2021年河北省沧州市南皮县中考数学一模试卷 解析版

这是一份2021年河北省沧州市南皮县中考数学一模试卷 解析版，共29页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河北省沧州市南皮县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在直线l上的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
2．（3分）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标；坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田．下列关于10.75亿的说法正确的是（　　）
A．10.75亿是精确到亿位
B．10.75亿是精确到十亿位
C．10.75亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝1.075，n＝9
D．10.75亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝10.75，n＝8
3．（3分）计算：a3÷a＝（　　）
A．a2 B．a3 C．a4 D．2
4．（3分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°
5．（3分）对于：
①x2﹣4＝（x﹣2）2；
②﹣x2+1＝（x+1）（1﹣x）；
③x3+2x﹣4＝（x+2）2；
④x2﹣x+1＝（x﹣1）2．
其中因式分解正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
6．（3分）如图，是某几何体的展开图，AD＝16π，则r＝（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
7．（3分）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）
A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0
C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0
8．（3分）嘉淇所在的社团，两年来人员没有变化，嘉淇计算了目前社团人员年龄的方差为1，则两年前该社团人员年龄的方差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．（3分）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（　　）

A．1A B．2A C．3A D．5A
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点G，作射线BG，交AD边于点H．若cos∠ABH＝，则BH的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6

11．（2分）不等式组的解集为x＜1，则m的取值不可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
12．（2分）如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则下列关于△ABC的说法不正确的是（　　）

A．是直角三角形 B．tanB＝1
C．面积为5 D．BC边上的高为
13．（2分）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）

A．8 B．19 C．6 D．2﹣6
14．（2分）如图，M是⊙O上一个定点，将直角三角板的30°角顶点与点M重合，两边与⊙O相交，设交点为A，B，绕点M顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点M重合时停止旋转，设AB＝y，旋转角为a，下列能反映y与a关系的为（　　）

A． B．
C． D．
15．（2分）如图，△ABC中，BC＝6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若BE＝2DE，则FC＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
16．（2分）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0
二.填空题（本大题有3个小题，共10分.17小题2分；18～19小题各有2个空，每空2分）
17．（2分）计算：（﹣1）﹣2＝　 　．
18．（4分）对于代数式M：（1+）÷，（m为整式）．
（1）当m＝a+1时，化简M的结果为 　 　；
（2）若化简M的结果为，则m＝　 　．
19．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．
（1）若P是AC的中点，则DB＝　 　；
（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为 　 　．

三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）已知：整式A＝2x+1，B＝2x﹣1．
（1）化简A﹣2B；
（2）若无论x为何值，A•B+k（k为常数）的值都是正数，求k的取值范围．
21．（9分）如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，点P为负半轴上任意一点，它表示的数为x．
（1）计算的值；
（2）在a，b，x中，其中一个数是另两个数的平均数，求x的值；
（3）嘉琪认为：当﹣2≤x＜0时，PO+PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形．若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围．
22．（9分）某校九年级共有360名学生，某次数学测验后，小明随机抽取了40名学生的成绩进行统计，并绘制了频数分布直方图（数据分成5个组：①50≤x＜60，②60≤x＜70，③70≤x＜80，④80≤x＜90，⑤90≤x≤100），如图．
已知成绩在80≤x＜90这一组的是：80，81，82，82，83，85，86，86，86，87，88，89．
（1）在80≤x＜90这一组中，这些数据的众数为 　 　；
（2）求抽取的这40名学生的成绩的中位数；
（3）在60≤x＜70，70≤x＜80这两组中随机抽取一个成绩，记录下来再放回，然后在这两组中随机抽取一个成绩，用画树状图法求两次抽到的成绩都在70≤x＜80这一组的概率；
（4）请你估计该校九年级这360名学生中，数学成绩x≥85的有多少人．

23．（9分）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．
（1）求证：BA＝BD；
（2）若∠ABE＝60°，
①判断点F与半圆AOC所在圆的位置关系，并说明理由；
②若AB＝，直接写出阴影部分的面积．

24．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；
（2）若BC＝BA，求m的值；
（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．

25．（11分）某水果商计划从生产基地运回一批水果，所需运费为基础运费与载重运费两部分的和，基础运费为每次500元，载重运费为每吨每小时6元．经验表明，若运回水果20吨，路上恰好需要6小时，运回的水果全部批发完后，每吨水果能获得毛利润478元；若运输时每增加2吨水果，路上就会延长1小时，每延长1小时，每吨水果的毛利润会降低20元．设运回水果为x吨（20≤x≤30），路上所用时间为t小时，所需运费为y元，全部批发后水果商获得总净利润为w元（净利润＝毛利润﹣所需运费）．（不考虑损耗）
（1）用含x的式子表示t为 　 　；
（2）①求y与x的函数关系式；
②若某一次运费为1652元，则这次运回了多少吨水果？
（3）一次运回多少吨水果，水果商获得的总的净利润最大？总的最大净利润是多少？
26．（12分）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点K在CD边上，点M，N分别在AB，BC边上，且AM＝CN＝2，点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速运动，点E在CD上随P移动，且始终保持PE⊥AP；点Q从点D出发沿DC匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．
（1）当点P在MB上时，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）；
（2）当x＝5时，求tan∠PQC的值；
（3）若PB＝EC，求x的取值范围；
（4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若CK＝，请直接写出点K在线段QE上（包括端点）的总时长．


2021年河北省沧州市南皮县中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）如图，在直线l上的点是（　　）

A．点A B．点B C．点C D．点D
【分析】根据图中各点的位置可得答案．
【解答】解：如图，在直线l上的点是点B．
故选：B．
2．（3分）我国第十四个五年规划和2035年远景目标纲要中阐释了“坚持农业农村优先发展，全面推进乡村振兴”的具体目标；坚持最严格的耕地保护制度，实施高标准农田建设工程，建成10.75亿亩集中连片高标准农田．下列关于10.75亿的说法正确的是（　　）
A．10.75亿是精确到亿位
B．10.75亿是精确到十亿位
C．10.75亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝1.075，n＝9
D．10.75亿用科学记数法表示为a×10n，则a＝10.75，n＝8
【分析】将原数用科学记数法表示后即可确定正确的选项．
【解答】解：10.75亿是精确到百万位，用科学记数法表示为1.075×109，
故选：C．
3．（3分）计算：a3÷a＝（　　）
A．a2 B．a3 C．a4 D．2
【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．
【解答】解：a3÷a＝a2．
故选：A．
4．（3分）将一副三角板按如图所示的方式摆放，则∠1＝（　　）

A．45° B．60° C．65° D．75°
【分析】根据三角形外角的性质即可得到结论．
【解答】解：∠1＝30°+（90°﹣45°）＝75°，
故选：D．
5．（3分）对于：
①x2﹣4＝（x﹣2）2；
②﹣x2+1＝（x+1）（1﹣x）；
③x3+2x﹣4＝（x+2）2；
④x2﹣x+1＝（x﹣1）2．
其中因式分解正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【分析】根据因式分解的定义，因式分解的方法：运用公式法，即可作出判断．
【解答】解：①x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），原因式分解错误；
②﹣x2+1＝（x+1）（1﹣x），原因式分解正确；
③x2+4x+4＝（x+2）2，x3+2x﹣4不能因式分解，原因式分解错误；
④x2﹣x+1＝（x﹣1）2，原因式分解正确．
其中因式分解正确的是②④，
故选：D．
6．（3分）如图，是某几何体的展开图，AD＝16π，则r＝（　　）

A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】根据展开图可知该几何体是圆柱，再根据侧面的长是底面圆的周长可得答案．
【解答】解：由图可知，该几何体是圆柱，
∵AD＝16π，
∴底面圆的圆周长是16π，
故2πr＝16π，解得r＝8．
故选：C．
7．（3分）下列关于x的方程中，一定有两个不相等实数根的是（　　）
A．x2﹣kx+2021＝0 B．x2+kx﹣2021＝0
C．x2﹣2021x+k＝0 D．x2+2021x﹣k＝0
【分析】先求出Δ的值，再比较出其与0的大小即可求解．
【解答】解：A、Δ＝（﹣k）2﹣4×1×2021）＝k2﹣8084，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
B、Δ＝k2﹣4×1×（﹣2021）＝k2+8084＞0，一定有两个不相等的实数根，符合题意；
可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
C、Δ＝（﹣2021）2﹣4×1×k＝20212﹣4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意；
D、Δ＝20212﹣4×1×（﹣k）＝20212+4k，可能小于等于0，不一定有两个不相等的实数根，不符合题意．
故选：B．
8．（3分）嘉淇所在的社团，两年来人员没有变化，嘉淇计算了目前社团人员年龄的方差为1，则两年前该社团人员年龄的方差为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据两年前的同一批社团人员的年龄均减小2岁，其年龄的波动幅度不变知方差不变．
【解答】解：∵目前社团人员年龄的方差为1，而2年前，每个人的年龄均减小2，数据的波动程度不变，
∴两年前该社团人员年龄的方差为1，
故选：A．
9．（3分）如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数．当R＝4Ω时，I＝3A．若电阻R增大2Ω，则电流I为（　　）

A．1A B．2A C．3A D．5A
【分析】直接利用电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，进而得出函数关系式，求出答案．
【解答】解：设I＝，当R＝4Ω时，I＝3A时，
则3＝，
解得：U＝12，
故I＝，
若电阻R增大2Ω，则电流I为：I＝＝2（A）．
故选：B．
10．（3分）如图，在▱ABCD中，AB＝3，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别与AB，BC交于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点G，作射线BG，交AD边于点H．若cos∠ABH＝，则BH的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据直角三角形的三角函数解答即可．
【解答】解：作AK⊥BH于K，

由题意得BH平分∠ABC，
∴∠ABH＝∠HBC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AHB＝∠HBC，
∴∠ABH＝∠AHB，
∴AB＝AH，
∴BH＝2BK，
∵cos∠ABH＝，
∴BK＝2，
∴BH＝4，
故选：C．

11．（2分）不等式组的解集为x＜1，则m的取值不可能是（　　）
A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同小取小并结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：解不等式3x﹣1＜2，得：x＜1，
解不等式﹣2x≥m，得：x≤﹣，
∵不等式组的解集为x＜1，
∴﹣≥1，
解得m≤﹣2，
故选：D．
12．（2分）如图，在3×4的正方形网格图中．小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，则下列关于△ABC的说法不正确的是（　　）

A．是直角三角形 B．tanB＝1
C．面积为5 D．BC边上的高为
【分析】先利用勾股定理计算三角形的边长，再利用勾股定理的逆定理、三角形的面积公式、解直角三角形等知识点，逐个计算得结论．
【解答】解：由题图知：AC＝＝，
AB＝＝，
BC＝＝．
∵AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，故选项A正确；
∵tanB＝＝1，
∴选项B正确；
∵S△ABC＝AB×AC＝，
∴BC边上的高＝＝．故选项C正确，选项D错误．
故选：C．

13．（2分）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（　　）

A．8 B．19 C．6 D．2﹣6
【分析】根据题意求出两个小正方形的边长，可得出大正方形的边长，进而得出答案．
【解答】解：∵两个小正方形面积分别为12，10，
∴两个小正方形的边长分别为＝2，，
∴两个小正方形重合部分的边长为2+﹣大正方形的边长，
∴两个小正方形的重合部分是正方形，
∵两个小正方形重合部分的面积为3，
∴重合部分的边长为，
∴大正方形的边长是2+﹣＝+，
∴空白部分的面积为（+）2﹣（12+10﹣3）＝2﹣6．
故选：D．
14．（2分）如图，M是⊙O上一个定点，将直角三角板的30°角顶点与点M重合，两边与⊙O相交，设交点为A，B，绕点M顺时针旋转三角板，直至其中一个交点与点M重合时停止旋转，设AB＝y，旋转角为a，下列能反映y与a关系的为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由圆周角定理的推论同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等可得结论．
【解答】解：由题意可知，∠AMB＝30°，
∴线段AB的长度是不变的，
即随着旋转角a的变化，y的值是一个定值．
故选：A．
15．（2分）如图，△ABC中，BC＝6，BD是中线，E是BD上一点，作射线AE，交BC于点F，若BE＝2DE，则FC＝（　　）

A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【分析】先根据重心的性质得到点E为△ABC的重心，则AF为BC边上的中线，于是可得到FC的长．
【解答】解：∵BD是中线，BE＝2DE，
∴点E为△ABC的重心，
∴AF为BC边上的中线，
∴FC＝BF＝BC＝×6＝3．
故选：C．
16．（2分）如图，矩形OABC中，A（﹣3，0），C（0，2），抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1的顶点M在矩形OABC内部或其边上，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3≤m≤0 B．﹣3≤m≤﹣1 C．﹣1≤m≤2 D．﹣1≤m≤0
【分析】先求出顶点坐标，再确定顶点横、纵坐标的取值范围，解不等式组即可．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x﹣m）2﹣m+1，
∴顶点M（m，﹣m+1），
∵A（﹣3，0），C（0，2），顶点M在矩形OABC内部或其边上
∴，
解得：﹣1≤m≤0．
故选：D．
二.填空题（本大题有3个小题，共10分.17小题2分；18～19小题各有2个空，每空2分）
17．（2分）计算：（﹣1）﹣2＝　1　．
【分析】根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．
【解答】解：原式＝＝1，
故答案为：1．
18．（4分）对于代数式M：（1+）÷，（m为整式）．
（1）当m＝a+1时，化简M的结果为 　a+1　；
（2）若化简M的结果为，则m＝　1　．
【分析】（1）将m＝a+1代入原式，然后根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）根据题意可的m的代数式，然后根据分式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
【解答】解：（1）当m＝a+1时，
原式＝（1+）•
＝（+）•
＝•
＝a+1．
故答案为：a+1．
（2）由题意可知：m＝（•﹣1）（a﹣1）
＝[•﹣1]（a﹣1）
＝（﹣1）（a﹣1）
＝a﹣（a﹣1）
＝a﹣a+1
＝1，
故答案为：1．
19．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．
（1）若P是AC的中点，则DB＝　　；
（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为 　+1　．

【分析】（1）利用勾股定理求出PB，可得结论．
（2）过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．分别求出FH，DF，可得结论．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，AC＝BC＝2，
∵P是AC的中点，
∴CP＝AC＝，
∴BP＝＝＝，
由旋转的性质可知，BD＝BP＝，
故答案为：．

（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．

∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，
∴EF＝DE•tan30°＝，DF＝2EF＝，
∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2﹣＝2﹣，
∵DH∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴HF＝1﹣．
∴DH＝HF+DF＝+1，
故答案为：+1．
三、解答题（本大题有7个小题，共68分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）已知：整式A＝2x+1，B＝2x﹣1．
（1）化简A﹣2B；
（2）若无论x为何值，A•B+k（k为常数）的值都是正数，求k的取值范围．
【分析】（1）把相应的整式代入，再利用单项式乘多项式的法则，以及合并同类项的法则进行运算即可；
（2）利用多项式乘多项式的法则进行运算，并结合条件进行分析即可．
【解答】解：（1）A﹣2B
＝（2x+1）﹣2（2x﹣1）
＝2x+1﹣4x+2
＝﹣2x+3；
（2）A•B+k
＝（2x+1）（2x﹣1）+k
＝4x2﹣1+k，
∵无论x为何值时，4x2≥0，
若A•B+k的值是正数，则﹣1+k＞0，
解得：k＞1．
21．（9分）如图，数轴上，点A，B表示的数分别为a，b，点P为负半轴上任意一点，它表示的数为x．
（1）计算的值；
（2）在a，b，x中，其中一个数是另两个数的平均数，求x的值；
（3）嘉琪认为：当﹣2≤x＜0时，PO+PA＜AB，则以PO，PA，AB的长为边长不能构成三角形．若以PO，PA，AB的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）结合数轴得出a、b的值，代入后去绝对值符号、计算即可；
（2）分＝﹣2、＝x两种情况分别求解即可；
（3）分﹣3≤x＜﹣2、x＜﹣3两种情况，利用三角形三边关系列出对应不等式求解即可．
【解答】解：（1）由题意，得：a＝﹣2，b＝1，
∴
＝
＝
＝1；
（2）若＝﹣2，解得x＝﹣5；
若＝x，解得x＝﹣；
（3）x＜﹣，
由题意知PO＝﹣x，AB＝3，
①当﹣3≤x＜﹣2时，PO+PA＝﹣x﹣2﹣x＝﹣2x﹣2，
令﹣2x﹣2＞3，解得x＜﹣，
∴当﹣3≤x＜﹣时，能构成三角形；
②当x＜﹣3时，PA+AB＝﹣2﹣x+3＝1﹣x＞PO，能构成三角形．
综上，x＜﹣．
22．（9分）某校九年级共有360名学生，某次数学测验后，小明随机抽取了40名学生的成绩进行统计，并绘制了频数分布直方图（数据分成5个组：①50≤x＜60，②60≤x＜70，③70≤x＜80，④80≤x＜90，⑤90≤x≤100），如图．
已知成绩在80≤x＜90这一组的是：80，81，82，82，83，85，86，86，86，87，88，89．
（1）在80≤x＜90这一组中，这些数据的众数为 　86　；
（2）求抽取的这40名学生的成绩的中位数；
（3）在60≤x＜70，70≤x＜80这两组中随机抽取一个成绩，记录下来再放回，然后在这两组中随机抽取一个成绩，用画树状图法求两次抽到的成绩都在70≤x＜80这一组的概率；
（4）请你估计该校九年级这360名学生中，数学成绩x≥85的有多少人．

【分析】（1）根据众数的定义求解即可；
（2）先得出80≤x＜90这一组之前的成绩个数为2+8+8＝18，在80≤x＜90这一组之后的成绩的个数为10，再根据中位数的定义求解即可；
（3）画树状图表示出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（4）用总人数乘以样本中成绩x≥85的人数所占比例即可．
【解答】解：（1）在80≤x＜90这一组中，这些数据的众数为86，
故答案为：86；
（2）在80≤x＜90这一组之前的成绩个数为2+8+8＝18，
在80≤x＜90这一组之后的成绩的个数为10，
∴中位数是80≤x＜90这一组中第2个和第3个成绩的平均数，即＝81.5（分）；
（3）由于这两组的人数相同，所以随机抽取一个成绩，抽到每个组的可能性相等，
画树状图如下：

由树状图知共有4种等可能结果，其中符合题意的只有1种结果，
∴两次抽到的成绩都在70≤x＜80这一组的概率为；
（4）由题意得，在抽取的40名学生的成绩中，x≥85的有17人，估计九年级这360名学生中，成绩x≥85的有×360＝153（人）．
23．（9分）如图，射线AM⊥AB，O是AM上的一点，以O为圆心，OA长为半径，在AM上方作半圆AOC，BE与半圆相切于点D，交AM于点E，EF⊥BO于点F．
（1）求证：BA＝BD；
（2）若∠ABE＝60°，
①判断点F与半圆AOC所在圆的位置关系，并说明理由；
②若AB＝，直接写出阴影部分的面积．

【分析】（1）由切线长定理可得出答案；
（2）①证明△OBA≌△OEF（AAS），由全等三角形的性质得出OF＝OA，则可得出答案；
②连接OD，则OD⊥BE，由直角三角形的性质求出OD的长，根据扇形的面积公式和三角形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：∵AM⊥AB，
∴BA是半圆的切线，切点为A，
又∵BE与半圆相切于点D，
∴BA＝BD；
（2）解：①点F在半圆AOC所在的圆上，理由如下：
∵∠ABE＝60°，
∴∠BEA＝30°，
又∵OBA＝∠OBE＝∠ABE＝30°，
∴∠OBE＝∠OEB，
∴OB＝OE，
又∵∠AOB＝∠FOE，∠A＝∠F＝90°，
∴△OBA≌△OEF（AAS），
∴OF＝OA，
∴点F在半圆AOC所在的圆上；
②连接OD，则OD⊥BE，

∵OB＝OE，
∴DE＝BD＝AB＝，
∵∠OBA＝30°，
∴OD＝OA＝AB•tan30°＝＝1，
∴S阴影＝S△COE﹣S扇形COD＝＝．
24．（10分）如图，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为射线AO上的一点（点P不与点A重合），BC是△ABP的中线，点C，C′关于BP对称，设点P的横坐标为m．
（1）求点A，B的坐标，若∠APB＝45°，求PB所在直线的解析式；
（2）若BC＝BA，求m的值；
（3）若点C′在x轴下方，直接写出m的取值范围．

【分析】（1）根据直线y＝﹣2x+4可得点A，B的坐标，由∠APB＝45°得OP＝OB＝4，则P（﹣4，0），利用待定系数法可得PB所在直线的解析式；
（2）根据等腰三角形的性质得CO＝OA＝2，由中点的定义得PC＝AC＝4，则OP＝OC+PC＝2+4＝6，即可得m的值；
（3）当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．即可写出m的取值范围．
【解答】解：（1）把x＝0代入y＝﹣2x+4，得到y＝4．把y＝0代人y＝﹣2x+4，得x＝2．
∴A（2，0），B（0，4），
若∠APB＝45°，则点P在轴的负半轴上，且OP＝OB＝4．
∴P（﹣4，0），
设PB所在直钱的解析式y＝kx+b，
∴，解得．
∴PB所在直钱的解析式为y＝x+4；

（2）若BC＝BA，
∵BO⊥CA，
∴CO＝OA，
∵A（2，0），
∴C（﹣2，0），
∴AC＝4，CO＝OA＝2，
∵BC是△ABP的中线，
∴PC＝AC＝4，
∴OP＝OC+PC＝2+4＝6，
∴点P（﹣6，0），
∴m＝﹣6；

（3）0＜m＜2．
理由：当点P在x轴负半轴上时．点C′在x轴上方；点P与原点O重合时．点C′在x轴上，点P在点O，A之间时，点C在x轴下方．
∴0＜m＜2．
25．（11分）某水果商计划从生产基地运回一批水果，所需运费为基础运费与载重运费两部分的和，基础运费为每次500元，载重运费为每吨每小时6元．经验表明，若运回水果20吨，路上恰好需要6小时，运回的水果全部批发完后，每吨水果能获得毛利润478元；若运输时每增加2吨水果，路上就会延长1小时，每延长1小时，每吨水果的毛利润会降低20元．设运回水果为x吨（20≤x≤30），路上所用时间为t小时，所需运费为y元，全部批发后水果商获得总净利润为w元（净利润＝毛利润﹣所需运费）．（不考虑损耗）
（1）用含x的式子表示t为 　x﹣4　；
（2）①求y与x的函数关系式；
②若某一次运费为1652元，则这次运回了多少吨水果？
（3）一次运回多少吨水果，水果商获得的总的净利润最大？总的最大净利润是多少？
【分析】（1）根据运回水果20吨，路上恰好需要6小时，运输时每增加2吨水果，路上就会延长1小时，列出t与x的关系式；
（2）①根据运费为基础运费与载重运费两部分的和，基础运费为每次500元，载重运费为6tx列出函数关系式即可；②把1652代入①中解析式解方程即可；
（3）根据净利润＝毛利润﹣运费，列出函数关系式，由函数性质求最值即可．
【解答】解：（1）由题意得：t＝6+×1＝x﹣4（20≤x≤30），
故答案为：x﹣4（20≤x≤30）；
（2）①由题意得：y＝500+6t•x＝500+6x（x﹣4）＝3x2﹣24x+500，
∴y＝3x2﹣24x+500（20≤x≤30）；
②当y＝1652时，3x2﹣24x+500＝1652，
解得x1＝24，x2＝﹣16（舍去），
∴x＝24，
答：这次运回了24吨水果．
（3）由（1）得，运回x吨后，延长了小时，
每吨利润为478﹣20×＝﹣10x+678（元），
则w＝（﹣10x+678）⋅x﹣y
＝﹣10x2+678x﹣3x2+24x﹣500
＝﹣13x2+702x﹣500
＝﹣13（x﹣27）2+8977，
∵﹣13＜0，
∴x＝27时，w有最大值，最大值为8977，
∴当一次运回27吨水果时，净利润最大，总的最大净利润为8977元．
26．（12分）如图1和图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点K在CD边上，点M，N分别在AB，BC边上，且AM＝CN＝2，点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速运动，点E在CD上随P移动，且始终保持PE⊥AP；点Q从点D出发沿DC匀速运动，点P，Q同时出发，点Q的速度是点P的一半，点P到达点N停止，点Q随之停止．设点P移动的路程为x．
（1）当点P在MB上时，求点Q，E的距离（用含x的式子表示）；
（2）当x＝5时，求tan∠PQC的值；
（3）若PB＝EC，求x的取值范围；
（4）已知点P从点M到点B再到点N共用时20秒，若CK＝，请直接写出点K在线段QE上（包括端点）的总时长．

【分析】（1）求出DE，QD，利用线段的和差定义，可得结论；
（2）当x＝5时，点P在线段BN上，求出PC，QC，可得结论；
（3）分两种情形：①当点P在线段MB上时，四边形PBCE是矩形，可得PB＝EC．②当点P在BN上时，利用全等三角形的性质求解；
（4）由题意，点P的运动速度为＝单位长度/秒，点Q的运动速度为长度单位/秒，如图2中，设BP＝m，EC＝y，则PC＝8﹣m，构建二次函数求出y的最大值，再求出点Q，E运动到点K的时间，判断出点E先运动到K，求出两次点K在线段QE上的时间，可得结论．
【解答】解：（1）由题意，DE＝AP＝2+x，DQ＝MP＝x，
∴QE＝DE﹣DQ＝2+x﹣x＝2+x；

（2）当x＝5时，点P在线段BN上，BP＝5﹣4＝1，PC＝8﹣1＝7，
QC＝6﹣DQ＝6﹣＝，
∴tan∠PQC＝＝＝2；

（3）①当点P在线段MB上时，四边形PBCE是矩形，
∴PB＝CE，
此时0≤x≤4．
②当点P在BN上时
∵PE⊥AP，
∴∠APB+∠EPC＝90°，
∵∠APB+∠PAB＝90°，
∴∠PAB＝∠EPC，
∵∠B＝∠C＝90°，
若PB＝EC，则△APB≌△PEC，
∴AB＝PC，即PC＝6，
∴BP＝2，
∴x＝BM+BP＝6，
综上所述，满足条件的x的取值范围为：0≤x≤4或x＝6；

（4）由题意，点P的运动速度为＝单位长度/秒，点Q的运动速度为长度单位/秒．
如图2中，设BP＝m，EC＝y，则PC＝8﹣m，
∵△ABP∽△BCE，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣（m﹣4）2+，
∵﹣＜0，
∴m＝4时，y有最大值，最大值为，
当点Q运动到K时，t＝（6﹣）÷＝，
当点E运动到K时，y＝，
由＝（﹣m2+8m），
解得m＝4±，
∴两次运动到K的时间分别为（4+4﹣）÷＝16﹣2或（4+4+）÷＝16+2，
∴点E先运动到K，
∴第一次K在线段QE上时，时间＝（4+4﹣）÷﹣（4﹣）÷＝16﹣2﹣＝（﹣2）秒，
第二次K在线段QE上时，时间＝（4+4+）÷﹣＝16+2﹣＝（+2）秒，
∴总时间＝﹣2++2＝14（秒）．