2021年四川省内江六中中考数学二模试卷 解析版

这是一份2021年四川省内江六中中考数学二模试卷 解析版，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．
2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7abB．（ab3）3＝ab6
C．（a+2）2＝a2+4D．x12÷x6＝x6
4．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
5．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
8．（3分）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若|a|＝|b|，则a2＝b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（ ）
A．B．C．D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
12．（3分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1B．﹣3≤m≤1C．﹣3≤m≤3D．﹣1≤m≤0
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在相应答题卡上）
13．（5分）分解因式：x3﹣xy2＝ ．
14．（5分）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
15．（5分）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2＝ °．
16．（5分）如图矩形ABCD中，AD＝1，CD＝，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为 ．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
18．（9分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
19．（9分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
20．（9分）小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
21．（10分）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把答案填在相应答题卡上）
22．（6分）已知关于x的分式方程＝有解，则a的取值范围是 ．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且（b＞a），连接AO，并以A为旋转中心把线段AO逆时针旋转90°，得到线段AB，若点A、B恰好在同一反比例函数图象上，则的值等于 ．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为 ．
25．（6分）如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ ．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
26．（12分）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．
（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：CG⊥CM．
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在点E运动过程中，当BE的长度多少时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．
28．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
2021年四川省内江六中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）2021的相反数是（ ）
A．2021B．﹣2021C．D．
【分析】只有符号不同的两个数互为相反数．求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面添加“﹣”．
【解答】解：2021的相反数是﹣2021，
故选：B．
2．（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为（ ）
A．3.386×108B．0.3386×109C．33.86×107D．3.386×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：数字338 600 000用科学记数法可简洁表示为3.386×108．
故选：A．
3．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．3a+4b＝7abB．（ab3）3＝ab6
C．（a+2）2＝a2+4D．x12÷x6＝x6
【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、3a+4b，无法计算，故此选项错误；
B、（ab3）3＝a3b9，故此选项错误；
C、（a+2）2＝a2+4a+4，故此选项错误；
D、x12÷x6＝x6，故此选项正确．
故选：D．
4．（3分）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为（ ）
A．120元B．100元C．80元D．60元
【分析】设该商品的进价为x元/件，根据“标价＝（进价+利润）÷折扣”即可列出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．
【解答】解：设该商品的进价为x元/件，
依题意得：（x+20）÷＝200，
解得：x＝80．
∴该商品的进价为80元/件．
故选：C．
5．（3分）关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k≤﹣B．k≤﹣且k≠0C．k≥﹣D．k≥﹣且k≠0
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于k的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
即：9+4k≥0，
解得：k≥﹣，
∵关于x的一元二次方程kx2+3x﹣1＝0中k≠0，
则k的取值范围是k≥﹣且k≠0．
故选：D．
6．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
7．（3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ）
A．20或16B．20
C．16D．以上答案均不对
【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．
【解答】解：根据题意得
，
解得，
（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，
不能组成三角形；
（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，
能组成三角形，周长为4+8+8＝20．
故选：B．
8．（3分）下列命题中，原命题与逆命题均为真命题的有（ ）
①若|a|＝|b|，则a2＝b2；②若ma2＞na2，则m＞n；
③垂直于弦的直径平分弦；④对角线互相垂直的四边形是菱形．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】先根据绝对值、不等式的性质、垂径定理和菱形的判定对四个命题进行判断，再分别交换命题的题设和结论得到四个逆命题，然后判断逆命题的真假．
【解答】解：①若|a|＝|b|，则a2＝b2，此命题为真命题；它的逆命题为若a2＝b2，则|a|＝|b|，此逆命题为真命题；
②若ma2＞na2，则m＞n，此命题为真命题；它的逆命题为若m＞n，则ma2＞na2，此逆命题为假命题；
③垂直于弦的直径平分弦，此命题为真命题；它的逆命题为平方弦的直径垂直于弦，此逆命题为假命题；
④对角线互相垂直的四边形是菱形，此逆命题为假命题，它的逆命题为菱形的对角线互相垂直，此逆命题为真命题．
故选：A．
9．（3分）如图，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝BC，则下列选项正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由PB+PC＝BC和PA+PC＝BC易得PA＝PB，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在AB的垂直平分线上，于是可判断D选项正确．
【解答】解：∵PB+PC＝BC，
而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：D．
10．（3分）在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，若随机摸出一个球是绿球的概率是，则随机摸出一个球是蓝球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据摸出一个球是绿球的概率是，得出蓝球的个数，进而得出小球总数，即可得出随机摸出一个球是蓝球的概率．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋里有红、绿、蓝三种颜色的小球，三种球除颜色外其他完全相同，其中有6个红球，5个绿球，
随机摸出一个球是绿球的概率是，
设蓝球x个，
∴＝，
解得：x＝9，
∴随机摸出一个球是蓝球的概率是：．
故选：D．
11．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，点A在边B′C上，则∠B′的大小为（ ）
A．42°B．48°C．52°D．58°
【分析】先根据旋转的性质得出∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，然后在直角△A′CB′中利用直角三角形两锐角互余求出∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将Rt△ABC绕点C按逆时针方向旋转48°得到Rt△A′B′C′，
∴∠A′＝∠BAC＝90°，∠ACA′＝48°，
∴∠B′＝90°﹣∠ACA′＝42°．
故选：A．
12．（3分）定义：点A（x，y）为平面直角坐标系内的点，若满足x＝y，则把点A叫做“平衡点”．例如：M（1，1），N（﹣2，﹣2）都是“平衡点”．当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上有“平衡点”，则m的取值范围是（ ）
A．0≤m≤1B．﹣3≤m≤1C．﹣3≤m≤3D．﹣1≤m≤0
【分析】根据x＝y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵x＝y，
∴x＝2x+m，即x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1．
故选：B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在相应答题卡上）
13．（5分）分解因式：x3﹣xy2＝ x（x+y）（x﹣y） ．
【分析】直接提取公因式x，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】解：原式＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y）．
故答案为：x（x+y）（x﹣y）．
14．（5分）在函数中，自变量x的取值范围是 x≤1且x≠﹣2 ．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据二次根式有意义，分式有意义得：1﹣x≥0且x+2≠0，
解得：x≤1且x≠﹣2．
故答案为：x≤1且x≠﹣2．
15．（5分）将一矩形纸条按如图所示折叠，若∠1＝40°，则∠2＝ 110 °．
【分析】根据平行线的性质得到∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，由折叠的性质得到∠4＝∠5，即可得到结论．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝40°，∠2+∠4＝180°，
∵∠4＝∠5，
∴∠4＝∠5＝（180°﹣40°）＝70°，
∴∠2＝110°，
故答案为：110°．
16．（5分）如图矩形ABCD中，AD＝1，CD＝，连接AC，将线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，线段AE与弧BF交于点G，连接CG，则图中阴影部分面积为 ﹣ ．
【分析】根据勾股定理得到AC＝2，由三角函数的定义得到∠CAB＝30°，根据旋转的性质得到∠CAE＝∠BAF＝90°，求得∠BAG＝60°，然后根据图形的面积即可得到结论．
【解答】解：在矩形ABCD中，
∵AD＝1，CD＝，
∵AC＝2，tan∠CAB＝＝，
∴∠CAB＝30°，
∵线段AC、AB分别绕点A顺时针旋转90°至AE、AF，
∴∠CAE＝∠BAF＝90°，
∴∠BAG＝60°，
∵AG＝AB＝，
∴阴影部分面积＝S△ABC+S扇形ABG﹣S△ACG＝××1+﹣××2＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）
17．（7分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣2﹣3+4×
＝1﹣2﹣3+2
＝﹣2．
18．（9分）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
【分析】（1）首先由Rt△ABC中，由∠BAC＝30°可以得到AB＝2BC，又由△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE＝2AF，并且AB＝2AF，然后证得△AFE≌△BCA，继而证得结论；
（2）根据（1）知道EF＝AC，而△ACD是等边三角形，所以EF＝AC＝AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB＝2AF
∴AF＝BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
，
∴Rt△AFE≌Rt△BCA（HL），
∴AC＝EF；
（2）∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC＝60°，AC＝AD，
∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝90°
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC＝EF，AC＝AD，
∴EF＝AD，
∴四边形ADFE是平行四边形．
19．（9分）某校开展了“互助、平等、感恩、和谐、进取”主题班会活动，活动后，就活动的5个主题进行了抽样调查（每位同学只选最关注的一个），根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）这次调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中计算出“进取”所对应的圆心角的度数．
（3）如果要在这5个主题中任选两个进行调查，根据（2）中调查结果，用树状图或列表法，求恰好选到学生关注最多的两个主题的概率（将互助、平等、感恩、和谐、进取依次记为A、B、C、D、E）．
【分析】（1）根据“平等”的人数除以占的百分比得到调查的学生总数即可；
（2）求出“互助”与“进取”的学生数，补全条形统计图，求出“进取”占的圆心角度数即可；
（3）列表或画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好选到“C”与“E”的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）56÷20%＝280（名），
答：这次调查的学生共有280名；
（2）280×15%＝42（名），280﹣42﹣56﹣28﹣70＝84（名），
补全条形统计图，如图所示，
根据题意得：84÷280＝30%，360°×30%＝108°，
答：“进取”所对应的圆心角是108°；
（3）由（2）中调查结果知：学生关注最多的两个主题为“进取”和“感恩”用列表法为：
用树状图为：
共20种情况，恰好选到“C”和“E”有2种，
∴恰好选到“进取”和“感恩”两个主题的概率是．
20．（9分）小明要测量公园被湖水隔开的两棵大树A和B之间的距离，他在A处测得大树B在A的北偏西30°方向，他从A处出发向北偏东15°方向走了200米到达C处，测得大树B在C的北偏西60°方向．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求两棵大树A和B之间的距离（结果精确到1米）（参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）
【分析】（1）先利用平行线的性质得∠ACM＝∠DAC＝15°，再利用平角的定义计算出∠ACB＝105°，然后根据三角形内角和计算∠ABC的度数；
（2）作CH⊥AB于H，如图，易得△ACH为等腰直角三角形，则AH＝CH＝AC＝100，在Rt△BCH中利用含30度的直角三角形三边的关系得到BH＝CH＝100，AB＝AH+BH＝100+100，然后进行近似计算即可．
【解答】解：（1）∵CM∥AD，
∴∠ACM＝∠DAC＝15°，
∴∠ACB＝180°﹣∠BCN﹣∠ACM＝180°﹣60°﹣15°＝105°，
而∠BAC＝30°+15°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣45°﹣105°＝30°；
（2）作CH⊥AB于H，如图，
∵∠BAC＝45°，
∴△ACH为等腰直角三角形，
∴AH＝CH＝AC＝×200＝100，
在Rt△BCH中，∵∠HBC＝30°，
∴BH＝CH＝100，
∴AB＝AH+BH＝100+100≈141.4+244.9≈386．
答：两棵大树A和B之间的距离约为386米．
21．（10分）某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售（每辆汽车规定满载，并且只装一种水果）．下表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．
（1）用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？
（2）水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售（每种水果不少于一车），假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？（结果用m表示）
（3）在（2）问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意和表格中的数据可以用关于m的代数式表示出装运乙、丙两种水果的汽车数量；
（3）根据题意可以写出利润w关于m的关系式，再根据m的取值范围即可解答本题．
【解答】（1）设装运乙、丙水果的车分别为x辆，y辆，
，
解得，，
答：装运乙种水果的车有2辆、丙种水果的汽车有6辆；
（2）设装运乙、丙水果的车分别为a辆，b辆，
，
解得，，
答：装运乙种水果的汽车是（m﹣12）辆，丙种水果的汽车是（32﹣2m）辆；
（3）设总利润为w千元，
w＝4×5m+2×7（m﹣12）+4×3（32﹣2m）＝10m+216，
∵，
解得，13≤m≤15.5，
∵m为正整数，
∴m＝13，14，15，
∴当m＝15时，W最大＝366（千元），
答：当运甲水果的车15辆，运乙水果的车3辆，运丙水果的车2辆，利润最大，最大利润为366千元．
四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分，请把答案填在相应答题卡上）
22．（6分）已知关于x的分式方程＝有解，则a的取值范围是 a≥1且a≠4 ．
【分析】解分式方程用a表示|x|，根据关于x的分式方程有解得|x|≥0且|x|﹣2≠0，列不等式组求解集．
【解答】解：＝，
2|2x|﹣2a＝|x|﹣2，
4|x|﹣|x|＝2a﹣2，
3|x|＝2a﹣2，
|x|＝，
∵关于x的分式方程有解，
∴≥0，且|x|﹣2≠0，即≠2，
解得a≥1且a≠4．
故答案为：a≥1且a≠4．
23．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点A（a，b）为第一象限内一点，且（b＞a），连接AO，并以A为旋转中心把线段AO逆时针旋转90°，得到线段AB，若点A、B恰好在同一反比例函数图象上，则的值等于 ．
【分析】过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AO＝AB，利用AAS得出三角形AOE与三角形ABD全等，由确定三角形的对应边相等得到BD＝AE＝b，AD＝OE＝a，进而表示出ED及OE+BD的长，即可表示出B坐标；由A与B都在反比例图象上，得到A与B横纵坐标乘积相等，列出关系式，变形后即可求出的值．
【解答】解：过A作AE⊥x轴，过B作BD⊥AE，
∵∠OAB＝90°，
∴∠OAE+∠BAD＝90°，
∵∠AOE+∠OAE＝90°，
∴∠BAD＝∠AOE，
在△AOE和△BAD中，
，
∴△AOE≌△BAD（AAS），
∴AE＝BD＝b，OE＝AD＝a，
∴DE＝AE﹣AD＝b﹣a，OE+BD＝a+b，
则B（a+b，b﹣a）；
∵A与B都在反比例图象上，得到ab＝（a+b）（b﹣a），
整理得：b2﹣a2＝ab，即（）2﹣﹣1＝0，
∵△＝1+4＝5，
∴＝，
∵点A（a，b）为第一象限内一点，
∴a＞0，b＞0，
则＝．
故答案为．
24．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为 ．
【分析】由题意得：DF＝DB，得到点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，由点D是边BC的中点，得到CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得到AD＝5，求得线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：由题意得：DF＝DB，
∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点，
∴CD＝BD＝3；而AC＝4，
由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2
∴AD＝5，而FD＝3，
∴FA＝5﹣3＝2，
即线段AF长的最小值是2，
连接BF，过F作FH⊥BC于H，
∵∠ACB＝90°，
∴FH∥AC，
∴△DFH∽△ADC，
∴，
∴HF＝，DH＝，
∴BH＝，
∴BF＝＝，
故答案为：．
25．（6分）如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），…Pn（xn，yn）在函数y＝（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2…An﹣1An，都在x轴上，则y1+y2+…+yn＝ 3 ．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出y1，y2，y3……yn，再计算即可．
【解答】解：如图，过P1，P2，P3…Pn，分别作x 轴的垂线，垂足分别为Q1，Q2，Q3，…Qn，
∵△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3…△PnAn﹣1An…都是等腰直角三角形，
∴OQ1＝P1Q1＝Q1A1＝y1，
A1Q2＝P2Q2＝Q2A2＝y2，
A2Q3＝P3Q3＝Q3A3＝y3，
……
An﹣1Qn＝PnQn＝QnAn＝yn，
于是P1（y1，y1），P2（2y1+y2，y2），P3（2y1+2y2+y3，y3），……Pn（2yi+2y2+2y3+…+2yn﹣1+yn，yn），
将P1（y1，y1）代入反比例函数y＝得，
y1•y1＝9，解得y1＝3，
因此P2（6+y2，y2），
将P2（2y1+y2，y2），y1＝3，代入反比例函数y＝得，
（6+y2）•y2＝9，
解得y2＝3﹣3，
同理将P3（2y1+2y2+y3，y3），P4（2y1+2y2+2y3+y4，y4），……代入反比例函数关系式可求得，
y3＝3﹣3，
y4＝3﹣3＝6﹣3，
y5＝3﹣3＝3﹣6，
……
所以y1+y2+…+yn＝3+3﹣3+3﹣3+…+3﹣3＝3，
故答案为：3．
五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分，解答应写出必要的文字说明或演算步骤）
26．（12分）在边长为1的正方形ABCD中，点E是射线BC上一动点，AE与BD相交于点M，AE或其延长线与DC或其延长线相交于点F，G是EF的中点，连结CG．
（1）如图1，当点E在BC边上时．求证：CG⊥CM．
（2）如图2，当点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在点E运动过程中，当BE的长度多少时，△MCE是等腰三角形？请说明理由．
【分析】（1）由全等三角形的性质得出∠BAM＝∠BCM，由直角三角形斜边上的中线性质得出GC＝GF，证出∠GCF＝∠F，由平行线的性质得出∠BAM＝∠F，因此∠BCM＝∠GCF，得出∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，即可得出结论；
（2）同（1），即可得出结论；
（3）①当点E在BC边上时，由∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，得出∠EMC＝∠ECM，由三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，由直角三角形的性质得出∠BAE＝30°，得出BE＝AB＝；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝；即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS）．
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝EF＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠BCM+∠GCE＝∠GCF+∠GCE＝90°，
∴GC⊥CM；
（2）解：成立；理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠CBM，
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM（SAS），
∴∠BAM＝∠BCM，
又∵∠ECF＝90°，G是EF的中点，
∴GC＝GF，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵AB∥DF，
∴∠BAM＝∠GFC，
∴∠BCM＝∠GCF，
∴∠GCF+∠MCF＝∠BCM+MCFE＝90°，
∴GC⊥CM；
（3）解：分两种情况：①当点E在BC边上时，
∵∠MEC＞90°，要使△MCE是等腰三角形，必须EM＝EC，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴∠AEB＝2∠BCM＝2∠BAE，
∴2∠BAE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝30°，
∴BE＝AB＝；
②当点E在BC的延长线上时，同①知BE＝．
综上①②，当BE＝戓BE＝时，△MCE是等腰三角形．
27．（12分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD＝HF；
（3）若CD＝1，EH＝3，求BF及AF长．
【分析】（1）连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE＝∠OBE；而OB＝OE，就有∠OBE＝∠OEB，等量代换有∠OEB＝∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE∥BC；又∠C＝90°，所以∠AEO＝90°，即AC是⊙O的切线；
（2）连接DE，先根据AAS证明△CDE≌△HFE，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD＝HF．
（3）先证得△EHF∽△BEF，根据相似三角形的性质求得BF＝10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE＝5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．
【解答】证明：（1）如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF＝90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠OBE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴∠OEB＝∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠AEO＝∠C＝90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）如图，连接DE．
∵∠CBE＝∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC＝EH．
∵∠CDE+∠BDE＝180°，∠HFE+∠BDE＝180°，
∴∠CDE＝∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
，
∴△CDE≌△HFE（AAS），
∴CD＝HF．
（3）由（2）得CD＝HF，又CD＝1，
∴HF＝1，
在Rt△HFE中，EF＝＝，
∵EF⊥BE，
∴∠BEF＝90°，
∴∠EHF＝∠BEF＝90°，
∵∠EFH＝∠BFE，
∴△EHF∽△BEF，
∴＝，即＝，
∴BF＝10，
∴OE＝BF＝5，OH＝5﹣1＝4，
∴Rt△OHE中，cs∠EOA＝，
∴Rt△EOA中，cs∠EOA＝＝，
∴＝，
∴OA＝，
∴AF＝﹣5＝．
28．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．
【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．
（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．
（3）在y轴上 取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．
【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，
∴（x+1）（ax+3）＝0，
∴x＝﹣1或﹣，
∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），
∴﹣＝4，
∴a＝﹣．
∵A（4，0），B（0，3），
设直线AB解析式为y＝kx+b，则，
解得，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．
（2）如图1中，
∵PM⊥AB，PE⊥OA，
∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，
∴△PNM∽△ANE，
∴＝，
∵NE∥OB，
∴＝，
∴AN＝（4﹣m），
∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，
∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴＝，
解得m＝2或4，
经检验x＝4是分式方程的增根，
∴m＝2．
（3）如图2中，在y轴上 取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．
∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，
∴OE′2＝OM′•OB，
∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，
∴△M′OE′∽△E′OB，
∴＝＝，
∴M′E′＝BE′，
∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），
最小值＝AM′＝＝．

甲
乙
丙
每辆汽车能装的数量（吨））
4
2
3
每吨水果可获利润（千元）
5
7
4
A
B
C
D
E
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
（A，E）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
（B，E）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
（C，E）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
（D，E）
E
（E，A）
（E，B）
（E，C）
（E，D）

甲
乙
丙
每辆汽车能装的数量（吨））
4
2
3
每吨水果可获利润（千元）
5
7
4