备战2022年高考数学数列专项题型-第4讲 分组求和（含解析）

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第4讲 分组求和一．填空题（共1小题）1．数列1，1，2，3，5，8，13，21，最初是由意大利数学家斐波拉契于1202年研究兔子繁殖问题中提出来的，称之为斐波拉契数列．又称黄金分割数列．后来发现很多自然现象都符合这个数列的规律．某校数学兴趣小组对该数列探究后，类比该数列各项产生的办法，得到数列，2，1，6，9，10，17，，设数列的前项和为．（1）请计算，，．并依此规律求数列的第项　　．（2）　 　．（请用关于的多项式表示，其中【解析】解：（1）由题意得，，，，，，，计算：，，，可归纳得数列满足的递推关系式为，由，，两式相减得．可得．（2）由可得，由得：，，，，，．故答案为：22，．二．解答题（共12小题）2．求数列的前项和：．【解析】解：设将其每一项拆开再重新组合得当时，当时，3．数列中，，为抛物线与直线的交点，过作抛物线的切线交直线于点，记的纵坐标为．（Ⅰ）求，的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．（附【解析】解：（Ⅰ），由易得，，，，故，经检验时也符合，故的通项公式为．对两边取导数，可得，，处切线斜率为，切线方程为，与的交点的纵坐标为，故的通项公式为．（Ⅱ）．4．已知数列满足，．（1）求证：数列为等比数列：（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）由，两边同除以得，．，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）由（1）有，，．令，，，．则前项和．5．已知正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．（1）求，的值；（2）求数列的通项公式；（3）若数列满足，求数列的前项和．（参考公式：【解析】解：（1）正项数列的前三项分别为1，3，5，为数列的前项和，满足：，，．分别令，2，可得：，，又，，，，．，，化为：，解得，．（2）由（1）可得：化为：．，．．（3）由（2）可得：时，．数列满足，即，时，，解得．当时，，可得：，即．数列的前项和．，，时也成立）．6．设等差数列的前项和为，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列前项和．参考公式：．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，由，知，即．又由，得．．；（2）由．．7．已知数列的前项和为，数列满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和．参考公式：．【解析】解：（1）数列的前项和为，时，．时，．．（2）数列满足，，即．．（3）数列的前项和．8．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列满足，①当时，，②①②得：，故，当时，解得，首项符合通项，故．（2）由（1）得：，所以，，．9．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）数列满足，①当时，，②①②得：，故，当时，解得，首项符合通项，故．（2）设，所以．10．已知数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）设，记，求．【解析】解：（1），且．，即，数列是等差数列，首项为1，公差为1．，．当时，．当时也成立，．（2）时，，．11．在数列中，，，．（1）求证：数列是等比数列，并求的通项公式；（2）求数列的与前项和．【解析】（1）证明：，，．，数列是等比数列，首项为4，公比为2．．（2）解：数列的与前项和．12．单调递增数列满足．（1）求，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1），①当时，，解得，当时，，②①②并整理，得，，解得或又单调递增数列，故是首项是1，公差为1的等差数列，（6分）（2），记③④由③④得，，，，，．（13分）13．已知数列和满足，若为等比数列，且，．（1）求与；（2）设，求数列的前项和．【解析】解：（1）设数列的公比为时，，，时，，（2）（2）