2019年湖北省孝感市中考数学试卷+答案+解析

这是一份2019年湖北省孝感市中考数学试卷+答案+解析，共26页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2019•孝感）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39B．﹣1C．1D．39
2．（3分）（2019•孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．（3分）（2019•孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）（2019•孝感）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
5．（3分）（2019•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x5＝x2B．（xy2）2＝xy4
C．x2•x5＝x10D．（+）（﹣）＝b﹣a
6．（3分）（2019•孝感）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
7．（3分）（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣6D．6
8．（3分）（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
9．（3分）（2019•孝感）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）（2019•孝感）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A．B．C．D．
二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2019•孝感）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 ．
12．（3分）（2019•孝感）方程＝的解为 ．
13．（3分）（2019•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ 米．
14．（3分）（2019•孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是 ．
15．（3分）（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ ．
16．（3分）（2019•孝感）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）
17．（6分）（2019•孝感）计算：|﹣1|﹣2sin60°+（）﹣1+．
18．（8分）（2019•孝感）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
19．（7分）（2019•孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．
20．（8分）（2019•孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
21．（10分）（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
22．（10分）（2019•孝感）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
23．（10分）（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
24．（13分）（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，线段AC的长为 ，抛物线的解析式为 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．
②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．
2019年湖北省孝感市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）（2019•孝感）计算﹣19+20等于（ ）
A．﹣39B．﹣1C．1D．39
【考点】有理数的加法．
【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：﹣19+20＝1．
故选：C．
2．（3分）（2019•孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【考点】垂线；平行线的性质．
【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．
【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1＝∠CAB＝70°，
∵BC⊥l3交l1于点B，
∴∠ACB＝90°，
∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
故选：B．
3．（3分）（2019•孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】简单几何体的三视图．
【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形．
【解答】解：A、圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；
D、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；
故选：D．
4．（3分）（2019•孝感）下列说法错误的是（ ）
A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式
【考点】命题与定理；全面调查与抽样调查；众数；方差；随机事件．
【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可．
【解答】解：A．在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故选项A不合题意；
B．一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项B不合题意；
C．方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小．故选项C符合题意；
D．全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项D不合题意．
故选：C．
5．（3分）（2019•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．x7÷x5＝x2B．（xy2）2＝xy4
C．x2•x5＝x10D．（+）（﹣）＝b﹣a
【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的混合运算．
【分析】根据同底数幂的除法法则判断A；根据积的乘方法则判断B；根据同底数幂的乘法法则判断C；根据平方差公式以及二次根式的性质判断D．
【解答】解：A、x7÷x5＝x2，故本选项正确；
B、（xy2）2＝x2y4，故本选项错误；
C、x2•x5＝x7，故本选项错误；
D、（+）（﹣）＝a﹣b，故本选项错误；
故选：A．
6．（3分）（2019•孝感）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式正确的是（ ）
A．F＝B．F＝C．F＝D．F＝
【考点】反比例函数的应用．
【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．
【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和0.5m，
∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1200×0.5＝Fl，
则F＝．
故选：B．
7．（3分）（2019•孝感）已知二元一次方程组，则的值是（ ）
A．﹣5B．5C．﹣6D．6
【考点】解二元一次方程组．
【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可．
【解答】解：，
②﹣①×2得，2y＝7，解得，
把代入①得，+y＝1，解得，
∴＝．
故选：C．
8．（3分）（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'，则P'的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（3，﹣1）C．（2，﹣3）D．（3，﹣2）
【考点】坐标与图形变化﹣旋转．
【分析】作PQ⊥y轴于Q，如图，把点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'看作把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，利用旋转的性质得到∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，从而可确定P′点的坐标．
【解答】解：作PQ⊥y轴于Q，如图，
∵P（2，3），
∴PQ＝2，OQ＝3，
∵点P（2，3）绕原点O顺时针旋转90°得到点P'相当于把△OPQ绕原点O顺时针旋转90°得到△OP'Q′，
∴∠P′Q′O＝90°，∠QOQ′＝90°，P′Q′＝PQ＝2，OQ′＝OQ＝3，
∴点P′的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
9．（3分）（2019•孝感）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；在随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进水管直到容器内的水放完．若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的函数关系的图象大致的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】函数的图象．
【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可．
【解答】解：∵从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；
∴此时容器内的水量随时间的增加而增加，
∵随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L，
∴此时水量继续增加，只是增速放缓，
∵接着关闭进水管直到容器内的水放完，
∴水量逐渐减少为0，
综上，A选项符合，
故选：A．
10．（3分）（2019•孝感）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边CD，AD上，BE与CF交于点G．若BC＝4，DE＝AF＝1，则GF的长为（ ）
A．B．C．D．
【考点】全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．
【分析】证明△BCE≌△CDF（SAS），得∠CBE＝∠DCF，所以∠CGE＝90°，根据等角的余弦可得CG的长，可得结论．
【解答】解：正方形ABCD中，∵BC＝4，
∴BC＝CD＝AD＝4，∠BCE＝∠CDF＝90°，
∵AF＝DE＝1，
∴DF＝CE＝3，
∴BE＝CF＝5，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴∠CBE＝∠DCF，
∵∠CBE+∠CEB＝∠ECG+∠CEB＝90°＝∠CGE，
cs∠CBE＝cs∠ECG＝，
∴，CG＝，
∴GF＝CF﹣CG＝5﹣＝，
故选：A．
二．细心填一填，试试自己的身手！（本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2019•孝感）中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250 000 000亿次/秒，将数1250 000 000用科学记数法可表示为 1.25×109 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解答】解：将数1250 000 000用科学记数法可表示为1.25×109．
故答案为：1.25×109．
12．（3分）（2019•孝感）方程＝的解为 x＝1 ．
【考点】解分式方程．
【分析】观察可得方程最简公分母为2x（x+3）．去分母，转化为整式方程求解．结果要检验．
【解答】解：两边同时乘2x（x+3），得
x+3＝4x，
解得x＝1．
经检验x＝1是原分式方程的根．
13．（3分）（2019•孝感）如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为45°，点P到建筑物的距离为PD＝20米，则BC＝ （20﹣20） 米．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】根据正切的定义求出BD，根据等腰直角三角形的性质求出CD，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△PBD中，tan∠BPD＝，
则BD＝PD•tan∠BPD＝20，
在Rt△PBD中，∠CPD＝45°，
∴CD＝PD＝20，
∴BC＝BD﹣CD＝20﹣20，
故答案为：（20﹣20）．
14．（3分）（2019•孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B.5天；C.6天；D.7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是 108° ．
【考点】扇形统计图；条形统计图．
【分析】先由A类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数求出B类别人数，继而用360°乘以B类别人数占总人数的比例即可得．
【解答】解：∵被调查的总人数为9÷15%＝60（人），
∴B类别人数为60﹣（9+21+12）＝18（人），
则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×＝108°，
故答案为：108°．
15．（3分）（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计⊙O的面积S，设⊙O的半径为1，则S﹣S1＝ 0.14 ．
【考点】数学常识；正多边形和圆．
【分析】根据圆的面积公式得到⊙O的面积S＝3.14，求得圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，即可得到结论．
【解答】解：∵⊙O的半径为1，
∴⊙O的面积S＝3.14，
∴圆的内接正十二边形的中心角为＝30°，
∴圆的内接正十二边形的面积S1＝12××1×1×sin30°＝3，
∴则S﹣S1＝0.14，
故答案为：0.14．
16．（3分）（2019•孝感）如图，双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝（x＞0）交AB，BC于点E、F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF．若OD：OB＝2：3，则△BEF的面积为 ．
【考点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】设D（2m，2n），根据题意A（3m，0），C（0，3n），B（3m，3n），即可得出9＝3m•3n，k＝2m•2n＝4mn，解得mn＝1，由E（3m，n），F（m，3n），求得BE、BF，然后根据三角形面积公式得到S△BEF＝BE•BF＝mn＝．
【解答】解：设D（2m，2n），
∵OD：OB＝2：3，
∴A（3m，0），C（0，3n），
∴B（3m，3n），
∵双曲线y＝（x＞0）经过矩形OABC的顶点B，
∴9＝3m•3n，
∴mn＝1，
∵双曲线y＝（x＞0）经过点D，
∴k＝4mn
∴双曲线y＝（x＞0），
∴E（3m，n），F（m，3n），
∴BE＝3n﹣n＝n，BF＝3m﹣m＝m，
∴S△BEF＝BE•BF＝mn＝
故答案为．
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题8小题，满分72分）
17．（6分）（2019•孝感）计算：|﹣1|﹣2sin60°+（）﹣1+．
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣1﹣2×+6﹣3＝2．
18．（8分）（2019•孝感）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】由HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA得出∠ABC＝∠BAD，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．
【解答】证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴∠ABC＝∠BAD，
∴AE＝BE．
19．（7分）（2019•孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字﹣2，﹣1，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同．
（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是 ．
（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标；然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标．如图，已知四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0），D（0，1），请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率．
【考点】概率公式；列表法与树状图法．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．
【解答】解：（1）在﹣2，﹣1，0，1中正数有1个，
∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是，
故答案为：．
（2）列表如下：
由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的有：
（﹣2，0）、（﹣1，﹣1）、（﹣1，0）、（0，﹣2）、（0，﹣1）、（0，0）、（0，1）、（1，0）这8个，
所以点M落在四边形ABCD所围成的部分内（含边界）的概率为．
20．（8分）（2019•孝感）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：
①以点C为圆心，以CB为半径画弧，交AB于点G；分别以点G、B为圆心，以大于GB的长为半径画弧，两弧交点K，作射线CK；
②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC于点M，交AB的延长线于点N；分别以点M、N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作直线BP交AC的延长线于点D，交射线CK于点E．
请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；
（1）线段CD与CE的大小关系是 CD＝CE ；
（2）过点D作DF⊥AB交AB的延长线于点F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图；解直角三角形．菁
【分析】（1）由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，据此得∠1＝∠2＝∠3，结合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，从而得出答案；
（2）证△BCD≌△BFD得CD＝DF，从而设CD＝DF＝x，求出AB＝＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，结合BC＝BF＝5可得答案．
【解答】解：（1）CD＝CE，
由作图知CE⊥AB，BD平分∠CBF，
∴∠1＝∠2＝∠3，
∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°，
∴∠CEB＝∠CDE，
∴CD＝CE，
故答案为：CD＝CE；
（2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF，
∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD，
在△BCD和△BFD中，
∵，
∴△BCD≌△BFD（AAS），
∴CD＝DF，
设CD＝DF＝x，
在Rt△ACB中，AB＝＝13，
∴sin∠DAF＝＝，即＝，
解得x＝，
∵BC＝BF＝5，
∴tan∠DBF＝＝×＝．
21．（10分）（2019•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）若a为正整数，求a的值；
（2）若x1，x2满足x12+x22﹣x1x2＝16，求a的值．
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，得到△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，于是得到结论；
（2）根据x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，代入x12+x22﹣x1x2＝16，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（a﹣1）x+a2﹣a﹣2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣2（a﹣1）]2﹣4（a2﹣a﹣2）＞0，
解得：a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝1，2；
（2）∵x1+x2＝2（a﹣1），x1x2＝a2﹣a﹣2，
∵x12+x22﹣x1x2＝16，
∴（x1+x2）2﹣x1x2＝16，
∴[﹣2（a﹣1）]2﹣3（a2﹣a﹣2）＝16，
解得：a1＝﹣1，a2＝6，
∵a＜3，
∴a＝﹣1．
22．（10分）（2019•孝感）为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B两种型号的一体机．经过市场调查发现，今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机．
（1）求今年每套A型、B型一体机的价格各是多少万元？
（2）该市明年计划采购A型、B型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A型一体机的价格比今年上涨25%，每套B型一体机的价格不变，若购买B型一体机的总费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采购计划？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）直接利用今年每套B型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答案；
（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案．
【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套B型一体机的价格为y万元，
由题意可得：，
解得：，
答：今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；
（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买B型一体机（1100﹣m）套，
由题意可得：1.8（1100﹣m）≥1.2（1+25%）m，
解得：m≤600，
设明年需投入W万元，
W＝1.2×（1+25%）m+1.8（1100﹣m）
＝﹣0.3m+1980，
∵﹣0.3＜0，
∴W随m的增大而减小，
∵m≤600，
∴当m＝600时，W有最小值﹣0.3×600+1980＝1800，
故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划．
23．（10分）（2019•孝感）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．
（1）求证：DG∥CA；
（2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
【考点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．
【分析】（1）根据三角形内心的性质得∠2＝∠7，再利用圆内接四边形的性质得∠ADF＝∠ABC，则∠1＝∠2，从而得到∠1＝∠3，则可判断DG∥AC；
（2）根据三角形内心的性质得∠5＝∠6，然后证明∠4＝∠DAI得到DA＝DI；
（3）证明△DAE∽△DBA，利用相似比得到AD＝6，则DI＝6，然后计算BD﹣DI即可．
【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠2＝∠7，
∵DG平分∠ADF，
∴∠1＝∠ADF，
∵∠ADF＝∠ABC，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心，
∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6，
即∠4＝∠DAI，
∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠ADE＝∠BAD，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD，
∴AD＝6，
∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
24．（13分）（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．
（1）点A的坐标为 （﹣2，0） ，点B的坐标为 （4，0） ，线段AC的长为 2 ，抛物线的解析式为 y＝x2﹣x﹣4 ．
（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．
①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．
②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，即可求解；
（2）分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求解即可．
（3）证明△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，
令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），
则AC＝2，
故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；
（2）①当BC是平行四边形的一条边时，
如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，
设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），
则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，
即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，
解得：m＝4或6（舍去4），
即点Q（6，0）；
②当BC是平行四边形的对角线时，
设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，
由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，
解得：s＝2或4（舍去4），
故点Q（2，0）；
故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；
（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，
∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，
∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，
∴△EPH∽△CAO，∴，即：，
则EP＝PH，
设点P（t，yP），点H（xH，yP），
则t2﹣t﹣4＝xH﹣4，
则xH＝t2﹣t，
f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），
当t＝m时，f1＝（m2﹣4m），
当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），
则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），
则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，
f1＞f2．
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日期：2019/7/10 9:58:47；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.cm；学号：27755521﹣2
﹣1
0
1
﹣2
（﹣2，﹣2）
（﹣1，﹣2）
（0，﹣2）
（1，﹣2）
﹣1
（﹣2，﹣1）
（﹣1，﹣1）
（0，﹣1）
（1，﹣1）
0
（﹣2，0）
（﹣1，0）
（0，0）
（1，0）
1
（﹣2，1）
（﹣1，1）
（0，1）
（1，1）