专题04 求轨迹方程的三种重要方法（解析版）

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一般法
求轨迹方程时，没有坐标系时要先建立坐标系，设轨迹上任一点的坐标为，轨迹方程就是之间的等式，关键是找到等量关系，然后用表示。推导圆、圆锥曲线等的标准方程都用了这种方法。
例1. 点A(0，2)是圆x2＋y2＝16内的定点，B，C是这个圆上的两个动点，若BA⊥CA，求BC中点M的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．
分析：本题可用求轨迹方程的一般法，先有几何性质得到等式|OB|2＝|MO|2＋|MA|2
然后通过两点间的距离公式转化为之间的等式。
.解：设点M(x，y)．M是弦BC的中点，故OM⊥BC，又因为∠BAC＝90°，所以|MA|＝eq \f(1,2)|BC|＝|MB|.因为|MB|2＝|OB|2－|OM|2，所以|OB|2＝|MO|2＋|MA|2，
即42＝(x2＋y2)＋[(x－0)2＋(y－2)2]，化简为x2＋y2－2y－6＝0，即x2＋(y－1)2＝7.
所以所求轨迹为以(0，1)为圆心，以eq \r(7)为半径的圆．
变式.已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5．
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线被C所截得的线段的长为8，求直线的方程．
解： (1)由题意，得eq \f(|M1M|,|M2M|)＝5．eq \f(\r(x－262＋y－12),\r(x－22＋y－12))＝5，得x2＋y2－2x－2y－23＝0，
即，所以点M的轨迹方程，轨迹是以为圆心，以eq \r(7)为半径的圆．
= 2 \* GB2 ⑵当直线的斜率不存在时，直线的方程为。
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
圆心到的距离。由题意得，，
解得。∴直线l的方程为eq \f(5,12)x－y＋eq \f(23,6)＝0．即5x－12y＋46＝0．
综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．
二、相关点代入法
例2.已知点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上运动，N(4，0)，点P(x，y)为线段MN的中点．
(1)求点P(x，y)的轨迹方程；
(2)求点P(x，y)到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值和最小值．
分析：本题的第一问可用求轨迹方程的相关点代入法，P(x，y)与M(x0，y0)为相关点。
解：(1)因为点P(x，y)是MN的中点，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(x0＋4,2)，,y＝\f(y0,2)，))故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y.))将用x，y表示的x0，y0代入到xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4中得(x－2)2＋y2＝1.此式即为所求轨迹方程．
(2)由(1)知点P的轨迹是以Q(2，0)为圆心，以1为半径的圆．点Q到直线3x＋4y－86＝0的距离d＝eq \f(|6－86|,\r(32＋42))＝16.故点P到直线3x＋4y－86＝0的距离的最大值为16＋1＝17，最小值为16－1＝15.
变式．P是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，求动点Q的轨迹方程．
解：由eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))，又eq \(PF1,\s\up6(→))＋eq \(PF2,\s\up6(→))＝2eq \(PO,\s\up6(→))＝－2eq \(OP,\s\up6(→))，设Q(x，y)，则eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(OQ,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)(x，y)＝(－eq \f(x,2)，－eq \f(y,2))，即P点坐标为(－eq \f(x,2)，－eq \f(y,2))，又P点在椭圆上，
∴eq \f(（－\f(x,2)）2,a2)＋eq \f(（－\f(y,2)）2,b2)＝1，即eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1，
∴动点Q的轨迹方程为eq \f(x2,4a2)＋eq \f(y2,4b2)＝1(a>b>0)．
三、定义法
例3．已知点A(－eq \f(1,2)，0)，B是圆F：(x－eq \f(1,2)) 2＋y2＝4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，求动点P的轨迹方程．
分析：本题可用求轨迹方程的定义法，定义法就是由曲线（如圆、圆锥曲线等）的定义知道是什么曲线，再由相应的标准方程去求轨迹方程。
解:由题意知，PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，∴动点P的轨迹是以A、F为焦点的椭圆，∴a＝1，c＝eq \f(1,2)，b2＝eq \f(3,4).∴动点P的轨迹方程为x2＋eq \f(y2,\f(3,4))＝1，
即x2＋eq \f(4,3)y2＝1
变式．如图，已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，动圆P过B点且与圆A内切，设动圆P的半径为r，求圆心P的轨迹方程．
解：由题可知|PB|＝r，∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10，∴两圆的圆心距|PA|＝10－r，即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．∴点P的轨迹是以A、B两点为焦点的椭圆．∴2a＝10,
2c＝|AB|＝6.∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16， 即点P的轨迹方程为eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1.
小试牛刀
1．动点P到两定点A(－3,0)、B(3,0)距离之和为10，则点P的轨迹方程为________．
1.eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1 ∵|AB|＝612，∴G点的轨迹是椭圆，B、C是椭圆焦点．∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20，a＝10，
b2＝a2－c2＝102－62＝64，故G点的轨迹方程为eq \f(x2,100)＋eq \f(y2,64)＝1，去掉(10,0)、(－10,0)两点．
又设G(x′，y′)，A(x，y)，则有eq \f(x′2,100)＋eq \f(y′2,64)＝1.由重心坐标公式知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝\f(x,3)，,y′＝\f(y,3).))
故A点轨迹方程为eq \f(\f(x,3)2,100)＋eq \f(\f(y,3)2,64)＝1.即eq \f(x2,900)＋eq \f(y2,576)＝1，去掉(－30,0)、(30,0)两点．
6．已知点A(0，eq \r(3))和圆O1：x2＋(y＋eq \r(3))2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程．
6.解：∵|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，∴|PO1|＋|PA|＝4，又∵|O1A|＝2eq \r(3)