OC＝2OB可得B〔， 0〕，代入抛物线解析式中就可判断③；当y＝0时，ax2+bx+c＝0，根据根与系数的关系，得 ， 据此判断④.
二、填空题
13.【答案】 〔答案不唯一〕
【解析】【解答】如 ，
化为一般形式为：
故答案为： .
【分析】首先由因式分解法表示出原方程，然后化为一般形式即可.
14.【答案】 〔-2，4〕
【解析】【解答】点 关于原点对称的坐标是〔-2，4〕.
故答案为〔-2，4〕.
【分析】关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数，据此解答.
15.【答案】 直线x=4
【解析】【解答】解：根据二次函数的性质可得对称轴为直线x= =4.
故答案为： 直线x=4 .
【分析】利用二次函数的对称性进行解答即可.
16.【答案】 90
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，△ABC绕着点A按逆时针方向转动一个角度后成为△ACD，
∴AB与AC重合，AC旋转到AD的位置，
∴∠BAC等于旋转角，即旋转角等于90°，
故答案为：90.
【分析】利用旋转的性质确定对应点，再确定旋转中心和旋转角.
17.【答案】 y=-〔x+1〕2-2
【解析】【解答】解：∵二次函数y=〔x﹣1〕2+2顶点坐标为〔1，2〕，
∴绕原点旋转180°后得到的二次函数图象的顶点坐标为〔-1，-2〕，
∴旋转后的函数图象的解析式为y=-〔x+1〕2-2．
【分析】由题意可知旋转前后的两函数图像关于x轴对称，就可得出旋转后的图像的顶点坐标及a的值，即可解答。
18.【答案】
【解析】【解答】解：抛物线 可化为：
∴抛物线的对称轴为直线 ，
当x＝0时， ，那么C〔0，﹣6〕，
当y＝0时， ，解得 ， ，那么A〔﹣3，0〕，B〔1，0〕，
∵点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点，
∴DE和DF都为△PBC的中位线，
∴ ， ，
∴ ，
连接AC交直线 于P，如图，

∵PA＝PB，
∴PB+PC＝PA+PC＝AC，
∴此时PB+PC的值最小，其最小值为
∴DE+DF的最小值为 .
故答案为 .
【分析】由抛物线解析式可得对称轴，分别令x=0、y=0，求出y、x的值，得到A、B、C的坐标，由中位线的性质可得DE=PC，DF=PB，连接AC交直线x=-1于P，由PA＝PB可得PB+PC＝PA+PC＝AC，此时PB+PC的值最小，由勾股定理求出AC的值，据此可得DE+DF的最小值 .
三、解答题
19.【答案】 解：原式
 

【解析】【分析】根据有理数的乘方、算术平方根、有理数的乘除法法那么可得原式=1+-3，据此计算.
20.【答案】 解：

或
或
【解析】【分析】对原方程因式分解可得(x-2)(2x-5)=0，据此求解.
21.【答案】 〔1〕证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∵ ，
，


〔2〕解：由〔1〕得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
，
在 中，
，
【解析】【分析】〔1〕根据正方形的性质可得∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，利用等式的性质可得 AE=DF，根据“SAS〞可证△BAE≌△ADF，利用全等三角形的对应边相等，可得BE=AF.
〔2〕根据全等三角形的性质及直角三角形的性质，可得∠AGE=90°，在Rt△ABE中，利用勾股定理先求出BE的长，然后利用△ABE面积可得AB·AE=BE·AG，从而求出AG的长.
22.【答案】 解：〔1〕如下列图， 为所求；

〔2〕如下列图， 为所求；
〔3〕如下列图， 为所求， .
【解析】【分析】〔1〕分别连接AO、BO、CO并延长，使AO=A1O，BO=B1O，CO=C1​​​​​​​O，然后连接A1、B1、C1即可；
〔2〕根据旋转的性质找出点B、C绕点A逆时针旋转90°的对应点B2、C2的位置，然后连接A、B2、C2即可；
〔3〕根据平行四边形的对边平行且相等就可找到点D的位置，得到其坐标.
23.【答案】 〔1〕解：设口罩日产量的月平均增长率为x，
根据题意，得30000〔1＋x〕2＝36300，
解得x1＝−2.1〔舍去〕，x2＝0.1＝10%，
答：口罩日产量的月平均增长率为10%

〔2〕解：36300〔1＋10%〕＝39930〔个〕.
答：预计4月份平均日产量为39930个.
【解析】【分析】〔1〕 设口罩日产量的月平均增长率为x，根据题意，得30000(1＋x)2＝36300，求解即可；
〔2〕利用3月份平均日产量×(1+增长率)即可求出4月份平均日产量.
24.【答案】 〔1〕解：设该厂每天获得的利润为 元，


当 时，W有最大值6760元
因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元.

〔2〕解：由〔1〕可知
∴函数图象开口向下，对称轴为 ，
∵最高销售单价不得超过30元，
∴当x＝30时，w取得最大值，此时 ，
因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元.
【解析】【分析】〔1〕设该厂每天获得的利润为w元，由题意可得w=(x-3)(-10x+600)，然后进行化简，根据二次函数的性质可得w的最大值；
〔2〕根据二次函数的性质进行解答.
25.【答案】 〔1〕解：如图①，∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD， =
将 绕点A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴

∵

在 和 中



∵ ，
∴

〔2〕解：如图②，将 绕点A顺时针旋转 ，得到

∵四边形ABCD是正方形
∴AB=AD， =
∵ 绕点A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴
，
∵

在 和 中



∵ ，
即：

〔3〕解：如图，

∵ ， ， ，
将 绕点A顺时针旋转 ，得到
∴ ≌
∴



在 和 中





【解析】【分析】〔1〕由正方形的性质可得AB=AD，∠ABC=∠ADC=∠BAD=90°，由旋转的性质可得△ADM≌△ABE，得到AM=AE，DM=BE，∠MAD=∠EAB，证明△AMN≌△AEN，得到MN=EN，据此证明；
〔2〕〔3〕同〔1〕证明即可.
26.【答案】 〔1〕解：将点A(-3，0)，C(0，-4)分别代入 中，得，
，解得 ，
抛物线的解析式

〔2〕解：令 ，解得 ，
∴ ，
设直线BC的解析式为 ，
将 分别代入 中，
得 ，解得 ，
∴直线BC的解析式为 ，
，
是等腰直角三角形，
PQ，
，
，
，
PQ= ，
，PN有最大值，
∴当m=2时，PN有最大值为

〔3〕解：连接AC、AQ，有A(-3，0)，C〔0，-4〕，Q ，

那么AC2=25， ，
分三种情况讨论：
①当AQ=AC时，有 =25，
解得 〔舍去〕，
令 ，
②当AC=CQ时，有 ，解得 〔舍去〕，
令 ，
③当AQ=CQ时，有 ，
解得 〔舍去〕，
综上所述，点Q的坐标为
【解析】【分析】〔1〕将点A、C坐标代入y=ax2-x+c中可得a、c的值，据此可得抛物线的解析式；
〔2〕 令抛物线解析式中的y=0，求出x的值，可得点B的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，推出△PNQ为等腰直角三角形，求出点P、Q的坐标，表示出PQ，PN，由二次函数的性质就可得到PN的最大值；
〔3〕连接AC、AQ，那么Q〔m，m-4〕，由勾股定理分别得到AC2 ， AQ2 ， CQ2 ， 然后分AQ=AC，AC=CQ，AQ=CQ进行求解.