初中数学22.2二次函数与一元二次方程综合训练题

专题22.2.2二次函数与一元二次方程同步练习（2）

一、单选题（共13题）.

1．如图，己知抛物线经过点，．当抛物线的开口向上时，的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

2．如图，抛物线与直线的交点为．当时，的取值范围是（     ）

A．    B．       C．或    D．或

3．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝2，图象和x轴的一个交点坐标为(5，0)，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是（    ）

A．－1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜－1且x＞5     D．x＜－1或x＞5

4．在平面直角坐标系中，已知点，，抛物线：，当与线段有公共点时，的取值范围是（    ）

A． B．

C．， D．或

5．关于的一元二次方程没有实数根，抛物线的顶点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．关于二次函数，下列说法错误的是（    ）

A．函数图象开口向上 B．当时，

C．当时，y随x的增大而增大 D．函数图象与x轴有两个交点

7．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④，其中结论正确的个数为（    ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

8．如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（    ）

   A．     B．   C．  D．

9．已知抛物线（，，是常数，）经过点，其对称轴为直线．有下列结论：①；②；③关于的方程有两个不等的实数根．其中，正确结论的个数是（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．抛物线经过，对称轴直线，关于的方程在的范围有实数根，则的范围（    ）

A． B． C． D．

11．二次函数（a，b，c为常数，且）中的x与y的部分对应值如下表：

下列结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程的一个根；④当时，．其中正确的是（    ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④

12．如图是抛物线，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，下列结论：其中正确结论的个数是（    ）

①；  ②；   ③；

④；   ⑤关于x的方程的另一个解在和之间，

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

13．如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动．若点A、B的坐标分别为（﹣2，3）、（1，3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（　　）

A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7

二、填空题（共15题）。

14．如图是二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象，由图象可知，满足不等式ax2+bx+c≤0的x的取值范围是_____．

15.如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是________．

16．如图，直线与抛物线（）相交于，两点，点是抛物线上位于直线下方的点，则点的横坐标的取值范围是___________．

17．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②4ac﹣b2＜0； ③m（am+b）﹣b＜a（m≠1）； ④若点A的坐标为（﹣2，0），则3a+c＜0； ⑤若点B的坐标为（4，0），则当x＜﹣2或x＞6时，y＜0； ⑥若点C的坐标为（1，2），则△ABC的面积可以等于2；⑦M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点（x1＜x2），若x1+x2＞2，则y1＜y2； ⑧若抛物线经过点（3，﹣1），则方程ax2+bx+c+1＝0的两根为﹣1，3．其中正确结论的序号为_____．

18．抛物线经过坐标系（-1，0）和（0，3）两点，对称轴，如图所示，则当时，x的取值范围是________．

19．如图为二次函数的图象，则下列说法：①；②；③；④，其中正确的为______．（填序号）

20.如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为、，抛物线的顶点P在线段上，与x轴相交于C、D两点，设点C、D的横坐标分别为、，且．若的最小值是，则的最大值是_____．

21．二次函数的大致图象如图所示，则关于的方程的解是__________．

22．二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则的最小值为________   

23．如图，若关于的二次函数的图象与轴交于两点，那么方程 的解是 ______ ．

24．已知二次函数（a，b，c为常数，）的部分图象如图所示，对称轴为直线，且与x轴的一个交点在点和之间．下列结论：①；②若点，在此抛物线上，则；③；④对于任意实数m，总有；⑤对于a的每一确定值，若一元二次方程（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个．其中正确的结论是__________（填写序号）．

25．如图，抛物线向下平移个单位后，交轴于，A两点，则的长为______．

36．已知抛物线与轴交于、两点，设抛物线顶点为，若，则的值为________．

27．抛物线y=x2﹣5x+6与x轴交于A、B两点，则AB的长为__．

28．若抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A，与x轴正半轴交于B，C两点，且BC＝2，S△ABC＝3，则b＝______．

三、解答题（共3题）。

29．根据图象，解决下列问题：

（1）求函数解析式．

（2）当，求的取值范围？

30．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）．

（1）抛物线的对称轴为         ，抛物线与y轴的交点坐标为      ；

（2）试说明直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a＜0）一定存在两个交点；

（3）若当－2≤x≤2时，y的最大值是1，求当-2≤x≤2时，y的最小值是多少？

31．阅读理解：如果联列函数与得关于x的一元二次方程（p≠0，p、q、r均为常数），则函数与图像的交点横坐标就是的两个实数根，此时有．二次函数的图像如图所示，且与一次函数的图像有两个交点和．

（1）求该二次函数的表达式；

（2）若，试判断：与有大小关系，并说明理由；

（3）若，求n的范围．

参考答案

一．单选题（共13题）。

1．A

2．D

3．D

4．D

5．B

6．D

7．D

8．D

9．C

10．C

11．C

12．D

13．C

二．填空题（共15题）。

14．x≥5或x≤-1

15．-1＜x＜2

16．

17．①②③⑤⑧

18．或．

19．②③

20．3

21．0或2．

22．-3

23．，．

24．①④⑤

25．4

26．

27．1

28．b＝－4

三．解答题（共3题）。

29．（1）；（2）x＜-1或x＞3

【分析】（1）设抛物线的解析式为：，将点（0，-3）代入即可求解；

（2）求出抛物线与x轴的交点，结合图像判断．

【详解】

解：（1）由图像可知：抛物线的顶点为（1，-4），且过点（0，-3），

∴设抛物线的解析式为：，

将（0，-3）代入，

得-3=a-4，

∴a=1，

∴函数解析式为；

（2）由（1）可知：，

∴当y=0时，即，

解得：x=-1或x=3，

即抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），

由图可知：

当y＞0时，x的取值范围是x＜-1或x＞3．

【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求不等式的解集更简便．

30．（1）直线x＝1，（0，－1）；（2）见解析；（3）．

【分析】（1）将抛物线解析式转化为顶点式解析式，得到对称轴，当时，可解得抛物线与y轴的交点坐标；

（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得到关于x的一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式解题即可；

（3）将抛物线解析式转化为顶点式，得到对称轴为直线x＝1，根据抛物线的图象与性质解题即可．

【详解】

解：（1）抛物线y＝ax2－2ax－1 ，

抛物线的对称轴为直线，

抛物线y＝ax2－2ax－1中，当时，，

抛物线与y轴的交点坐标为：

故答案为：直线x＝1，；

（2）将y＝x－2代入二次函数解析式，得x－2 ＝ ax2－2ax－1，

  则原方程可化为 ax2－（2a ＋1）x ＋1＝0，

  由根的判别式可得

＝

∴直线y＝x－2与抛物线y＝ax2－2ax－1（a ＜ 0）一定存在两个交点；

（3）∵抛物线的开口向下，对称轴直线为x＝1，顶点坐标为，

∴当－2≤x≤2时，

∵y的最大值是1，

∴顶点坐标为（1， 1），   

∴当x ＜ 1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小，

∵比离对称轴更远一些，

即x＝－2时，y有最小值，

∴最小值是，                         

即y的最小值是 .

【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、一次函数与二次函数的交点问题，涉及二次函数的最值等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键.

31．（1）；（2），见解析；（3）2≤

【分析】解：（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），利用抛物线顶点式，把点C代入得，求得即可；

（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小， 由，在对称轴右侧y随x的增大而减小， 可得；

（3）联立函数消去y得由方程恒有两个实根，知△>0，即△=（m-2）2-4(n-3)，由（m-2）2≥0，则-4(n-3)>0则n<3，由，，可得即，△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，n≥2，即可得出结论．

【详解】

（1）由图可知抛物线的顶点坐标（1，4），过y轴点C（0，3），

抛物线，把点C代入得，

，所以a=-1，

，

所以；

（2）抛物线的对称轴为x=1，<0，开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大，对称轴右侧y随x的增大而减小，

当，在对称轴右侧y随x的增大而减小，

与有大小关系为：；

（3）联立函数，

消去y得，

就是的两个实数根，

方程恒有两个不等实根，

则△>0，

△=（m-2）2-4(n-3)，

（m-2）2≥0，-4(n-3)>0，则n<3，

∴，

∵，

，

即，

，

∴△=16-4（8-2n）=8n-16≥0，

n≥2．

∴2≤n<3．