专题05 解决圆锥曲线问题四大策略（解析版）

这是一份专题05 解决圆锥曲线问题四大策略（解析版），共7页。试卷主要包含了巧用定义，韦达定理的应用，点差法的应用，注意联系平面几何知识等内容，欢迎下载使用。
一、巧用定义
有关圆锥曲线上的点到焦点的距离（即焦半径），曲线上的点到准线的距离，离心率等问题都可以用圆锥曲线的定义去求解，活用定义，可以缩短解题时间，减少运算量，进而提高解题的自信心。
例1.已知⊿ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则⊿ABC的周长是（ ）
A. B. 6 C. D.12
解析：设椭圆的另一焦点为F，则由椭圆的定义知,且,
所以⊿ABC的周长。故答案为C.
点评：焦点三角形是高考经常考查的知识点，处理焦点三角形用椭圆、双曲线定义及解三角形的知识。
变式. F是抛物线y2＝2x的焦点，P是抛物线上任一点，A(3,1)是定点，则|PF|＋|PA|的最小值是( )
A．2 B．eq \f(7,2) C．3 D．eq \f(1,2)
答案：B
解析：如图，|PF|＋|PA|＝|PB|＋|PA|，显然当A、B、P共线时，|PF|＋|PA|取到最小值
3－(－eq \f(1,2))＝eq \f(7,2).
二、韦达定理的应用
出现直线与圆锥曲线的位置关系，常需要设出交点坐标（设而不求），然后用韦达定理。特别是在应用弦长公式时，
弦长。
例2.已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。
解：令A、B的坐标分别为、。由椭圆的方程知
.直线的方程为 = 1 \* GB3 ①，将 = 1 \* GB3 ①代人，化简整理得
。。
。
变式. 已知斜率为2的直线l被椭圆eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1截得的弦长为eq \f(\r(30),7)，求直线l的方程．
解:设直线l的方程为y＝2x＋m，与椭圆交于A、B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1,y＝2x＋m))，消去y并整理得14x2＋12mx＋3(m2－2)＝0，所以x1＋x2＝－eq \f(6,7)m，
x1x2＝eq \f(3,14)(m2－2)，由弦长公式得|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(5)·eq \r(\f(36,49)m2－\f(6,7)m2－2)
＝eq \f(\r(30),7)，解得m＝±eq \r(13)，所以直线l的方程为y＝2x±eq \r(13).
三、点差法的应用
牵涉到弦的中点的问题往往可用点差法，点差法是圆锥曲线的重要方法之一，其实质是“设而不求”，对于某些非必求量，可根据题意设出这些变量，然后在求解过程中，把它作为过渡元素，消去它们(设元消元)，直达解题终点。
例3.已知(4,2)是直线被椭圆所截得的线段的中点，则的方程是( )
A.x＋2y+8＝0 B.x＋2y－8＝0 C.x-2y－8＝0 D.x-2y+8＝0
解法1（点差法）：设直线与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．则，
且，两式相减得，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，
所以，故直线的方程为y－2＝(x－4)，即x＋2y－8＝0.故选B．
解法2（韦达定理法）：设直线的方程为，即，它与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线方程代入椭圆方程得，
，，
解得。故直线的方程为，即x＋2y－8＝0.故选B．
点评：在此题中运算方面，解法1比解法2简便些，解法2在得到一元二次方程时较繁琐；但解法2更具有一般性，在解决弦长等问题时，往往也要用韦达定理。
变式. 中心在原点，焦点坐标为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为（ ）
A. QUOTE QUOTE B. QUOTE QUOTE C. QUOTE QUOTE D. QUOTE QUOTE
解法1（点差法）：设椭圆方程为，它与直线的交点为
A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，即
。 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 1 \* GB3 ①- = 2 \* GB3 ②得，
，即，
。所以椭圆方程为。故选C.
解法2（韦达定理法）：设椭圆方程为，它与直线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).将代入椭圆方程得，
，由弦的中点横坐标为，可得，
解得。所以椭圆方程为。故选C.
四、注意联系平面几何知识
联系平面几何知识，可利用图形的性质代替复杂的代数运算，达到化繁为简的目的。
例4．已知双曲线 ，若焦点关于直线的对称点在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A. B2 C. D.3
分析：解法1：由几何图形找到a,b,c的关系。解法2：表示出F的对称点的坐标，代入另一条渐近线方程得到关于a,b,c的方程。
解法1（几何法）：如图设两条渐近线及x轴间的夹角分别为∠1，∠2,∠3.
则，
。
解法2（代数法）：设F的对称点M的坐标为，则，解得
。将代入得，，化简得，
，。
点评：解法1（几何法）方法简单，但思路不好想；解法2（代数法）思路自然，但运算较繁。我们应首先考虑用几何法，不行时再考虑用代数法。
变式．【2015高考浙江，文15】椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．
分析：表示出对称点的坐标，代入圆的方程得到关于a,b,c的方程。
解法1（代数法）：设关于直线的对称点为，则有，解得，所以在椭圆上，即有，解得，所以离心率。
分析：利用几何性质得到关于a,b,c的方程。
解法2（几何法）：设椭圆的左焦点为，∥OP, = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③，由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ② = 3 \* GB3 ③得。
圆锥曲线的题目往往作为高考题的压轴题，故思维量大、运算量等都比较大，但规律性也比较强。因此在学习过程中，对解题规律我们更应多加收集归纳整理！
小试牛刀
1.椭圆中，过点P的弦AB恰被P点平分，求此弦所在直线方程。
解：设弦AB的端点坐标分别为、，代人椭圆方程得，
。由中点坐标公式得
。代人③求得，即.所以弦AB所在直线方程为
,即.
2.倾斜角为的直线交椭圆于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是___________.
解析：设,则有 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②，得
= 3 \* GB3 ③,又直线AB的斜率
= 4 \* GB3 ④.又 = 5 \* GB3 ⑤.把 = 4 \* GB3 ④、 = 5 \* GB3 ⑤代人 = 3 \* GB3 ③中得,∴直线AB的方程为。由得
.所以点M的轨迹方程为。
故答案为。
3．已知椭圆方程为，试确定m的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。
解：设是椭圆上关于直线对称的相异两点，AB中点为，则 = 1 \* GB3 ①， = 2 \* GB3 ②， = 3 \* GB3 ③, = 4 \* GB3 ④,
= 5 \* GB3 ⑤, = 6 \* GB3 ⑥.由 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得
将 = 3 \* GB3 ③、 = 4 \* GB3 ④代人得.将 = 5 \* GB3 ⑤代人得.将 = 6 \* GB3 ⑥代人得,
.∴M点坐标为。而M是AB中点，∴M在椭圆内部，由,
解得.