备战2022年高考数学数列专项题型-第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项（含解析）

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第1讲 累加法、累乘法、差商法求通项 题型1 累加法1．已知数列满足，，若，则数列的通项　　．【解析】解：，，．数列是等比数列，首项与公比都为2，．时，．则数列的通项，则数列的通项．故答案为：．2．若数列满足，且对于任意的都有，则　　．【解析】解：由，得，．，则．故答案为：．3．已知数列满足，，且．（1）证明：数列是等比数列；（2）求数列的前项和．【解析】解：（1）证明：当且时，在两边同除以，得，，为常数，且所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列．（2）设数列的前项和为，由（1）知，，，又由，，所以．声 题型2 累乘法1．已知数列满足，且，则　　A． B． C． D．【解析】解：数列满足，且，可得，可得，故选：．2．已知数列满足，且，则　　A． B． C． D．【解析】解：，，，，以上各式两边分别相乘得，由时也适合上式，所以，故选：．3．已知数列是首项为1的正项数列，且，若数列满足，且，则式子的值是　　A． B． C． D．【解析】解：根据题意，数列满足，变形可得，又由数列是首项为1的正项数列，则有，变形可得：，则有，则有，故，数列满足，即，则有，则有，故，则，设，则，①则有，②①②可得：，变形可得：；故选：．4．设是首项为1的正项数列，且，2，3，，则　　，　　．【解析】解：，2，3，，，又，，，，，，故答案为：；．5．已知数列满足，，求通项公式．【解析】解：，，，．6．已知数列满足，，求的通项公式．【解析】解：数列满足，，，，当时也成立．． 题型3 差商法1．已知数列中，，对所有，都有，则　　A． B．3 C．9 D．【解析】解：因为数列中，，对所有，都有，所以时，，时，，所以．故选：．2．已知数列满足．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若，求数列的前项和；（Ⅲ）求证．【解析】解：时，时，两式相减可得，解：两式相减可得，证明：由可知，3．已知数列满足．（Ⅰ）求数列的通项；（Ⅱ）若求数列的前项和．【解析】解：（Ⅰ）时，（1）时，．（2）（1）（2）得即又也适合上式，（Ⅱ），（3）（4）（3）（4）可得4．已知数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）设，探求使恒成立的的最大整数值．【解析】解：（1）当时，，当时，，①，②①②得，，；，（2）．，，；时，；；可化为：；即恒成立，即恒成立，故成立，故的最大整数值为2．5．已知数列满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，则求出的值；（Ⅲ）已知是公比大于1的等比数列，且，，设，若是递减数列，求实数的取值范围【解析】解：（Ⅰ）由题意，数列的前项和．当时，有，所以．当时，．所以，当时，；又符合，时与的关系式，所以．所以的值为3．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知．可令，因为，所以．所以的值为．（Ⅲ）由，得．又，所以．所以，．因为是递减数列，所以，即．化简得．所以，恒成立．又是递减数列，所以的最大值为第一项．所以，即实数的取值范围是．6．已知数列满足，．（Ⅰ）求（Ⅱ）求证：【解析】解：（Ⅰ）由可得，所以当时，，因此，有，即，整理得，又，，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，求得．（Ⅱ）记，故，又，所以．综上可得：．7．已知数列满足．（1）求，和的通项公式；（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由题意得，所以：，．解得：．由，所以，相减得，得，也满足上式．所以的通项公式为．（2）数列的通项公式为：说以：该数列是以为首项，公差为的等差数列，若对任意的正整数恒成立，等价于当时，取得最大值，所以解得．所以实数的取值范围是．8．（1）设数列满足，，求数列的通项公式；（2）已知等比数列的各项均为正数，且，，求数列的通项公式．【解析】解：（1）由①，得，且②，①②得：，，验证时上式成立，；（2）设等比数列的公比为，由，，且，得：，，解得：．．