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人教版九年级上册22.1.1 二次函数练习题
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这是一份人教版九年级上册22.1.1 二次函数练习题，共50页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
22.3.5 二次函数与系数a、b、c的关系 同步练习
一、单选题（共19题）。
1．（2021·四川中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·山东中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A.①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
6．（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021·湖南中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·四川中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·黑龙江中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·山东中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2021·江苏中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2021·湖北中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
18．（2021·湖北中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），其部分图象如图所示，则，①abc＜0；②4a﹣2b＋c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④≤a≤1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．则﹣1＜m＜n＜3；⑥对于任意的实效m，不等式a＋b＞am2＋bm恒成立．以上说法中正确的有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（共26题）。
20．（2021·山东中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
21．（2021·山东中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
22．（2021·山东中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①； ②； ③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
23．（2021·贵州中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
24．（2021·湖南九年级三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
25．（2021·贵州遵义市·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
三、解答题（共2题）。
26．（2021·山东八年级期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
0
1
2
3
4
5
…
…
0
3
…
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
27．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）直接写出点与点的坐标；
（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
答案解析
一、单选题
1．（2021·四川中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得
故②错误；
③经过
又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,
函数有最小值
化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
3．（2021·山东中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】
解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
4．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
5．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
6．（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
7．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】
先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【详解】
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
8．（2021·湖南中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2021·四川中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
10．（2021·黑龙江中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】
解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：，
故结论④错误；
当时，，
∴当时，，
即，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
11．（2021·山东中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
12．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数图像可得，，，根据对称轴判断b的符号，然后根据和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，结合根与系数的关系判断和的符号，即可确定函数y＝x＋在坐标系中的大致图象．
【详解】
解：由图像可得：，，，
对称轴，
，
ax2＋（b－k）x＋c＝0，
两个解为，
，
可得异号，
且＞，
，
故函数y＝x＋在坐标系中的
图象大致为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数，二次函数图像与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识点，正确判断的符号是解题的关键．
13．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），
∴对称轴x=，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间
∴-3＜c＜-2＜0，
∴0；故①正确；
∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），
∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∵b=-2a
∴c=，
∴-3＜＜-2，
∴﹣2＜b，故②错误；
∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；
∵a＞0，∴-a＜0
∵b=-2a
∴3a+2b=-a＜0
∴2c﹣a＞2（a+b+c），
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），
∴a+b+c=n，
∴2c﹣a＞2n；故④错误；
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
14．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①由函数 与x轴无交点，可得＜0．
②当x=1时，y=1+b+c=1．
③当x=3时，y=9+3b+c=3．
④当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得＜x，即可求出答案．
⑤根据对称轴方程得到b的值；由抛物线与y轴的交点坐标得到c的值，代入数值进行比较即可．
【详解】
①∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0；
故①错误；
②当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
③∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
故③正确；
④∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
⑤如图所示，抛物线与y轴的交点坐标是 ，则c＝3．
对称轴x＝ ＝ ，则b＝﹣3，
所以（1+c）2＝（1+3）2＝16，b2＝（﹣3）2＝9，
则（1+c）2＞b2，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数确定．
15．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】
∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
16．（2021·江苏中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴＜0可化为，
根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．
17．（2021·湖北中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，
∴，故②正确；
若，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数对称性，
则或，故③正确；
当时，① ，
当时，② ，
①+②得：，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上：②③正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．
18．（2021·湖北中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．
【详解】
解：抛物线开口向下
把，代入得
①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③正确；；
④若方程有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
19．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），其部分图象如图所示，则，①abc＜0；②4a﹣2b＋c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④≤a≤1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．则﹣1＜m＜n＜3；⑥对于任意的实效m，不等式a＋b＞am2＋bm恒成立．以上说法中正确的有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、增减性以及过特殊点，结合图象综合进行判断即可．
【详解】
解：由抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，所以b＞0，
抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间，即2≤c≤3，
所以abc＜0，
因此①正确；
由于抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴另一个交点为（﹣1，0），
所以当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b＋c＜0，
因此②正确；
由于A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，且A、C在对称轴左侧的抛物线上，
因为＞﹣2，根据抛物线的增减性可知，y1＞0＞y3，
点A、B在对称轴的两侧，且点A离对称轴较远，根据对称性可知，y2＞y1＞0，
所以y3＜0＜y1＜y2，
因此③正确；
由于a＜0，所以④不正确；
如图，由于抛物线与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），
所以抛物线的关系式可表示为y＝a（x﹣3）（x＋1），
m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．
实际上就是抛物线y＝a（x﹣3）（x＋1），当y＝2时所对应的x的值，由图象可知，﹣1＜m＜0＜n＜3，
因此⑤正确；
当x＝1时，y＝a＋b＋c的值最大，
所以当x＝m时，y＝am2＋bm＋c≤a＋b＋c，
即a＋b≥am2＋bm，
因此⑥不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次函数图象的综合判断，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质特点．
二、填空题
20．（2021·山东中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
21．（2021·山东中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
22．（2021·山东中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（2021·贵州中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【分析】
根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
24．（2021·湖南九年级三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【分析】
根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当00,故②错误．
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
【点睛】
本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
25．（2021·贵州遵义市·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案】①③④
【分析】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
【详解】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
三、解答题
26．（2021·山东八年级期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
0
1
2
3
4
5
…
…
0
3
…
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1），，见解析；（2）②③④；（3）或
【分析】
（1）分别代入x求y．
（2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集．
【详解】
解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填：，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得，或
【点睛】
本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
27．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）直接写出点与点的坐标；
（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）、；（2）或者
【分析】
（1）在二次函数中，令x=0可以得到A点坐标，再由题意可得B点坐标；
（2）分m=0，m<0，m>0三种情况并结合二次函数的图象进行讨论．
【详解】
解：（1）在二次函数解析式中，令x=0，则y=1，
∴A点坐标为：，
又将点 A 向右平移4个单位长度得到点 B，
∴B点坐标为： ；
（2）直线解析式为，该二次函数图像会经过定点
①当时，抛物线解析式为，顶点恰是点，与线段仅有一个交点点；
②当时，在范围内，随增大而增大，对称轴为直线，恰与线段仅有一个交点点；
③当，在范围内，会先随增大而减小，再随增大而增大，当时，对称轴为直线，此时抛物线恰好与线段有两个交点分别是点和点，因此当时，抛物线恰好与线段有一个交点，
综上所述，或者．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与解析式是解题关键 ．
22.3.5 二次函数与系数a、b、c的关系 同步练习
一、单选题（共19题）。
1．（2021·四川中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2021·山东中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（ ）
A.①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤
6．（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
8．（2021·湖南中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2021·四川中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（2021·黑龙江中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①； ②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2021·山东中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
13．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
16．（2021·江苏中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
17．（2021·湖北中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
18．（2021·湖北中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
19．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），其部分图象如图所示，则，①abc＜0；②4a﹣2b＋c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④≤a≤1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．则﹣1＜m＜n＜3；⑥对于任意的实效m，不等式a＋b＞am2＋bm恒成立．以上说法中正确的有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
二、填空题（共26题）。
20．（2021·山东中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
21．（2021·山东中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
22．（2021·山东中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①； ②； ③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
23．（2021·贵州中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
24．（2021·湖南九年级三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
25．（2021·贵州遵义市·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
三、解答题（共2题）。
26．（2021·山东八年级期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
0
1
2
3
4
5
…
…
0
3
…
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
27．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）直接写出点与点的坐标；
（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
答案解析
一、单选题
1．（2021·四川中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④（）；⑤若方程＝1有四个根，则这四个根的和为2，其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口向下，对称轴方程以及图象与y轴的交点得到a，b，c的取值，于是可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点的个数可对②进行判断；根据对称轴可得，则，根据可得，代入变形可对③进行判断；当时，的值最大，即当时，即>，则可对④进行判断；由于方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，则利用根与系数的关系可对⑤进行判断．
【详解】
解：①∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴b＞0，
∴abc＜0，①错误；
②∵抛物线与x轴有两个交点
∴>0
∴，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴，
∴
由图象得，当时，，
∴
∴，故③正确；
④当时，的值最大，
∴当时，>，
∴（），
∵b＞0，
∴（），故④正确；
⑤∵方程|ax2+bx+c|=1有四个根，
∴方程ax2+bx+c=1有2个根，方程ax2+bx+c=-1有2个根，
∴所有根之和为2×（-）=2×=4，所以⑤错误．
∴正确的结论是③④，
故选：A
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
2．（2021·四川中考真题）如图，已知抛物线（，，为常数，）经过点，且对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④无论，，取何值，抛物线一定经过；⑤．其中正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】
①根据图像开口向上，对称轴位置，与y轴交点分别判断出a,b,c的正负
②根据对称轴公式，判断的大小关系
③根据时，，比较与0的大小；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等结合②的结论判断即可
⑤根据抛物线对称轴找到顶点坐标的纵坐标，比较任意一点与顶点的纵坐标值，即比较函数值的大小即可判断结论．
【详解】
①图像开口朝上，故 ，根据对称轴“左同右异”可知，
图像与y轴交点位于x轴下方，可知c<0
故①正确；
②得
故②错误；
③经过
又由①得c<0
故③正确；
④根据抛物线的对称性，得到与时的函数值相等
当时，即
即
经过，即经过
故④正确；
⑤当时,, 当时,
函数有最小值
化简得，
故⑤正确．
综上所述：①③④⑤正确．
故选D．
【点睛】
本题考查二次函数图象与性质，二次函数解析式中系数与图像的关系，结合图像逐项分析,结已知条件得出结论是解题的关键．
3．（2021·山东中考真题）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝bx＋c的图象和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先通过二次函数的图像确定a、b、c的正负，再利用x=1代入解析式，得到a+b+c的正负即可判定两个函数的图像所在的象限，即可得出正确选项．
【详解】
解：由图像可知：图像开口向下，对称轴位于y轴左侧，与y轴正半轴交于一点，
可得：
又由于当x=1时，
因此一次函数的图像经过一、二、四三个象限，反比例函数的图像位于二、四象限；
故选：D．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质以及反比例函数的图像与性质，解决本题的关键是能读懂题干中的二次函数图像，能根据图像确定解析式中各系数的正负，再通过各项系数的正负判定另外两个函数的图像所在的象限，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
4．（2021·湖北中考真题）二次函数的图象的一部分如图所示．已知图象经过点，其对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④若抛物线经过点，则关于的一元二次方程的两根分别为，5，上述结论中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行逐项判断即可求解．
【详解】
解：①由图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
②∵对称轴为直线x= =1，且图象与x轴交于点（﹣1，0），
∴图象与x轴的另一个交点坐标为（3，0），b=﹣2a，
∴根据图象，当x=2时，y=4a+2b+c＞0，故②错误；
③根据图象，当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正确；
④∵抛物线经过点，
∴根据抛物线的对称性，抛物线也经过点，
∴抛物线与直线y=n的交点坐标为（﹣3，n）和（5，n），
∴一元二次方程的两根分别为，5，
故④正确，
综上，上述结论中正确结论有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与系数之间的关系是解答的关键．
5．A
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，故正确；
②∵对称轴
∴2a+b=0；故正确；
③∵2a+b=0，
∴b=﹣2a，
∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故错误；
④根据图示知，当m=1时，有最大值；
当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．
故正确．
⑤如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．
故错误．
故选A．
【点拨】
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定
抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项
系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
6．（2021·山东中考真题）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口方向以及对称轴与y轴的位置关系，即可得出a、b的正负性，由此即可得出一次函数图象经过的象限，即可得出结论．
【详解】
A. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误；
B. ∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴a>0，b<0，
∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，故本选项错误；
C. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项正确；
D. ∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴a<0，b<0，
∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，故本选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图象与一次函数图象的综合，掌握二次函数与一次函数系数与图象的关系，是解题的关键．
7．（2021·贵州中考真题）已知直线过一、二、三象限，则直线与抛物线的交点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
【答案】C
【分析】
先由直线过一、二、三象限，求出，通过判断方程实数解的个数可判断直线与抛物线交点的个数．
【详解】
解：∵直线过一、二、三象限，
∴．
由题意得：，
即，
∵△，
∴此方程有两个不相等的实数解．
∴直线与抛物线的交点个数为2个．
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．
8．（2021·湖南中考真题）二次函数的图像如图所示，点 在轴的正半轴上，且，设，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
9．（2021·四川中考真题）二次函数的图象如图所示，有下列结论：①，②，③，④，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向，对称轴，与y轴交点可得a，b，c的符号，从而判断①；再根据二次函数的对称性，与x轴的交点可得当x=-2时，y＞0，可判断②；再根据x=-1时，y取最大值可得a-b+c≥ax2+bx+c，从而判断③；最后根据x=1时，y=a+b+c，结合b=2a，可判断④．
【详解】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=-1，即，
∴b=2a，则b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＞0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点横坐标在0和1之间，
则与x轴的另一个交点在-2和-3之间，
∴当x=-2时，y=4a-2b+c＞0，故②错误；
∵x=-1时，y=ax2+bx+c的最大值是a-b+c，
∴a-b+c≥ax2+bx+c，
∴a-b≥ax2+bx，即a-b≥x（ax+b），故③正确；
∵当x=1时，y=a+b+c＜0，b=2a，
∴a+2a+c=3a+c＜0，故④正确；
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
10．（2021·黑龙江中考真题）如图，二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1；
④若点，，均在二次函数图象上，则；
⑤（m为任意实数）．
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
根据二次函数的图像及性质逐项分析即可判断．
【详解】
解：∵二次函数图象的一部分与x轴的一个交点坐标为，
∴当x=1时，，
故结论①正确；
根据函数图像可知，
当，即，
对称轴为，即，
根据抛物线开口向上，得，
∴，
∴，
即，
故结论②正确；
根据抛物线与x轴的一个交点为，
对称轴为可知：抛物线与x轴的另一个交点为(-3，0)，
∴关于x的一元二次方程的两根分别为-3和1，
故结论③正确；
根据函数图像可知：，
故结论④错误；
当时，，
∴当时，，
即，
故结论⑤错误，
综上：①②③正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，正确理解二次函数与方程的关系．
11．（2021·山东中考真题）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且经过点．下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】
先根据抛物线开口向下、与轴的交点位于轴正半轴，再根据对称轴可得，由此可判断结论①；将点代入二次函数的解析式可判断结论②③；根据二次函数的对称轴可得其增减性，由此可判断结论④；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此即可得判断结论⑤．
【详解】
解：抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴，
，
抛物线的对称轴为，
，
，则结论①正确；
将点代入二次函数的解析式得：，则结论③错误；
将代入得：，则结论②正确；
抛物线的对称轴为，
和时的函数值相等，即都为，
又当时，随的增大而减小，且，
，则结论④错误；
由函数图象可知，当时，取得最大值，最大值为，
，
，
即，结论⑤正确；
综上，正确的结论有①②⑤，共3个，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．
12．（2021·合肥市五十中学东校九年级三模）已知直线y＝kx与抛物线y＝ax2＋bx＋c在坐标系中如图所示，和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，则函数y＝x＋在坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数图像可得，，，根据对称轴判断b的符号，然后根据和是方程ax2＋（b－k）x＋c＝0的两个根，且＞，结合根与系数的关系判断和的符号，即可确定函数y＝x＋在坐标系中的大致图象．
【详解】
解：由图像可得：，，，
对称轴，
，
ax2＋（b－k）x＋c＝0，
两个解为，
，
可得异号，
且＞，
，
故函数y＝x＋在坐标系中的
图象大致为：
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了正比例函数，二次函数图像与系数的关系，一元二次方程根于系数的关系等知识点，正确判断的符号是解题的关键．
13．（2021·黑龙江中考真题）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），与x轴的一个交点B（3，0），与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间．下列结论中：①0；②﹣2＜b；③（a＋c）2﹣b2＝0；④2c﹣a＜2n，则正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据二次函数的图象和性质逐一进行判断即可
【详解】
解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（1，n），
∴对称轴x=，
∴b=-2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在（0，﹣3）和（0，﹣2）之间
∴-3＜c＜-2＜0，
∴0；故①正确；
∵抛物线线x轴的一个交点B（3，0），
∴9a+3b+c=0，抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∵b=-2a
∴c=，
∴-3＜＜-2，
∴﹣2＜b，故②错误；
∵抛物线线x轴的一个交点（-1，0），
∴a-b+c=0，
∴（a＋c）2﹣b2＝（a+b+c）（a-b+c）=0，故③正确；
∵a＞0，∴-a＜0
∵b=-2a
∴3a+2b=-a＜0
∴2c﹣a＞2（a+b+c），
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为（1，n），
∴a+b+c=n，
∴2c﹣a＞2n；故④错误；
故选：B
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
14．（2021·苏州高新区实验初级中学九年级三模）函数y＝x2+bx+c与y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2﹣4c＞0；②b+c+1＝0；③3b+c+6＝0；④当1＜x＜3时，x2+（b﹣1）x+c＜0；⑤（1+c）2＜b2．正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
①由函数 与x轴无交点，可得＜0．
②当x=1时，y=1+b+c=1．
③当x=3时，y=9+3b+c=3．
④当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得＜x，即可求出答案．
⑤根据对称轴方程得到b的值；由抛物线与y轴的交点坐标得到c的值，代入数值进行比较即可．
【详解】
①∵函数y＝x2+bx+c与x轴无交点，
∴b2﹣4c＜0；
故①错误；
②当x＝1时，y＝1+b+c＝1，
故②错误；
③∵当x＝3时，y＝9+3b+c＝3，
∴3b+c+6＝0；
故③正确；
④∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，
∴x2+bx+c＜x，
∴x2+（b﹣1）x+c＜0．
故④正确．
⑤如图所示，抛物线与y轴的交点坐标是 ，则c＝3．
对称轴x＝ ＝ ，则b＝﹣3，
所以（1+c）2＝（1+3）2＝16，b2＝（﹣3）2＝9，
则（1+c）2＞b2，
故⑤错误．
综上所述，正确的结论有2个．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴的交点个数确定．
15．（2021·天津中考真题）已知抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．有下列结论：①；②关于x的方程有两个不等的实数根；③．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】
根据函数与点的关系,一元二次方程根的判别式,不等式的性质，逐一计算判断即可
【详解】
∵抛物线（是常数，）经过点，当时，与其对应的函数值．
∴c=1＞0，a-b+c= -1,4a-2b+c＞1，
∴a-b= -2,2a-b＞0，
∴2a-a-2＞0，
∴a＞2＞0，
∴b=a+2＞0，
∴abc＞0，
∵,
∴△==＞0,
∴有两个不等的实数根；
∵b=a+2，a＞2，c=1，
∴a+b+c=a+a+2+1=2a+3，
∵a＞2，
∴2a＞4，
∴2a+3＞4+3＞7，
故选D．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，一元二次方程根的判别式，不等式的基本性质，熟练掌握二次函数的性质，灵活使用根的判别式，准确掌握不等式的基本性质是解题的关键．
16．（2021·江苏中考真题）已知二次函数的图像如图所示，有下列结论：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集为1≤＜3，正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】
根据抛物线的开口方向、于x轴的交点情况、对称轴的知识可判①②③的正误，再根据函数图象的特征确定出函数的解析式，进而确定不等式，最后求解不等式即可判定④．
【详解】
解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，故①正确；
∵抛物线与x轴没有交点
∴＜0，故②错误
∵由抛物线可知图象过（1,1），且过点（3,3）
∴8a+2b=2
∴4a+b=1，故③错误；
由抛物线可知顶点坐标为（1,1），且过点（3,3）
则抛物线与直线y=x交于这两点
∴＜0可化为，
根据图象，解得：1＜x＜3
故④错误．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图象的特征以及解不等式的相关知识，灵活运用二次函数图象的特征成为解答本题的关键．
17．（2021·湖北中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】
根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性．
【详解】
解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴交于，对称轴为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
当x=2时，位于x轴上方，
∴，故②正确；
若，当y=c时，x=-2或0，
根据二次函数对称性，
则或，故③正确；
当时，① ，
当时，② ，
①+②得：，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故④错误；
综上：②③正确，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系．
18．（2021·湖北中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】
根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可．
【详解】
解：抛物线开口向下
把，代入得
①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③正确；；
④若方程有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故选：A．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．
19．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校八年级期末）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），其部分图象如图所示，则，①abc＜0；②4a﹣2b＋c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，则有y3＜y1＜y2；④≤a≤1；⑤若m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．则﹣1＜m＜n＜3；⑥对于任意的实效m，不等式a＋b＞am2＋bm恒成立．以上说法中正确的有（ ）个．
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值、增减性以及过特殊点，结合图象综合进行判断即可．
【详解】
解：由抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，a、b异号，所以b＞0，
抛物线与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间，即2≤c≤3，
所以abc＜0，
因此①正确；
由于抛物线的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），则与x轴另一个交点为（﹣1，0），
所以当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b＋c＜0，
因此②正确；
由于A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是抛物线上的三点，且A、C在对称轴左侧的抛物线上，
因为＞﹣2，根据抛物线的增减性可知，y1＞0＞y3，
点A、B在对称轴的两侧，且点A离对称轴较远，根据对称性可知，y2＞y1＞0，
所以y3＜0＜y1＜y2，
因此③正确；
由于a＜0，所以④不正确；
如图，由于抛物线与x轴的交点为（3，0），（﹣1，0），
所以抛物线的关系式可表示为y＝a（x﹣3）（x＋1），
m，n（m＜n）为方程a（x﹣3）（x＋1）﹣2＝0的两个根．
实际上就是抛物线y＝a（x﹣3）（x＋1），当y＝2时所对应的x的值，由图象可知，﹣1＜m＜0＜n＜3，
因此⑤正确；
当x＝1时，y＝a＋b＋c的值最大，
所以当x＝m时，y＝am2＋bm＋c≤a＋b＋c，
即a＋b≥am2＋bm，
因此⑥不正确；
综上所述，正确的结论有：①②③⑤，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查二次函数图象的综合判断，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质特点．
二、填空题
20．（2021·山东中考真题）如图是抛物线的部分图象，图象过点，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③y的最大值为3；④方程有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
【答案】②④
【分析】
根据二次函数的图象与性质对各项进行判断即可．
【详解】
解：∵抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴﹣=1，即b=﹣2a＞0
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），
∴根据对称性，与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，故②正确；
根据图象，y是有最大值，但不一定是3，故③错误；
由得，
根据图象，抛物线与直线y=﹣1有交点，
∴有实数根，故④正确，
综上，正确的为②④，
故答案为：②④．
【点睛】
本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键．
21．（2021·山东中考真题）定义：为二次函数（）的特征数，下面给出特征数为的二次函数的一些结论：①当时，函数图象的对称轴是轴；②当时，函数图象过原点；③当时，函数有最小值；④如果，当时，随的增大而减小，其中所有正确结论的序号是______．
【答案】①②③．
【分析】
利用二次函数的性质根据特征数，以及的取值，逐一代入函数关系式，然判断后即可确定正确的答案．
【详解】
解：当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，函数图象的对称轴是轴，故①正确；
当时，
把代入，可得特征数为
∴，，，
∴函数解析式为，
当时，，函数图象过原点，故②正确；
函数
当时，函数图像开口向上，有最小值，故③正确；
当时，函数图像开口向下，
对称轴为：
∴时，可能在函数对称轴的左侧，也可能在对称轴的右侧，故不能判断其增减性，故④错误；
综上所述，正确的是①②③，
故答案是：①②③．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的对称轴等知识点，牢记二次函数的基本性质是解题的关键．
22．（2021·山东中考真题）如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线，下面结论：
①；
②；
③；
④方程必有一个根大于且小于0．
其中正确的是____（只填序号）．
【答案】①②④．
【分析】
根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立．
【详解】
解：由图象可得，a＜0，b＞0，c＞0，
则abc＜0，故①正确；
∵-=1，
∴b=-2a，
∴2a+b=0，故②正确；
∵函数图象与x轴的正半轴交点在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是直线x=1，
∴函数图象与x轴的另一个交点在点（0，0）和点（-1，0）之间，故④正确；
∴当x=-1时，y=a-b+c＜0，
∴y=a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，故③错误；
故答案为：①②④．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
23．（2021·贵州中考真题）如图，二次函数的函数图像经过点（1，2），且与轴交点的横坐标分别为、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列结论：①；②；③；④当时，；⑤ ，其中正确的有 ___________．（填写正确的序号）
【答案】②④⑤
【分析】
根据二次函数的开口方向、对称轴、与x轴、y轴的交点坐标以及过特殊点时系数a、b、c满足的关系等知识进行综合判断即可．
【详解】
解：抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＞0，与y轴的交点在正半轴，c＞0，
所以abc＜0，故①错误；
对称轴在0～1之间，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正确；
当x=-2时，y=4a-b+c＜0，故③错误；
当x=m（1＜m＜2）时，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正确；
当x=-1时，y=a-b+c＜0，当x=1时，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有：②④⑤，
故答案为：②④⑤．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，不等式的性质等知识，掌握抛物线的所处的位置与系数a、b、c满足的关系是正确判断的前提．
24．（2021·湖南九年级三模）已知抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点．给出下列结论：①；②；③,是关于的一元二次方程的两个实数根．其中正确的结论是________（填写序号）．
【答案】①③
【分析】
根据抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
可以得到a>0,a,b．c的关系,然后对a,b、c进行讨论,从而可以判断①②③是否正确,从而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线开口向上且经过点,双曲线经过点,
∴ ,
∴ ,故①正确．
当a > 1时,则b、c均小于0,此时b+c<0,
当a= 1时，b+c=0，不符合题意，
当0
∴关于的一元二次方程可以转化为：,则 或 ,故③正确．
故答案为：①③
【点睛】
本题考查二次函数与图象的关系,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解答问题．
25．（2021·贵州遵义市·中考真题）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有 ___（填写序号）．
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
【答案】①③④
【分析】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，求出其解析式，得到系数之间的关系，再分别讨论每个问题.
【详解】
将（0，0），（4，0）代入抛物线表达式，得：
，解得： ，
∴抛物线解析式为 ．
① ，则，故①正确，符合题意；
② ，又a＞0，
∴ ，故②错误，不符合题意；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则有，即一元二次方程有实数根，
则 ，
∵a＞0，
∴ ，解得： ，故③正确，符合题意；
④如图，
∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t为常数，t≤0）的根为整数，
一元二次方程可化为 ，即抛物线与直线 （t为常数，t≤0）的交点横坐标为整数，如图，则横坐标可为0，1，2，3，4，有3个t满足．故④正确，满足题意．
故答案为：①③④
【点睛】
本题主要考查抛物线与坐标轴的交点、各项系数之间的关系、用根的判别式求取值范围，借助数形结合思想解题是关键.
三、解答题
26．（2021·山东八年级期末）在学习函数的中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象；
…
0
1
2
3
4
5
…
…
0
3
…
（2）根据函数图象，小明写出了该函数性质；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴是轴；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；其中正确的是__（只写序号）
（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留一位小数，误差不超过0.2）
【答案】（1），，见解析；（2）②③④；（3）或
【分析】
（1）分别代入x求y．
（2）观察图象，逐条分析判断即可．
（3）根据图象及不等式分类讨论x＞0与x＜0解集．
【详解】
解：（1）当x=-3时，
当x=3时，
故填：，
补全图象．
（2）①该函数图象不是轴对称图形，故此条性质不正确；
②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，正确；
③该函数图象与坐标轴只有一个交点，正确；
④当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，正确；
故答案为：②③④；
（3）由图象得，或
【点睛】
本题考查函数与不等式的关系，解题关键是结合图象求不等式．
27．（2021·江苏南师附中新城初中九年级二模）在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移4个单位长度得到点．
（1）直接写出点与点的坐标；
（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）、；（2）或者
【分析】
（1）在二次函数中，令x=0可以得到A点坐标，再由题意可得B点坐标；
（2）分m=0，m<0，m>0三种情况并结合二次函数的图象进行讨论．
【详解】
解：（1）在二次函数解析式中，令x=0，则y=1，
∴A点坐标为：，
又将点 A 向右平移4个单位长度得到点 B，
∴B点坐标为： ；
（2）直线解析式为，该二次函数图像会经过定点
①当时，抛物线解析式为，顶点恰是点，与线段仅有一个交点点；
②当时，在范围内，随增大而增大，对称轴为直线，恰与线段仅有一个交点点；
③当，在范围内，会先随增大而减小，再随增大而增大，当时，对称轴为直线，此时抛物线恰好与线段有两个交点分别是点和点，因此当时，抛物线恰好与线段有一个交点，
综上所述，或者．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象与解析式是解题关键 ．
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