专题02 巧求圆锥曲线的方程（解析版）

这是一份专题02 巧求圆锥曲线的方程（解析版），共5页。试卷主要包含了已知渐近线方程求双曲线方程等内容，欢迎下载使用。
例1. 设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，.
求椭圆的方程；
分析：不知焦点在哪个轴上，一个解法是分类讨论，分焦点在x轴和y轴两种情况去做；再一个解法是不用分类讨论，直接设为且的形式。
解法1： = 1 \* GB3 ①设椭圆的方程为。
∵在，.椭圆上，
与矛盾，故此时不成立。
= 2 \* GB3 ②设椭圆的方程为。
∵在，.椭圆上，
故椭圆的方程为.
综上，椭圆的方程为.
解法2：（1）设椭圆的方程为且，
∵在，.椭圆上，
∴，解之.
则椭圆的方程为.
点评：显然解法2比解法1要简单得多，故以后我们尽量用解法2去做！
变式.已知双曲线过点和，则双曲线的标准方程为( )
A.B.C.D.
答案：B
解析：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为.因为两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为.故选B.
二、已知渐近线方程求双曲线方程
例2．已知双曲线过点(4，eq \r(3))，且渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为________．
分析：不知双曲线的焦点在哪个轴上，一个解法是直接设为x2－4y2＝λ(λ≠0)；再一个解法是先由点(4，eq \r(3))和渐近线y＝±eq \f(1,2)x的位置确定焦点在哪个坐标轴上。
答案：eq \f(x2,4)－y2＝1
解法1：∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，∴可设双曲线的方程为
x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，eq \r(3))，∴λ＝16－4×(eq \r(3))2＝4，
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.
解法2：∵渐近线y＝eq \f(1,2)x过点(4,2)，而eq \r(3)＜2，∴点(4，eq \r(3))在渐近线y＝eq \f(1,2)x的下方，在y＝－eq \f(1,2)x的上方(如图)．
∴双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)．
由已知条件可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,\f(16,a2)－\f(3,b2)＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，))
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,4)－y2＝1.]
变式．以y＝±x为渐近线且经过点(2,0)的双曲线方程为________．
答案：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 [以y＝±x为渐近线的双曲线为等轴双曲线，方程可设为x2－y2＝λ(λ≠0)，代入点(2,0)得λ＝4，∴x2－y2＝4，即eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1.]
小试牛刀
1. 过两点.的双曲线的标准方程为______________.
答案：
解析：∵双曲线的焦点位置不定，
∴设双曲线的方程为.
∵点在双曲线上，∴，
解得，∴所求双曲线的标准方程为
2．求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)一个焦点为(0,13)，且离心率为eq \f(13,5)；
(2)渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，且经过点A(2，－3)．
2．解：(1)由题意知双曲线的焦点在y轴上，且c＝13，因为eq \f(c,a)＝eq \f(13,5)，所以a＝5，b＝eq \r(c2－a2)＝12.故所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,25)－eq \f(x2,144)＝1.
(2)法一：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，则eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)①.因为点A(2，－3)在双曲线上，所以eq \f(4,a2)－eq \f(9,b2)＝1②.联立①②，无解．
若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，
则eq \f(a,b)＝eq \f(1,2).③，∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(9,a2)－eq \f(4,b2)＝1④。由③④联立，解得a2＝8，b2＝32.∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
法二：由双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，可设双曲线方程为eq \f(x2,22)－y2＝λ(λ≠0)，
∵A(2，－3)在双曲线上，∴eq \f(4,22)－(－3)2＝λ，即λ＝－8.
∴所求双曲线的标准方程为eq \f(y2,8)－eq \f(x2,32)＝1.
3．设椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，且过点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l的方程为：，点A为椭圆在x轴正半轴上的顶点，过点A作，垂足为M，点B在椭圆上（不同于点A）且满足：，求直线l的斜率k.
3．解：（1）设椭圆的方程为且，
∵，在椭圆上，
∴，解之.
则椭圆的方程为；
（2）椭圆的右顶点A为，
由题可知0，直线，
则直线AB的方程为，
由可知，
由得，则，
∵，∴，即，
∵，∴，∴.