备战2022年高考数学数列专项题型-第11讲 数列的奇偶性问题（含解析）

第11讲 数列的奇偶性问题

一．选择题（共5小题）

1．已知数列满足，，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：数列满足，，可得，

则

．

．

故选：．

2．已知数列满足，， ，则数列的前2017项的和为　　

A． B． C． D．

【解析】解：由，，，得

，

，

，

，

，

累加得：

，

．

．

则

．

故选：．

3．数列满足，则的前60项和为　　

A． B． C． D．

【解析】解：根据题意，数列满足，当为奇数时，有，

其中当时，有，

当时，有，

当时，有，

当时，有，

则的前60项和

；

故选：．

4．数列满足，则数列的前60项和为　　

A．1860 B．5100 C．3720 D．930

【解析】解：数列满足，

为偶数时，，即．

为奇数时，，即．

相减可得：．

由，可得：．

可得：．

则数列的前60项和

．

故选：．

5．已知数列满足，，是数列的前项和，则　　

A． B． C． D．

【解析】解：数列满足，，

当时，解得，

所以（常数），

所以数列，，，是以1为首项，2为公比的等比数列，

同理数列，，，是以2为首项，2为公比的等比数列．

所以．

故选：．

二．填空题（共4小题）

6．已知数列满足，若，则　1　，前60项的和为　 　．

【解析】解：数列满足，，，解得．

，解得．

，

有，，，，，，．

从而可得，，，，，，，，

从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．

的前60项和为，

故答案为：1，1830．

7．已知数列的前项和为，，，则的值为　　．

【解析】解：由，得：

，，，，．

把以上各式相加得：

，

，，

则．

故答案为：．

8．已知数列满足，则的前50项的和为　1375　．

【解析】解：当是奇数时，；当是偶数时，．

则，

的前50项的和，

，

，

，

，

故答案为：1375

9．已知函数，数列满足，则　　．

【解析】解：函数，数列满足，

．

．

．

．

故答案为：．

三．解答题（共5小题）

10．已知数列满足：，，，．

（1）求、、、的值；

（2）设，，试求；

（3）比较、、、的大小关系．

【解析】解：（1）因为，，，

所以，

，

，

，

，

，

所以、、、的值分别为：3，5，5，8；

（2）由，

可得，

可得，

可得，

，

，

两式相减可得

，

化简可得，；

（3）

，

，

，

，

则．

11．已知数列的通项公式为．

（1）写出这个数列的前6项，并画出图象；

（2）判断7是该数列的第几项？

【解析】解：（1）数列的通项公式为．

这个数列的前6项，分别为：1，1，1，3，1，5．

画出图象；

（2）令，解得．

则7是该数列的第8项．

12．已知数列满足：．

（Ⅰ）问数列是否为等差数列或等比数列？说明理由；

（Ⅱ）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅲ）设，求数列的前项和．

【解析】解：（Ⅰ），，，．（3分）

因为，，，所以数列不是等差数列．

又因为，所以数列也不是等比数列．（5分）

（Ⅱ）（解法一）因为对任意正整数，，

所以数列是首项为，公差为的等差数列，（7分）

从而对．

所以数列的通项公式是．（9分）

（解法二）因为对任意正整数，，

得，

所以数列是每项均为0的常数列，

从而对，

所以数列的通项公式是．（7分），，

所以数列是首项为，公差为的等差数列．（9分）

（Ⅲ），，，也适合上式．

所以数列的通项公式为．（11分）

（解法一）设数列的前项和为，则当，，时，，，．（12分）

，

．（14分）

（解法二）利用待定系数法可得：对，有，

，（12分）

从而，，（13分）

所以．（14分）

13．已知数列满足：，，；

（1）求、、；

（2）求证：数列为等比数列，并求其通项公式；

（3）求和；

【解析】解：（1），，

可得；

，；

（2）证明：

，

可得数列为公比为，首项为等比数列，

即；

（3）由（2）可得，

．

14．（1）设函数，且数列满足，，；求数列的通项公式．

（2）设等差数列、的前项和分别为和，且，，；求常数的值及的通项公式．

（3）若，其中、即为（1）、（2）中的数列、的第项，试求．

【解析】解：（1）由题意：，

变形得：，（1分）

数列是以为公比，为首项的等比数列．（3分）

，

即．（5分）

（2）由等差数列、知：，；

由得：，（6分）

，

，

，解得；

（8分）

，和分别是等差数列、的前项和；

可设，；

，

，即．（10分）

当时，，

当时，．

综上得：．（12分）

（3）当时，

（14分）

当时，

．（16分）