2021年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷(含解析)

这是一份2021年浙江省杭州市下城区中考数学一模试卷(含解析)，共21页。试卷主要包含了选择题.等内容，欢迎下载使用。
1．化简：2m﹣3m＝（ ）
A．mB．﹣mC．5mD．﹣5m
2．若＝1，则（ ）
A．3x＝2+1B．3x＝1﹣2C．3x﹣1＝D．3x﹣1＝1
3．下列计算结果是负数的是（ ）
A．2﹣3B．3﹣2C．（﹣2）3D．（﹣3）2
4．如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（ ）
A．a＝12，b＝16B．a＝11，b＝17C．a＝10，b＝18D．a＝9，b＝19
6．甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍，则（ ）
A．432＝2（96+x）B．432﹣x＝2×96
C．432﹣x＝2（96+x）D．432+x＝2（96﹣x）
7．某公司六位员工的月工资分别是4000元，5000元，5000元，5500元，7000元，10000元，这些数据的（ ）
A．中位数＞众数＞平均数B．中位数＞平均数＞众数
C．平均数＞众数＞中位数D．平均数＞中位数＞众数
8．若a＜0＜b＜c，则（ ）
A．a+b+c是负数B．a+b﹣c是负数
C．a﹣b+c是正数D．a﹣b﹣c是正数
9．如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
10．设二次函数y＝x2﹣kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y2＝a，y3﹣y4＝b，（ ）
A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＜3B．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5
C．若ab＞0，且a+b＜0，则k＞3D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞7
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．因式分解：a2﹣ab＝
12．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ ．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球．从中同时摸出两个球，都是红球的概率是 ．
14．在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC，则∠C＝ ．
15．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y＝，若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
16．如图，点E，点F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，连接AC，CE，CF，若CE是△ABC的角平分线，CF是△ACD的中线，且∠BCE＝∠FCD，则＝ ．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某校为了解九年级学生作业量情况，某天随机抽取了50名九年级学生进行调查，并把调查结果绘制成不完整的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），如图，已知所有学生作业完成时间均在0.5小时～2.5小时（含0.5小时，不含2.5小时）的范围内．
（1）设图中缺少部分的频数为a，求a的值．
（2）补全频数分布直方图．
（3）该校共有九年级学生500人，估计这天作业完成时间小于1小时的人数．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
19．已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．
20．某列“复兴号”高铁从A站出发，以350km/h的速度向B站匀速行驶（途中不停靠），设行驶的时间为t（h），所对应的行驶路程为s（km）．
（1）写出s关于t的函数表达式．
（2）已知B站距离A站1400km，这列高铁在上午7点时离开A站．
①几点到达B站？
②若C站在A站和B站之间，且B，C两站之间的距离为300km，借助所学的数学知识说明：列车途经C站时，已过上午10点．
21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若＝，＝2，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
22．设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），其中m为实数．
（1）若函数y的图象经过点M（4，3），求函数y的表达式．
（2）若函数y的图象的对称轴是直线x＝1，求该函数的最小值．
（3）把函数y的图象向上平移k个单位，所得图象与x轴没有交点，求证：k＞1．
23．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．
（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．
（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．
①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．
②若点E是OC的中点，求的值．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．化简：2m﹣3m＝（ ）
A．mB．﹣mC．5mD．﹣5m
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此计算即可．
解：2m﹣3m＝（2﹣3）m＝﹣m．
故选：B．
2．若＝1，则（ ）
A．3x＝2+1B．3x＝1﹣2C．3x﹣1＝D．3x﹣1＝1
【分析】根据分式基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变进行判断即可．
解：＝1，
两边同时乘2，得3x﹣1＝2，故C、D不正确；
等号两边同时加1得，3x＝2+1，故A正确．
故选：A．
3．下列计算结果是负数的是（ ）
A．2﹣3B．3﹣2C．（﹣2）3D．（﹣3）2
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及有理数的乘方运算法则分别计算得出答案．
解：A、2﹣3＝，故此选项不合题意；
B、3﹣2＝，故此选项不合题意；
C、（﹣2）3＝﹣8，故此选项符合题意；
D、（﹣3）2＝9，故此选项不合题意；
故选：C．
4．如图，在△ABC中，点D，点E分别在边AB，AC上（不与端点重合），连接DE，若DE∥BC，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先根据DE∥BC得到△ADE∽△ABC，然后得到三角形对应边的比即可得到结果．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴；
故选：C．
5．设一个直角三角形的两直角边分别是a，b，斜边是c．若用一把最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，则a，b的长可能是（ ）
A．a＝12，b＝16B．a＝11，b＝17C．a＝10，b＝18D．a＝9，b＝19
【分析】根据勾股定理可得出答案．
解：∵a＝12，b＝16，
∴斜边c＝＝＝20，
∵a＝11，b＝17，
∴斜边c＝＝＝＞20，
∵a＝10，b＝18，
∴斜边c＝＝＝＞20，
∵a＝9，b＝19，
∴斜边c＝＝＝＞20，
∵最大刻度是20cm的直尺，可一次直接测得c的长度，
∴a＝12，b＝16，
故选：A．
6．甲烧杯有432毫升酒精，乙烧杯有96毫升酒精，若从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，此时，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍，则（ ）
A．432＝2（96+x）B．432﹣x＝2×96
C．432﹣x＝2（96+x）D．432+x＝2（96﹣x）
【分析】根据“从甲烧杯倒x毫升酒精到乙烧杯后，甲烧杯中的酒精是乙烧杯中的酒精的2倍”，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
解：依题意得：432﹣x＝2（96+x）．
故选：C．
7．某公司六位员工的月工资分别是4000元，5000元，5000元，5500元，7000元，10000元，这些数据的（ ）
A．中位数＞众数＞平均数B．中位数＞平均数＞众数
C．平均数＞众数＞中位数D．平均数＞中位数＞众数
【分析】根据中位数、众数和平均数的定义分别计算，再比较大小即可．
解：这组数据的中位数为＝5250（元），众数为5000元，平均数为＝6083（元），
∴平均数＞中位数＞众数，
故选：D．
8．若a＜0＜b＜c，则（ ）
A．a+b+c是负数B．a+b﹣c是负数
C．a﹣b+c是正数D．a﹣b﹣c是正数
【分析】根据有理数加减法法则可判定求解．
解：∵a＜0＜b＜c，
∴a+b+c可能是正数，负数，或零，故错误；
a+b﹣c是负数，故正确；
a﹣b+c可能是正数，负数，或零，故错误；
a﹣b﹣c是负数，故错误；
故选：B．
9．如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．据此可得结论．
解：A．度量：①∠1，∠2，∠C，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
B．度量：②∠2，∠3，∠B，可得∠4的度数，结合∠2的度数，即可判断直线m与直线n是否平行，符合题意；
C．度量：③∠3，∠4，∠C不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
D．度量：④∠1，∠2，∠3，不能判断直线m与直线n是否平行，不合题意；
故选：B．
10．设二次函数y＝x2﹣kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y2＝a，y3﹣y4＝b，（ ）
A．若ab＜0，且a+b＜0，则k＜3B．若ab＜0，且a+b＞0，则k＜5
C．若ab＞0，且a+b＜0，则k＞3D．若ab＞0，且a+b＞0，则k＞7
【分析】用k表示a、b，再根据条件求k的范围即可得出答案．
解：∵二次函数y＝x2﹣kx+2k（k为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），
∴代入变形可得：y1＝k+1，y2＝4，y3＝9﹣k，y4＝16﹣2k，
∵y1﹣y2＝a，y3﹣y4＝b，
∴a＝k﹣3，b＝k﹣7，
A、若ab＜0，且a+b＜0，则（k﹣3）（k﹣7）＜0①，且（k﹣3）+（k﹣7）＜0②，
由①得3＜k＜7，由②得k＜5，
∴3＜k＜5，
故A不符合题意；
B、若ab＜0，且a+b＞0，则（k﹣3）（k﹣7）＜0③，且（k﹣3）+（k﹣7）＞0④，
由③得3＜k＜7，由④得k＞5，
∴5＜k＜7，
故B不符合题意；
C、若ab＞0，且a+b＜0，则（k﹣3）（k﹣7）＞0⑤，且（k﹣3）+（k﹣7）＜0⑥，
由⑤得k＜3或k＞7，由⑥得k＜5，
∴k＜3，
故C不符合题意；
D、若ab＞0，且a+b＞0，则（k﹣3）（k﹣7）＞0⑦，且（k﹣3）+（k﹣7）＞0⑧，
由⑦得k＜3或k＞7，由⑧得k＞5，
∴k＞7，
故D符合题意，
故选：D．
二.填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分.
11．因式分解：a2﹣ab＝ a（a﹣b）
【分析】直接找出公因式再提取公因式分解即可．
解：a2﹣ab＝a（a﹣b）．
故答案为：a（a﹣b）．
12．如图，点A，点B，点C在⊙O上，分别连接AB，BC，OC．若AB＝BC，∠B＝40°，则∠OCB＝ 20° ．
【分析】首先连接AO，BO，然后根据等弦对等圆心角得到∠BOC＝∠AOB，再根据三角形内角和得到∠OBA＝∠OBC，再由∠ABC＝40°，OB＝OC，即可得到结果．
解：如图，连接AO，BO，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，∠OAB＝∠OBA，
∵AB＝BC，
∴∠BOC＝∠AOB，
∴∠OBA＝（180°﹣∠AOB）＝（180°﹣∠BOC）＝∠OBC，
∵∠ABC＝40°，OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝20°．
故答案为：20°．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球（只有颜色不同），其中2个是红球，1个是白球．从中同时摸出两个球，都是红球的概率是 ．
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出摸出两个球，都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
，
共有6种等可能的结果数，其中摸出两个球，都是红球的结果数为2，
所以摸出两个球，都是红球的概率＝＝．
故答案为．
14．在等腰三角形ABC中，∠B＝30°，若AB＞BC，则∠C＝ 120° ．
【分析】先根据等腰三角形的性质和条件：AB＞BC，确定∠B＝∠C＝30°即可．
解：∵AB＞BC，
∴∠B是底角，
①当∠B＝∠A＝30°时，∠C＝120°，此时AB＞BC，符合题意；
②当∠B＝∠C＝30°时，∠A＝120°，此时AB＜BC，不符合题意；
综上，∠C＝120°．
故答案为：120°．
15．设矩形的两条邻边长分别为x，y，且满足y＝，若此矩形能被分割成3个全等的正方形，则这个矩形的对角线长是 ．
【分析】根据全等图形和矩形的性质解答即可．
解：由y＝可得，xy＝3，
∴矩形的面积＝3，
此时矩形能被分割成3个全等的正方形，
则正方形面积为1，边长也为1，
那么图形只有下面一种情况，
其对角线长为，
故答案为：．
16．如图，点E，点F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，连接AC，CE，CF，若CE是△ABC的角平分线，CF是△ACD的中线，且∠BCE＝∠FCD，则＝ ．
【分析】过点E作EG⊥AC于点G，由角平分线性质定理可得BE＝EG；设DF＝a，DC＝b，则AD＝2DF＝2a，由△BCE∽△DCF，得BE＝，再由△EAG∽△ACD，得AG＝a，在Rt△ACD中，利用勾股定理建立等式即可求出b＝a，可得出最后结论．
解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，
设DF＝a，DC＝b，
∵CF是△ACD的中线，
∴AD＝2DF＝2a，
∴BC＝2a，
∵∠BCE＝∠FCD，∠B＝∠D＝90°，
∴△BCE∽△DCF，
∴，即，
∴BE＝，
∵CE是△ABC的角平分线，∠B＝90°，EG⊥AC
∴EG＝BE＝，CG＝BC＝2a，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，
∵∠EGA＝∠D＝90°，
∴△EAG∽△ACD，
∴，即，解得AG＝a，
∴AC＝AG+CG＝3a，
在Rt△ACD中，（3a）2＝（2a）2+b2，
解得，b＝a，
∴＝＝．
故答案为：．
三.解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某校为了解九年级学生作业量情况，某天随机抽取了50名九年级学生进行调查，并把调查结果绘制成不完整的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），如图，已知所有学生作业完成时间均在0.5小时～2.5小时（含0.5小时，不含2.5小时）的范围内．
（1）设图中缺少部分的频数为a，求a的值．
（2）补全频数分布直方图．
（3）该校共有九年级学生500人，估计这天作业完成时间小于1小时的人数．
【分析】（1）根据题意和频数分布直方图中的数据，可以计算出a的值，本题得以解决；
（2）根据（1）中a的值，可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据直方图中的数据，可以计算出这天作业完成时间小于1小时的人数．
解：（1）a＝50﹣10﹣20﹣5＝15，
即a的值是15；
（2）由（1）知a＝15，
补全的频数分布直方图如右图所示；
（3）500×＝100（人），
即估计这天作业完成时间小于1小时的有100人．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，BC＝25．AD是BC边上的高，点E在边AC上，EF⊥BC于点F．
（1）求证：sinB＝sin∠CEF．
（2）若AE＝5，求证：△ABD≌△CEF．
【分析】（1）首先根据AD是BC边上的高，EF⊥BC于点F得出AD∥EF，然后根据等量代换得出∠B＝∠CEF，即可得到结果；
（2）首先根据勾股定理得出AC，进而得出CE＝AB，再根据第（1）问的结论就可以证明△ABD≌△CEF．
解：（1）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AD∥EF，∠B+∠BAD＝90°＝∠ADB，∠CFE＝90°，
∴∠CEF＝∠CAD，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAC+∠BAD＝90°，
∴∠B＝∠CAD＝∠CEF，
∴sinB＝sin∠CEF；
（2）∵AB＝15，BC＝25，
在Rt△ABC中，AC＝＝20，
∴CE＝AC﹣AE＝15，
在△ABD和△CEF中，
，
∴△ABD≌△CEF（AAS）．
19．已知x﹣2y+z＝2x﹣y+z＝3，且x，y，z的值中仅有一个为0，解这个方程组．
【分析】原式化为，②﹣①得，x+y＝0，即可得出z＝0，由解得，即可求得原方程组的解为．
解：原式化为，
②﹣①得，x+y＝0，
∵x，y，z的值中仅有一个为0，
∴z＝0，
由解得，
∴原方程组的解为．
20．某列“复兴号”高铁从A站出发，以350km/h的速度向B站匀速行驶（途中不停靠），设行驶的时间为t（h），所对应的行驶路程为s（km）．
（1）写出s关于t的函数表达式．
（2）已知B站距离A站1400km，这列高铁在上午7点时离开A站．
①几点到达B站？
②若C站在A站和B站之间，且B，C两站之间的距离为300km，借助所学的数学知识说明：列车途经C站时，已过上午10点．
【分析】（1）由路程＝速度×时间，直接求出s关于t的函数表达式；
（2）①由（1）的解析式求出当s＝1400时t的值，再加上7就即可；②求出A、C两站的距离，由①的方法即可判断．
解：（1）由题意知，s＝350t；
（2）①由（1）得：1400＝350t，
解得：t＝4，
7+4＝11（点），
∴“复兴号”在上午7点离开A站，11点到达B站；
②∵C站在A站和B站之间，且B，C两站之间的距离为300km，
∴C站距离A站1100km，
设列车从A站到C站所用时间为t1，
则1100＝350t1，
解得：t1＝，
7+＞10，
故列车途经C站时，已过上午10点．
21．如图，在△ABC中，AD是角平分线，点E，点F分别在线段AB，AD上，且∠EFD＝∠BDF．
（1）求证：△AFE∽△ADC．
（2）若＝，＝2，且∠AFE＝∠C，探索BE和DF之间的数量关系．
【分析】（1）根据AD是角平分线，得出∠BAD＝∠DAC，根据∠EFD＝∠BDF得出∠AFE＝∠ADC，进而证明△AFE∽△ADC；
（2）由（1）中的相似及∠AFE＝∠C得出∠AEF＝∠AFE，进而根据等角对等边得出AE＝AF，再根据＝及△AFE∽△ADC得出，再由＝2，AE＝AF，得出，即可得到结果．
解：（1）∵AD为∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠BDF，
∴180°﹣∠EFD＝180°﹣∠BDF，
∴∠AFE＝∠ADC，
又∵∠BAD＝∠DAC，
∴△AFE∽△ADC；
（2）由（1）得，△AFE∽△ADC，
∴∠AEF＝∠C，
∵∠AFE＝∠C，
∴∠AEF＝∠AFE，
∴AE＝AF，
∵＝，△AFE∽△ADC，
∴，
∴，
∵＝2，AE＝AF，
∴，
∴EB＝2FD．
22．设二次函数y＝（x﹣m）（x﹣m﹣2），其中m为实数．
（1）若函数y的图象经过点M（4，3），求函数y的表达式．
（2）若函数y的图象的对称轴是直线x＝1，求该函数的最小值．
（3）把函数y的图象向上平移k个单位，所得图象与x轴没有交点，求证：k＞1．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数对称轴，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．
解：（1）由函数y1的图象经过点（4，3），得：
（4﹣m）（4﹣m﹣2）＝3，
解得：m＝5或m＝1，
当m＝1时，则函数y1的函数表达式为y1＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
当m＝5时，则函数y2的函数表达式为y2＝（x﹣5）（x﹣7）＝x2﹣12x+35．
（2）∵对称轴x＝1，
∴对称轴x＝＝m+1＝1，
∴m＝0，
∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，
∴函数的最小值为﹣1．
（3）当向上平移k个单位时，y＝x2﹣2mx﹣2x+m2+2m+k，
∵此时所得图像与x轴没有交点，
∴△＝（﹣2m﹣2）2﹣4×1×（m2+2m+k）＜0，
即4m2+8m+4﹣4m2﹣8m﹣4k＜0，
∴k＞1，
23．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，且AB⊥CD，点E，点F分别在半径OC，OD上（不与点O，点C，点D重合），连接AE，EB，BF，FA．
（1）若CE＝DF，求证：四边形AEBF是菱形．
（2）过点O作OG⊥EB，分别交EB，⊙O于点H，点G，连接BG．
①若∠COG＝∠EBG，判断△OBG的形状，说明理由．
②若点E是OC的中点，求的值．
【分析】（1）根据圆的半径相等和所给条件，证明四边形AEBF的对角线互相垂直平分，即可证得四边形AEBF是菱形；
（2）①先导出∠COG＝∠EBO＝∠EBG，再通过证明三角形全等得到BO＝BG，从而自上而证得△OBG是等边三角形；
②由E是OC中点，可得＝，再根据相似三角形的性质求得OH与OG的比，便可求得结论．
解：（1）在⊙中，OA＝OB＝OC＝OD，
∵CE＝DF，
∴OC﹣CE＝OD﹣DF，
∴OE＝OF，
∵AB⊥CD，即AB⊥EF，
∴四边形AEBF是菱形．
（2）①△OBG是等边三角形．
理由如下：
∵AB⊥CD，OG⊥EB，
∴∠COB＝∠OHB＝90°，
∴∠COG＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，
∵∠COG＝∠EBG，
∴∠EBO＝∠EBG，
∵BH＝BH，∠BHO＝∠BHG＝90°
∴△BHO≌△BHG（ASA）
∴OB＝GB，
∵OB＝OG，
∴OB＝OG＝GB，
∴△OBG是等边三角形．
②设⊙的半径长为2m，则OC＝OG＝OB＝2m，
∵点E是OC的中点，
∴OE＝m，
∴BE＝＝m；
∵∠EOH＝90°﹣∠BOH＝∠EBO，
∴＝＝cs∠EBO，
∴＝，
∴HO＝m，
∴GH＝2m﹣m，
∴＝＝．