备战2022年高考数学数列专项题型-第17讲 简单的数列与不等式证明（含解析）

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第17讲 简单的数列与不等式证明 一．解答题（共11小题）1．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足，．（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）证明：对一切正整数，有．【解析】解：（1）当时，，解得：或，数列为正数，（2分）（2），即，，，当时，，两式相减得：，当，满足，（8分）（3）证明：，．．（14分）2．已知数列前项的乘积，满足．（1）求；（2）证明数列为等差数列，并求出；（3）记，设，求证：．【解析】解（1）易知，（2分）（2），由两式相除可得：，即，即．所以数列为等差数列（6分），故．  （7分）（3）由（1）得．，，．所以．  （12分）3．在平面上有一系列点，，，，，，，，对每个正整数，以点为圆心的与轴及射线，都相切，且与彼此外切．若，且．（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设数列的各项为正，且满足，求证：，（3）对于（2）中的数列，当时，求证：．【解析】解：（1）点列，，，，，，，必在射线，为的半径，与外切，①（3分）化简①式得：，解得：或，，，数列是等比数列，，则（5分）（2），而，，，，，（8分）设当时，，必有当时，（13分）（3），令：，则（18分）分．4．设数列的前项的和，，2，3，．（Ⅰ）求首项与通项；（Ⅱ）设，，2，3，．证明：．【解析】解：，，2，3，．时，，解得．时，，化为：，变形为：，数列为等比数列，首项为，公比为4．，可得：．证明：由可得：．．．5．设数列为等差数列，且，，数列的前项和为，且，（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）若，，2，3，，为数列的前项和．求证：．【解析】解：（Ⅰ）由数列为等差数列，得公差，易得，所以．由得，，令，则，又，所以，则．由，当时，得，两式相减得，，即，，又，所以是以为首项，为公比的等比数列，于是．（Ⅱ）．，两式相减得，，所以，从而．6．已知数列中，，，且，3，4，．为数列的前项和，且，，2，3，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项的和；（3）证明对一切，有．【解析】（1）解：由已知，，得，，，，由题意，即，，当为奇数时，；当为偶数时，．所以数列的通项公式为，．（4分）（2）解：由已知，对有，两边同除以，得，即，于是，，即，，，，，又时也成立，，．，．（8分）（3）当，有，时，有．当时，．故对一切，有．（14分）7．已知各项均不为零的数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．【解析】解：（1）各项均不为零的数列的前项和为，且满足，①．则：②，①②得：，即：，当时，解得：，所以：．证明：（2）数列满足，所以：，①，则：②，①②得：，，解得：．8．设公差不为零的等差数列的前5项的和为55，且，成等比数列．（1）求数列的通项公式．（2）设数列，求证：数列的前项和．【解析】解：（1）设等差数列的首项为，公差为，由题意可得，即有或（舍去），故数列的通项公式为即；（2）证明：由（1），得，则．故原不等式成立．9．已知等差数列的前项和为，，．（1）求；（2）设数列的前项和为，证明：．【解析】（1）解：，，，；（2）证明：．．10．已知等差数列的前项和为，且，．（1）求及；（2）设，设数列的前项和，证明：．【解析】解：（1）为等差数列，，，即，，，，；（2）证明：，数列的前项和，，，；．11．已知等差数列中，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求证：．【解析】解：（1）设等差数列的公差为，则，解得，．（2）由（1）知，，，令，由函数的图象关于点对称及其单调性知，，，，．