备战2022年高考数学数列专项题型-第10讲 数列单调性问题（含解析）

第10讲 数列单调性问题

一．选择题（共3小题）

1．已知数列与满足，，在数列中，，设数列中的最小项是第项，则等于　　

A．30 B．28 C．26 D．24

2．在数列中，，则此数列最大项的值是　　

A．103 B． C． D．108

3．设函数，数列满足，，且数列是递增数列，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二．填空题（共4小题）

4．已知是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　　．

5．已知数列是递增数列，且对于任意的，恒成立，则实数的取值范围是　 　．

6．已知数列满足，对于任意的，都有恒成立，则实数的取值范围　 　．

7．数列满足．数列满足，则中的最大项的值是　 　．

三．解答题（共11小题）

8．已知数列，，前项和满足，

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和；

（Ⅲ）设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范围．

9．已知数列中，为非零常数），其前项和满足：

（1）求数列的通项公式；

（2）若，且，求、的值；

（3）是否存在实数、，使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出与的取值范围；若不存在，请说明理由．

10．设数列满足：，．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列中的最大项的值．

11．已知是定义在实数集上的不恒为0的函数，对任意实数，有，当时，有．

（Ⅰ）求的值，并证明恒正；

（Ⅱ）判断在实数集上单调性；

（Ⅲ）设为数列的前项和，，为正整数）．令，问数列中是否存在最大项？若存在，求出最大项的值；若不存在，试说明理由．

12．已知数列满足：，，2，3，．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令，2，，求数列的最大项的值；

（3）对第（2）问中的数列，如果对任意，都有，求实数的取值范围．

13．已知无穷数列满足：，，．对任意正整数，记对任意，2，3，，，对任意，．

（Ⅰ）写出，；

（Ⅱ）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；

（Ⅲ）求集合．

14．设数列的前项和为，，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前项和满足．

①若，求证：；

②若数列为递增数列，求的范围．

15．若数列的每一项都不等于零，且对于任意的，都有为常数），则称数列为“类等比数列”．已知数列满足：，对于任意的，都有．

（1）求证：数列是“类等比数列”；

（2）求通项公式；

（3）若是单调递增数列，求实数的取值范围．

16．已知数列的前项和为．

（1）求证：数列为等差数列；

（2）试讨论数列的单调性（递增数列或递减数列或常数列）．

17．已知函数，．

（1）求证：对任意，；

（2）试判断数列是否是递增数列，或是递减数列？

18．已知数列满足：，，，为数列的前项和．

（1）若是递增数列，且，，成等差数列，求的值；

（2）若，且是递增数列，是递减数列，求数列的通项公式；

（3）在（2）的条件下，令，求数列的前项和．