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2021年河南省焦作市中考数学一检试卷 解析版
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这是一份2021年河南省焦作市中考数学一检试卷 解析版，共30页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省焦作市中考数学一检试卷
一、选择题（每小题3分.共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后的括号内.
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2021年是“十四五“开局之年，全国经济在疫情过后持续恢复，其中消费品市场加快恢复，1﹣2月份，全国社会消费品零售总额69737.2亿元，同比增长33.8%．其中“69737.2亿“用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.97372×1012 B．0.697372×1013
C．6.97372×1013 D．6.97372×1011
4．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
5．（3分）为了丰富学生的课余生活，光明中学测试成绩举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏 B．李鹏、王军、张乐
C．王军、李鹏、张乐 D．李鹏、张乐、王军
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．（x﹣3）2﹣2＝0
7．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．30° D．25°
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP
10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2 020，） B．（﹣2 019，）
C．（﹣2 018，） D．（﹣2 017，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为 ．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 ．
三.解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a＝．
17．（9分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图：
（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一范圈的人数占总参赛人数的百分比为 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由．
18．（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
19．（9分）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
21．（10分）某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
22．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小航探究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ．
（2）下表是y与x的几组对应值
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣
﹣2
4
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且0＜x1＜1＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ．
23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部成边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．
2021年河南省焦作市中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分.共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后的括号内.
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；
B、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）2021年是“十四五“开局之年，全国经济在疫情过后持续恢复，其中消费品市场加快恢复，1﹣2月份，全国社会消费品零售总额69737.2亿元，同比增长33.8%．其中“69737.2亿“用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.97372×1012 B．0.697372×1013
C．6.97372×1013 D．6.97372×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：69737.2亿＝6973720000000＝6.97372×1012，
故选：A．
4．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
5．（3分）为了丰富学生的课余生活，光明中学测试成绩举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏 B．李鹏、王军、张乐
C．王军、李鹏、张乐 D．李鹏、张乐、王军
【分析】根据加权平均数的定义分别计算出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案．
【解答】解：王军的平均成绩为＝91.3（分），
李鹏的平均成绩为＝93（分），
张乐的平均成绩为＝88（分），
所以冠军是李鹏，亚军是王军，季军是张乐，
故选：B．
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．（x﹣3）2﹣2＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．30° D．25°
【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG＝90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC﹣∠DAE＝∠ACG，即可得解．
【解答】解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP
【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
【解答】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
故C正确，不符合题意；
由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP，
故D正确，不符合题意；
由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，
∴△CDP是等边三角形，
∵CD⊥OP，
∴CP＝2CQ，
故B正确，不符合题意；
∵∠AOP＝∠BOP，
当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，
∴∠CPO＝∠BOP，
∴CP∥OB，
故A错误，符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2 020，） B．（﹣2 019，）
C．（﹣2 018，） D．（﹣2 017，）
【分析】根据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
第2020次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为+1，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，
∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2018，+1），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ﹣2﹣2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣2．
故答案为：﹣2﹣2．
12．（3分）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况有1种，
则甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为．
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为 2 ．
【分析】首先证明CF＝BC＝8，利用相似三角形的性质求出BF，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝12，AE∥BC，AB∥CD，
∴∠CFB＝∠FBA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CB＝CF＝8，
∴DF＝12﹣8＝4，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝4，
∵CF＝CB，CG⊥BF，
∴BG＝FG＝2，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝2，
故答案为2．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ 6π﹣16 ．
【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADB的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+×π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 ．
【分析】由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
【解答】解：由已知可得A（0，4）B（4，0），
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（2，2），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∵P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝AN＝4，AB＝4，
∴NB＝4−4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB＝4−2，
∴CP'＝OB−BH−2＝4−（4−2）−2＝2−2．
故答案为．
三.解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a＝．
【分析】先计算括号内分式的减法，将除式的分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝时，
原式＝﹣
＝
＝
＝
＝3+2．
17．（9分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图：
（1）本次比赛参赛选手共有 50 人，扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一范圈的人数占总参赛人数的百分比为 36% ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由．
【分析】（1）根据两个统计图中，“89.5﹣99.5”的频数为8+4＝12人、所占调查人数的24%，由频率＝可求出调查人数；求出“59.5﹣69.5”所占的百分比，由各组频率之和为100%，可求出答案；
（2）求出“69.5﹣74.5”“79.5﹣84.5”的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）求出成绩由高到低前40%的人数，调查相应的分数与88分比较即可．
【解答】解：（1）（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5﹣69.5”所占的百分比为（2+3）÷50＝10%，
∴79.5﹣89.5”所占的百分比为1﹣10%﹣30%﹣24%＝36%，
故答案为：50，36%；
（2）样本中，“69.5﹣74.5”的人数为50×30%﹣8＝7（人），
“79.5﹣84.5”的人数为50×36%﹣8＝10（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）能获奖．理由为：
获奖人数为50×40%＝20（人），
而“84.5﹣99.5”的人数为8+8+4＝20（人），
∴得分为88分的一定能获奖．
18．（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO＝90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG＝∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，从而得到GE•GF＝AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2＝2＝2；
（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．
19．（9分）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得FK＝＝，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，
∵△AEF是等边三角形，
∴AK＝（m），
∴FK＝＝（m），
∴FM＝2FK＝（m），
∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），
答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；
（2）∵∠AFE＝74°，
∴∠AFK＝37°，
∴KF＝AF•cos37°≈0.80（m），
∴FM＝2FK＝1.60（m），
∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），
6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求a的值，由顶点坐标可求点C坐标；
（2）分顶点C在线段AB下方和线段AB上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，
∴a＝0，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，
∵y＝x2﹣5x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点C坐标为（，﹣）；
（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，
由题意可得：，
解得：0≤a＜6；
当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，
∴﹣+a﹣2＝4，
∴a＝，
综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
21．（10分）某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．
【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得：＝﹣10，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x＝1.5×18＝27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），
由题意得，w＝（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）＝（3﹣a）t+6000，
根据题意得：，
解得：600≤t≤800，
∵0＜a＜5，
∴①当5﹣a＞0，即0＜a＜3时，w随t的增大而增大，
∴当t＝800时，即A类图书购进800本，B类图书购进200本时，总利润最大；
②当3﹣a＝0，即a＝3时，w与t的取值无关，购进A类图书600～800本，书店应能获得最大利润；
③当3﹣a＜0，即3＜a＜5时，w随t的增大而减小，
∴当t＝600，即A类图书购进600本，B类图书购进400本时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小航探究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 x≠1 ．
（2）下表是y与x的几组对应值
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣
﹣2
4
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质： x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小 ；
（5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且0＜x1＜1＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 y2＞y3＞y1 ．
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x＝5代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象即可求解；
（5）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1；
（2）当x＝5时，m＝，
故答案为：；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小．
故答案为：x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小；
（5）∵0＜x1＜1＜x2＜x3，
由图象得：y1、y2、y3之间的大小关系为y2＞y3＞y1．
故答案为：y2＞y3＞y1．
23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部成边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 BP＝CE ，CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．
【分析】（1）连接AC，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP＝CE，延长CE交AD于H，再根据∠CAH+∠ACH＝90°得出CE⊥AD；
（2）连接AC交BD于O，设CE交AD于H，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP＝CE，再根据∠CAH+∠ACH＝90°得出CE⊥AD；
（3）连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，利用勾股定理分别求出OA，OP，AP，EH的长度，再根据S四边形ADPE＝S△ADP+S△APE，即可求出四边形的面积．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论还成立，
理由如下：
如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD；
（3）如图3，连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝1，BO＝DO＝，
∴BD＝2，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝＝3，
∴由（2）知BP＝CE＝3，
∴DP＝BP﹣BD＝3﹣2＝，
∴OP＝2，
∴AP＝＝＝，
∵△APE是等边三角形，
∴AH＝AP＝，AE＝AP＝EP＝，
∴EH＝＝，
∵S四边形ADPE＝S△ADP+S△APE，
∴S四边形ADPE＝DP•AO+AP•EH＝××1+××＝，
∴四边形ADPE的面积是．
2021年河南省焦作市中考数学一检试卷
一、选择题（每小题3分.共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后的括号内.
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
2．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）2021年是“十四五“开局之年，全国经济在疫情过后持续恢复，其中消费品市场加快恢复，1﹣2月份，全国社会消费品零售总额69737.2亿元，同比增长33.8%．其中“69737.2亿“用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.97372×1012 B．0.697372×1013
C．6.97372×1013 D．6.97372×1011
4．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
5．（3分）为了丰富学生的课余生活，光明中学测试成绩举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏 B．李鹏、王军、张乐
C．王军、李鹏、张乐 D．李鹏、张乐、王军
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．（x﹣3）2﹣2＝0
7．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．30° D．25°
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP
10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2 020，） B．（﹣2 019，）
C．（﹣2 018，） D．（﹣2 017，）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ．
12．（3分）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为 ．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ ．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 ．
三.解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a＝．
17．（9分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图：
（1）本次比赛参赛选手共有 人，扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一范圈的人数占总参赛人数的百分比为 ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由．
18．（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
19．（9分）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
21．（10分）某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
22．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小航探究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 ．
（2）下表是y与x的几组对应值
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣
﹣2
4
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质： ；
（5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且0＜x1＜1＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 ．
23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部成边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．
2021年河南省焦作市中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分.共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填人题后的括号内.
1．（3分）﹣2021的绝对值是（ ）
A．2021 B．﹣2021 C． D．
【分析】根据绝对值的定义直接求得．
【解答】解：﹣2021的绝对值为2021，
故选：A．
2．（3分）下列正方体的展开图上每个面上都有一个汉字．其中，手的对面是口的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．
【解答】解：A、手的对面是勤，不符合题意；
B、手的对面是口，符合题意；
C、手的对面是罩，不符合题意；
D、手的对面是罩，不符合题意；
故选：B．
3．（3分）2021年是“十四五“开局之年，全国经济在疫情过后持续恢复，其中消费品市场加快恢复，1﹣2月份，全国社会消费品零售总额69737.2亿元，同比增长33.8%．其中“69737.2亿“用科学记数法表示正确的是（ ）
A．6.97372×1012 B．0.697372×1013
C．6.97372×1013 D．6.97372×1011
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．据此解答即可．
【解答】解：69737.2亿＝6973720000000＝6.97372×1012，
故选：A．
4．（3分）如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A′、D′对应，若∠1＝2∠2，则∠AEF的度数为（ ）
A．60° B．65° C．72° D．75°
【分析】由题意∠1＝2∠2，设∠2＝x，易证∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，构建方程即可解决问题．
【解答】解：由翻折的性质可知：∠AEF＝∠FEA′，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠1，
∵∠1＝2∠2，设∠2＝x，则∠AEF＝∠1＝∠FEA′＝2x，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠AEF＝2x＝72°，
故选：C．
5．（3分）为了丰富学生的课余生活，光明中学测试成绩举行歌唱比赛，最终入围决赛的三名选手的成绩统计如表：
测试项目
测试成绩
王军
李鹏
张乐
唱功
98
95
80
音乐常识
80
90
100
综合知识
85
90
100
若唱功、音乐常识、综合知识按6：3：1的比例计算总成绩，排出冠军，亚军，季军，则冠军、亚军、季军分别是（ ）
A．王军、张乐、李鹏 B．李鹏、王军、张乐
C．王军、李鹏、张乐 D．李鹏、张乐、王军
【分析】根据加权平均数的定义分别计算出三人的平均成绩，再比较大小即可得出答案．
【解答】解：王军的平均成绩为＝91.3（分），
李鹏的平均成绩为＝93（分），
张乐的平均成绩为＝88（分），
所以冠军是李鹏，亚军是王军，季军是张乐，
故选：B．
6．（3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2+2x+1＝0 B．x2+x+2＝0 C．x2﹣2x＝0 D．（x﹣3）2﹣2＝0
【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可．
【解答】解：A、Δ＝22﹣4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以A选项不符合题意；
B、Δ＝12﹣4×2＝﹣7＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；
C、Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；
D、整理整理为x2﹣6x+7＝0，Δ＝62﹣4×7＝8＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．
故选：B．
7．（3分）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E是网格线交点，则∠BAC﹣∠DAE的度数为（ ）
A．45° B．40° C．30° D．25°
【分析】如图，连接CG、AG，根据勾股定理的逆定理可得∠CAG＝90°，从而知△CAG是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：∠BAC﹣∠DAE＝∠ACG，即可得解．
【解答】解：如图，连接CG、AG，
由勾股定理得：AC2＝AG2＝12+22＝5，CG2＝12+32＝10，
∴AC2+AG2＝CG2，
∴∠CAG＝90°，
∴△CAG是等腰直角三角形，
∴∠ACG＝45°，
∵CF∥AB，
∴∠ACF＝∠BAC，
在△CFG和△ADE中，
，
∴△CFG≌△ADE（SAS），
∴∠FCG＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAE＝∠ACF﹣∠FCG＝∠ACG＝45°，
故选：A．
8．（3分）已知（﹣3，y1），（﹣2，y2），（1，y3）是抛物线y＝﹣3x2﹣12x+m上的点，则（ ）
A．y3＜y2＜y1 B．y3＜y1＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y1＜y3＜y2
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∵a＝﹣3＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣3到﹣2的距离比1到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故选：B．
9．（3分）已知锐角∠AOB，如图，
（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（ ）
A．CP∥OB B．CP＝2QC C．∠AOP＝∠BOP D．CD⊥OP
【分析】由作图知OC＝OD，CD＝CP＝DP，根据等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的性质和判定、角平分线的基本作图，逐一判断可得．
【解答】解：由作图可知：射线OP即为∠AOB的角平分线，
∴∠AOP＝∠BOP，
故C正确，不符合题意；
由作图（1）（2）可知：OC＝OD，CP＝DP，
∴OP是CD的垂直平分线，
∴CD⊥OP，
故D正确，不符合题意；
由作图（2）可知：CD＝CP＝PD，
∴△CDP是等边三角形，
∵CD⊥OP，
∴CP＝2CQ，
故B正确，不符合题意；
∵∠AOP＝∠BOP，
当OC＝CP时，∠AOP＝∠CPO，
∴∠CPO＝∠BOP，
∴CP∥OB，
故A错误，符合题意；
故选：A．
10．（3分）如图，等边△ABC的顶点A（1，1），B（3，1），规定把△ABC“先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2020次变换后，等边△ABC的顶点C的坐标为（ ）
A．（﹣2 020，） B．（﹣2 019，）
C．（﹣2 018，） D．（﹣2 017，）
【分析】根据轴对称判断出点C变换后在x轴上方，然后求出点C纵坐标，再根据平移的距离求出点C变换后的横坐标，最后写出坐标即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形AB＝3﹣1＝2，
∴点C到x轴的距离为1+2×＝+1，
横坐标为2，
∴C（2，+1），
第2020次变换后的三角形在x轴上方，
点C的纵坐标为+1，横坐标为2﹣2020×1＝﹣2018，
∴点C的对应点C′的坐标是（﹣2018，+1），
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）＝ ﹣2﹣2 ．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝﹣2﹣2．
故答案为：﹣2﹣2．
12．（3分）手机“微信”推出了红包游戏功能，它有多种玩法，其中一种为“拼手气红包“，用户设好总金额以及红包个数后，可以生成不等金额的红包，现有一用户发了三个“拼手气红包“，总金额为10元，随机被甲，乙、丙三人抢到．记金额最多、居中．最少的红包分别为A，B，C，求甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为 ．
【分析】画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：画树状图如下：
共有6种等可能的情况数，其中甲抢到红包A，乙抢到红包C的情况有1种，
则甲抢到红包A，乙抢到红包C的概率为．
故答案为：．
13．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝12，AD＝8，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，CG⊥BE，垂足为G，若EF＝2，则线段CG的长为 2 ．
【分析】首先证明CF＝BC＝8，利用相似三角形的性质求出BF，再利用勾股定理即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝12，AE∥BC，AB∥CD，
∴∠CFB＝∠FBA，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CB＝CF＝8，
∴DF＝12﹣8＝4，
∵DE∥CB，
∴△DEF∽△CBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝4，
∵CF＝CB，CG⊥BF，
∴BG＝FG＝2，
在Rt△BCG中，CG＝＝＝2，
故答案为2．
14．（3分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以BC为直径画半圆，若阴影部分的面积分别为S1，S2，则S2﹣S1＝ 6π﹣16 ．
【分析】根据图形得到S2﹣S1＝扇形ADB的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：由图形可知，扇形ADB的面积+半圆BC的面积+阴影部分①的面积﹣正方形ABCD的面积＝阴影部分②的面积，
∴S2﹣S1＝扇形ADC的面积+半圆BC的面积﹣正方形ABCD的面积
＝+×π×22﹣42
＝4π+2π﹣16
＝6π﹣16，
故答案为：6π﹣16．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是线段OC上的一个动点，连接AP，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，得到线段AP′，连接CP′，则线段CP′的最小值为 ．
【分析】由点P的运动确定P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小．
【解答】解：由已知可得A（0，4）B（4，0），
∴三角形OAB是等腰直角三角形，
∵OC⊥AB，
∴C（2，2），
又∵P是线段OC上动点，将线段AP绕点A逆时针旋转45°，
∵P在线段OC上运动，所以P'的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定P'的起点与终点，
∴P'的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段MN，
∴当线段CP′与MN垂直时，线段CP′的值最小，
在△AOB中，AO＝AN＝4，AB＝4，
∴NB＝4−4，
又∵Rt△HBN是等腰直角三角形，
∴HB＝4−2，
∴CP'＝OB−BH−2＝4−（4−2）−2＝2−2．
故答案为．
三.解答题（本大题共8题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a＝．
【分析】先计算括号内分式的减法，将除式的分子因式分解，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，最后将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝÷
＝﹣•
＝﹣，
当a＝时，
原式＝﹣
＝
＝
＝
＝3+2．
17．（9分）某校“校园主持人大赛”结束后，将所有参赛选手的比赛成绩（得分均为整数）进行整理，并分别绘制成扇形统计图和频数分布直方图，部分信息如图：
（1）本次比赛参赛选手共有 50 人，扇形统计图中“79.5﹣89.5”这一范圈的人数占总参赛人数的百分比为 36% ；
（2）补全图2频数分布直方图；
（3）赛前规定，成绩由高到低前40%的参赛选手获奖，某参赛选手的比赛成绩为88分，试判断他能否获奖，并说明理由．
【分析】（1）根据两个统计图中，“89.5﹣99.5”的频数为8+4＝12人、所占调查人数的24%，由频率＝可求出调查人数；求出“59.5﹣69.5”所占的百分比，由各组频率之和为100%，可求出答案；
（2）求出“69.5﹣74.5”“79.5﹣84.5”的频数，即可补全频数分布直方图；
（3）求出成绩由高到低前40%的人数，调查相应的分数与88分比较即可．
【解答】解：（1）（8+4）÷24%＝50（人），
“59.5﹣69.5”所占的百分比为（2+3）÷50＝10%，
∴79.5﹣89.5”所占的百分比为1﹣10%﹣30%﹣24%＝36%，
故答案为：50，36%；
（2）样本中，“69.5﹣74.5”的人数为50×30%﹣8＝7（人），
“79.5﹣84.5”的人数为50×36%﹣8＝10（人），
补全频数分布直方图如下：
（3）能获奖．理由为：
获奖人数为50×40%＝20（人），
而“84.5﹣99.5”的人数为8+8+4＝20（人），
∴得分为88分的一定能获奖．
18．（9分）如图，已知⊙O的半径为2，AB为直径，CD为弦．AB与CD交于点M，将沿CD翻折后，点A与圆心O重合，延长OA至P，使AP＝OA，连接PC
（1）求CD的长；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）点G为的中点，在PC延长线上有一动点Q，连接QG交AB于点E．交于点F（F与B、C不重合）．问GE•GF是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）连接OC，根据翻折的性质求出OM，CD⊥OA，再利用勾股定理列式求解即可；
（2）利用勾股定理列式求出PC，然后利用勾股定理逆定理求出∠PCO＝90°，再根据圆的切线的定义证明即可；
（3）连接GA、AF、GB，根据等弧所对的圆周角相等可得∠BAG＝∠AFG，然后根据两组角对应相等两三角相似求出△AGE和△FGA相似，根据相似三角形对应边成比例可得＝，从而得到GE•GF＝AG2，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【解答】（1）解：如图，连接OC，
∵沿CD翻折后，点A与圆心O重合，
∴OM＝OA＝×2＝1，CD⊥OA，
∵OC＝2，
∴CD＝2CM＝2＝2＝2；
（2）证明：∵PA＝OA＝2，AM＝OM＝1，CM＝CD＝，∠CMP＝∠OMC＝90°，
∴PC＝＝＝2，
∵OC＝2，PO＝2+2＝4，
∴PC2+OC2＝（2）2+22＝16＝PO2，
∴∠PCO＝90°，
∴PC是⊙O的切线；
（3）解：GE•GF是定值，证明如下，
连接GO并延长，交⊙O于点H，连接HF
∵点G为的中点
∴∠GOE＝90°，
∵∠HFG＝90°，且∠OGE＝∠FGH
∴△OGE∽△FGH
∴＝
∴GE•GF＝OG•GH＝2×4＝8．
19．（9分）如图1为搭建在地面上的遮阳棚，图2、图3是遮阳棚支架的示意图．遮阳棚支架由相同的菱形和相同的等腰三角形构成，滑块E，H可分别沿等长的立柱AB，DC上下移动，AF＝EF＝FG＝1m．
（1）若移动滑块使AE＝EF，求∠AFE的度数和棚宽BC的长．
（2）当∠AFE由60°变为74°时，问棚宽BC是增加还是减少？增加或减少了多少？
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠AFE＝60°，连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，求得FK＝＝，于是得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AE＝EF＝AF＝1m，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AFE＝60°，
连接MF并延长交AE于K，则FM＝2FK，
∵△AEF是等边三角形，
∴AK＝（m），
∴FK＝＝（m），
∴FM＝2FK＝（m），
∴BC＝4FM＝4≈6.92≈6.9（m），
答：∠AFE的度数为60°，棚宽BC的长约为6.9m；
（2）∵∠AFE＝74°，
∴∠AFK＝37°，
∴KF＝AF•cos37°≈0.80（m），
∴FM＝2FK＝1.60（m），
∴BC＝4FM＝6.40（m）＜6.92（m），
6.92﹣6.40＝0.52≈0.5（m），
答：当∠AFE由60°变为74°时，棚宽BC是减少了，减少了0.5m．
20．（9分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），点B的坐标为（6，4），抛物线y＝x2﹣5x+a﹣2的顶点为C．
（1）若抛物线经过点B时，求顶点C的坐标；
（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求a的值，由顶点坐标可求点C坐标；
（2）分顶点C在线段AB下方和线段AB上两种情况讨论，由图象列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：4＝36﹣5×6+a﹣2，
∴a＝0，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣5x﹣2，
∵y＝x2﹣5x﹣2＝（x﹣）2﹣，
∴顶点C坐标为（，﹣）；
（2）如图，当顶点C在线段AB下方时，
由题意可得：，
解得：0≤a＜6；
当顶点C在AB时，当x＝时，y＝4，
∴﹣+a﹣2＝4，
∴a＝，
综上所述：当0≤a＜6或时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．
21．（10分）某书店为了迎接“读书节“决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
种别
A种
B种
进价（元）
18
12
备注
①用不超过16800元购进A、B两种图书共1000本；
②A种图书不少于600本；
（1）已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【分析】（1）先设B类图书的标价为x元，则由题意可知A类图书的标价为1.5x元，然后根据题意列出方程，求解即可．
（2）先设购进A类图书t本，总利润为w元，则购进B类图书为（1000﹣t）本，根据题目中所给的信息列出不等式组，求出t的取值范围，然后根据总利润w＝总售价﹣总成本，求出最佳的进货方案．
【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元，
根据题意可得：＝﹣10，
解得：x＝18，
经检验：x＝18是原分式方程的解，且符合题意，
则A类图书的标价为：1.5x＝1.5×18＝27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5），
由题意得，w＝（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t）＝（3﹣a）t+6000，
根据题意得：，
解得：600≤t≤800，
∵0＜a＜5，
∴①当5﹣a＞0，即0＜a＜3时，w随t的增大而增大，
∴当t＝800时，即A类图书购进800本，B类图书购进200本时，总利润最大；
②当3﹣a＝0，即a＝3时，w与t的取值无关，购进A类图书600～800本，书店应能获得最大利润；
③当3﹣a＜0，即3＜a＜5时，w随t的增大而减小，
∴当t＝600，即A类图书购进600本，B类图书购进400本时，总利润最大；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
22．（10分）有这样一个问题：探究函数的图象与性质，小航根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小航探究的过程，请补充完整：
（1）函数的自变量x的取值范围是 x≠1 ．
（2）下表是y与x的几组对应值
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
2
3
4
5
6
…
y
…
0
﹣
﹣2
4
2
m
…
则m的值为 ；
（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy中描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出了图象的一部分，请根据剩余的点补全此函数的图象；
（4）观察图象，写出该函数的一条性质： x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小 ；
（5）若函数的图象上有三个点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）且0＜x1＜1＜x2＜x3，则y1、y2、y3之间的大小关系为 y2＞y3＞y1 ．
【分析】（1）根据分母不为0即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出结论；
（2）将x＝5代入函数解析式中求出m值即可；
（3）连点成线即可画出函数图象；
（4）观察函数图象即可求解；
（5）观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）由题意得：x﹣1≠0，
解得：x≠1．
故答案为：x≠1；
（2）当x＝5时，m＝，
故答案为：；
（3）图象如图所示：
（4）观察函数图象发现：x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小．
故答案为：x＜1时，y随x的增大而减小，x＞1时，y随x的增大而减小；
（5）∵0＜x1＜1＜x2＜x3，
由图象得：y1、y2、y3之间的大小关系为y2＞y3＞y1．
故答案为：y2＞y3＞y1．
23．（11分）在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD内部成边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 BP＝CE ，CE与AD的位置关系是 CE⊥AD ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；（请结合图2的情况予以证明或说理）
（3）如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB＝2，BE＝，求四边形ADPE的面积．
【分析】（1）连接AC，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP＝CE，延长CE交AD于H，再根据∠CAH+∠ACH＝90°得出CE⊥AD；
（2）连接AC交BD于O，设CE交AD于H，根据SAS证△BAP≌△CAE，即可得出BP＝CE，再根据∠CAH+∠ACH＝90°得出CE⊥AD；
（3）连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，利用勾股定理分别求出OA，OP，AP，EH的长度，再根据S四边形ADPE＝S△ADP+S△APE，即可求出四边形的面积．
【解答】解：（1）如图1，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAC＝∠PAE，
∴∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD，
故答案为：BP＝CE，CE⊥AD；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论还成立，
理由如下：
如图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴AB＝AC，∠BAC＝60°，
∵△APE是等边三角形，
∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∵∠BAP＝∠CAE，
在△BAP和△CAE中，
，
∴△BAP≌△CAE（SAS），
∴BP＝CE，∠ABP＝∠ACE＝30°，
∵∠CAH＝60°，
∴∠CAH+∠ACH＝90°，
∴∠AHC＝90°，即CE⊥AD；
（3）如图3，连接AC交BD于O，连接CE，作EH⊥AP于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BD平分∠ABC，
∴∠ABO＝30°，
∴AO＝1，BO＝DO＝，
∴BD＝2，
由（2）知CE⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CE⊥BC，
∵BE＝，BC＝AB＝2，
∴CE＝＝＝3，
∴由（2）知BP＝CE＝3，
∴DP＝BP﹣BD＝3﹣2＝，
∴OP＝2，
∴AP＝＝＝，
∵△APE是等边三角形，
∴AH＝AP＝，AE＝AP＝EP＝，
∴EH＝＝，
∵S四边形ADPE＝S△ADP+S△APE，
∴S四边形ADPE＝DP•AO+AP•EH＝××1+××＝，
∴四边形ADPE的面积是．
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