专题03 利用抛物线定义巧求最值（解析版）

这是一份专题03 利用抛物线定义巧求最值（解析版），共4页。
一、将点到线的距离转化为点到焦点的距离
利用抛物线的定义将抛物线上的点到准线的距离转化为点到焦点的距离。
例1．已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋4＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为( )
A.eq \f(5\r(2),2) B．eq \f(5\r(2),2)＋1 C.eq \f(5\r(2),2)－2 D．eq \f(5\r(2),2)－1
答案：D
解析：设抛物线焦点为F，过P作PA与准线垂直，垂足为A，作PB与l垂直，垂足为B，则d1＋d2＝|PA|＋|PB|－1＝|PF|＋|PB|－1，显然当P、F、B三点共线(即P点在由F向l作垂线的垂线段上)时，d1＋d2取到最小值，最小值为eq \f(5\r(2),2)－1.
变式．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )．
A．2 B．3 C.eq \f(11,5) D.eq \f(37,16)
答案：A
.解析：直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，
即dmin＝eq \f(|4－0＋6|,5)＝2，故选择A.
二、将点到焦点的距离转化为点到准线的距离
利用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离
例2．已知点P在抛物线y2＝4x上，那么点P到点Q(2，－1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取最小值时，点P的坐标为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，1)) C．(1,2) D．(1，－2)
答案：A.
解析：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，|PF|＋|PQ|＝|PS|＋|PQ|，故最小值在S，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是－1，点P坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，－1)).
变式．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；
(2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
解：(1)如图甲所示，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．显然，A，P，F三点共线时所求的距离之和最小且最小值为|AF|，即为eq \r(5).
(2)如图乙所示，BQ垂直准线于Q且交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|，则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.
点评：抛物线中求距离和的最值，往往要用到抛物线的定义。具体是点到准线的距离转化为点到焦点距离，还是点到焦点距离转化为点到准线的距离，要根据题目确定，一般尝试之下都能成功。
小试牛刀
1．已知P为抛物线y2＝4x上一动点，记点P到y轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则|PA|＋d的最小值为( )
A．4 B.eq \r(74) C.eq \r(17)－1 D.eq \r(34)－1
1.D 因为A在抛物线的外部，所以，当点P、A、F共线时，|PA|＋|PF|最小，此时|PA|＋d也最小，|PA|＋d＝|PA|＋(|PF|－1)＝|AF|－1＝eq \r((4－1)2＋52)－1＝eq \r(34)－1.
2．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
2.A 由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.
3．F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．2 B．eq \f(7,2) C．3 D．eq \f(1,2)
3.B 如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，显然当A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值
3－(－eq \f(1,2))＝eq \f(7,2).
4.抛物线的准线与轴交于点,焦点为点,点是抛物线上的任意一点, 令
,则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D。2
4.B 过点作与准线垂直，垂足为，则,当取得最大值时，必须取得最大值，此时直线与抛物线相切，设切线方程为与联立，消去x,得,所以所以，从而的斜率为,此时,所以.
5．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，M是这条抛物线上的一个动点，P(2,2)是一个定点，则|MP|＋|MF|的最小值是____________.
5.3 过P作垂直于准线的直线，垂足为N，交抛物线于M，则|MP|＋|MF|＝|MP|＋|MN|＝|PN|＝3为所求最小值．
6．抛物线y＝－eq \f(1,4)x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
6.4 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，－3