2019年湖南省衡阳市中考数学试卷+答案+解析

这是一份2019年湖南省衡阳市中考数学试卷+答案+解析，共25页。

A．B．C．D．
2．（3分）（2019•衡阳）如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．全体实数D．
3．（3分）（2019•衡阳）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日点使命轨道，成为世界首颗运行在地月点轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为 公里．
A．B．C．D．
4．（3分）（2019•衡阳）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
5．（3分）（2019•衡阳）下列各式中，计算正确的是
A．B．C．D．
6．（3分）（2019•衡阳）如图，已知，交于点，且，，则的度数是
A．B．C．D．
7．（3分）（2019•衡阳）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是
A．97B．90C．95D．88
8．（3分）（2019•衡阳）下列命题是假命题的是
A．边形的外角和是
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
9．（3分）（2019•衡阳）不等式组的整数解是
A．0B．C．D．1
10．（3分）（2019•衡阳）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．C．D．
11．（3分）（2019•衡阳）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集
是
A．B．C．或D．或
12．（3分）（2019•衡阳）如图，在直角三角形中，，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)
13．（3分）（2019•衡阳）因式分解： ．
14．（3分）（2019•衡阳）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于 ．
15．（3分）（2019•衡阳）计算： ．
16．（3分）（2019•衡阳）计算： ．
17．（3分）（2019•衡阳）已知圆半径为6，求该圆内接正三角形的边长为 ．
18．（3分）（2019•衡阳）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（6分）（2019•衡阳）
20．（6分）（2019•衡阳）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报的学生约有多少人？
21．（8分）（2019•衡阳）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
22．（8分）（2019•衡阳）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面处测得楼房顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房方向继续行走10米到达处，测得楼房顶部的仰角为．已知坡面米，山坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，
23．（8分）（2019•衡阳）如图，点、、在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
24．（8分）（2019•衡阳）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．
（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
25．（10分）（2019•衡阳）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（12分）（2019•衡阳）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．
（1）当为何值时，为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）求的长；
（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．
2019年湖南省衡阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小题,每小题3分,满分36分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1．（3分）的绝对值是
A．B．C．D．
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】解：，故选：．
2．（3分）如果分式在实数范围内有意义，则的取值范围是
A．B．C．全体实数D．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
，
故选：．
3．（3分）2018年6月14日，探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星成功实施轨道捕获控制，进入环绕距月球65000公里的地月拉格朗日点使命轨道，成为世界首颗运行在地月点轨道的卫星，用科学记数法表示65000公里为 公里．
A．B．C．D．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
【解答】解：科学记数法表示65000公里为公里．
故选：．
4．（3分）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A．B．
C．D．
【分析】直接利用轴对称图形和中心对称图形的概念求解．
【解答】解：、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
、不是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；
、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确．
故选：．
5．（3分）下列各式中，计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可．
【解答】解：、与不是同类项，故不能合并，故选项不合题意；
、，故选项不合题意；
、，故选项不符合题意；
、，故选项符合题意．
故选：．
6．（3分）如图，已知，交于点，且，，则的度数是
A．B．C．D．
【分析】直接利用垂线的定义结合平行线的性质得出答案．
【解答】解：，，
，
，
．
故选：．
7．（3分）某校5名同学在“国学经典颂读”比赛中，成绩（单位：分）分别是86，95，97，90，88，这组数据的中位数是
A．97B．90C．95D．88
【分析】先将题中的数据按照从小到大的顺序排列，然后根据中位数的概念求解即可．
【解答】解：将小明所在小组的5个同学的成绩重新排列为：86、88、90、95、97，
所以这组数据的中位数为90分，
故选：．
8．（3分）下列命题是假命题的是
A．边形的外角和是
B．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C．相等的角是对顶角
D．矩形的对角线互相平分且相等
【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．
【解答】解：、边形的外角和是，是真命题；
、线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，是真命题；
、相等的角不一定是对顶角，是假命题；
、矩形的对角线互相平分且相等，是真命题；
故选：．
9．（3分）不等式组的整数解是
A．0B．C．D．1
【分析】先求出不等式组的解集，再求出整数解，即可得出选项．
【解答】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为，
不等式组的整数解是，
故选：．
10．（3分）国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为，根据题意列方程得
A．B．C．D．
【分析】等量关系为：2016年贫困人口下降率）年贫困人口，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设这两年全省贫困人口的年平均下降率为，根据题意得：
，
故选：．
11．（3分）如图，一次函数的图象与反比例函数为常数且的图象都经过，，结合图象，则不等式的解集是
A．B．C．或D．或
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【解答】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数为常数且的图象上方时，的取值范围是：或，
不等式的解集是或
故选：．
12．（3分）如图，在直角三角形中，，，是的中点，过点作和的垂线，垂足分别为点和点，四边形沿着方向匀速运动，点与点重合时停止运动，设运动时间为，运动过程中四边形与的重叠部分面积为．则关于的函数图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】根据已知条件得到是等腰直角三角形，推出四边形是正方形，设正方形的边长为，当移动的距离时，如图正方形的面积△的面积；当移动的距离时，如图2，，根据函数关系式即可得到结论；
【解答】解：在直角三角形中，，，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是矩形，
是的中点，
，，
，
四边形是正方形，
设正方形的边长为，
如图1当移动的距离时，正方形的面积△的面积；
当移动的距离时，如图2，，
关于的函数图象大致为选项，
故选：．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分.)
13．（3分）因式分解： ．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：．
故答案为：．
14．（3分）在一个不透明布袋里装有3个白球、2个红球和个黄球，这些球除颜色不同其它没有任何区别．若从该布袋里任意摸出1个球，该球是黄球的概率为，则等于 5 ．
【分析】根据概率公式列出关于的方程，解之可得．
【解答】解：根据题意知，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
，
故答案为：5．
15．（3分）计算： ．
【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
16．（3分）计算： 1 ．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式
．
故答案为：1．
17．（3分）已知圆半径为6，求该圆内接正三角形的边长为 ．
【分析】易得正三角形的中心角为，那么中心角的一半为，利用的正弦值可得正三角形边长的一半，乘以2即为正三角形的边长．
【解答】解：如图，圆半径为6，求长．
连接，，作于点，
，
，，
，
，
故答案为：．
18．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知点坐标为，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为 ， ．
【分析】根据二次函数性质可得出点的坐标，求得直线为，联立方程求得的坐标，即可求得的坐标，同理求得的坐标，即可求得的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点的坐标．
【解答】解：点坐标为，
直线为，，
，
直线为，
解得或，
，
，
，
直线为，
解得或，
，
，
，，
故答案为，．
三、解答题（本大题共8个小题，19-20题每题6分，21-24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
19．（6分）
【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
【解答】解：原式
．
20．（6分）进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请结合统计图中的信息解决下列问题：
（1）这次学校抽查的学生人数是 40 ；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）如果该校共有1000名学生，请你估计该校报的学生约有多少人？
【分析】（1）利用项目的频数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）计算出项目的人数后补全条形统计图即可；
（3）用总人数乘以样本中该校报的学生数占被调查学生数的比例即可得．
【解答】解：（1）这次学校抽查的学生人数是（人，
故答案为：40人；
（2）项目的人数为（人
条形统计图补充为：
（3）估计全校报名军事竞技的学生有（人．
21．（8分）关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时的值．
【分析】（1）利用判别式的意义得到△，然后解不等式即可；‘
（2）利用（1）中的结论得到的最大整数为2，解方程解得，，把和分别代入一元二次方程求出对应的，同时满足．
【解答】解：（1）根据题意得△，
解得；
（2）的最大整数为2，
方程变形为，解得，，
一元二次方程与方程有一个相同的根，
当时，，解得；
当时，，解得，
而，
的值为．
22．（8分）如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面处测得楼房顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向楼房方向继续行走10米到达处，测得楼房顶部的仰角为．已知坡面米，山坡的坡度（坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比），求楼房高度．（结果精确到0.1米）（参考数据：，
【分析】过作于，于，交于，作于，则，，求出，得出，，求出，证出，得出，得出，因此，即可得出答案．
【解答】解：过作于，于，交于，作于，如图所示：
则，，
坡面米，山坡的坡度，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
（米，
答：楼房高度约为23.7米．
23．（8分）如图，点、、在半径为8的上，过点作，交延长线于点．连接，且．
（1）求证：是的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接，根据圆周角定理求出，根据三角形内角和定理求出，根据切线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质得到，解直角三角形求出，分别求出的面积和扇形的面积，即可得出答案．
【解答】（1）证明：连接，交于，
，，
，
，
，
即，
，
，
是的切线；
（2）解：，，，
，，
，
．
24．（8分）某商店购进、两种商品，购买1个商品比购买1个商品多花10元，并且花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等．
（1）求购买一个商品和一个商品各需要多少元；
（2）商店准备购买、两种商品共80个，若商品的数量不少于商品数量的4倍，并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？
【分析】（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，根据数量总价单价结合花费300元购买商品和花费100元购买商品的数量相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买商品个，则购买商品个，根据商品的数量不少于商品数量的4倍并且购买、商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可找出各购买方案．
【解答】解：（1）设购买一个商品需要元，则购买一个商品需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个商品需要15元，购买一个商品需要5元．
（2）设购买商品个，则购买商品个，
依题意，得：，
解得：．
为整数，
或16．
商店有2种购买方案，方案①：购进商品65个、商品15个；方案②：购进商品64个、商品16个．
25．（10分）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；
（3）过点作轴交于点，由即可求解．
【解答】解：（1）抛物线经过，，
把、两点坐标代入上式，，
解得：，
故抛物线函数关系表达式为；
（2），点，
，
正方形中，，，
，
，
，
又，
，
，
设，则，
，
，
，
时，线段长有最大值，最大值为．
即时，线段有最大值．最大值是．
（3）存在．
如图，过点作轴交于点，
抛物线的解析式为，
，，
点坐标为，
设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
，
时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．
26．（12分）如图，在等边中，，动点从点出发以的速度沿匀速运动．动点同时从点出发以同样的速度沿的延长线方向匀速运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设运动时间为以．过点作于，连接交边于．以、为边作平行四边形．
（1）当为何值时，为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
（3）求的长；
（4）取线段的中点，连接，将沿直线翻折，得△，连接，当为何值时，的值最小？并求出最小值．
【分析】（1）当时，，由此构建方程即可解决问题．
（2）如图1中，连接交于．证明，由此构建方程即可解决问题．
（3）证明即可解决问题．
（4）如图3中，连接，．根据求解即可解决问题．
【解答】解：（1）是等边三角形，
，
当时，，
，
，
时，是直角三角形．
（2）存在．
理由：如图1中，连接交于．
平分，，
，，
，
，
，
，
解得．
（3）如图2中，作交于．
是等边三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，，，
，
，
．
（4）如图3中，连接，
，，
，
，
，
，
的最小值为．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/7/8 18:34:38；用户：数学；邮箱：85886818-2@xyh.cm；学号：27755521