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- 24.1.5 圆的有关性质（专项练习）（基础篇） 试卷 22 次下载
- 24.2.1 点和圆的位置关系（同步练习） 试卷 9 次下载
- 24.2.2 直线和圆的位置关系（1）（同步练习） 试卷 10 次下载
- 24.2.3 直线和圆的位置关系（2）-切线长定理 （同步练习1） 试卷 10 次下载
初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习题
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这是一份初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试练习题，共89页。试卷主要包含了填空题等内容，欢迎下载使用。
专题24.1.6 圆的基本性质（专项练习）（提高篇）
一、填空题
1．如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是_______．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．
4．如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
6．如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝_____．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
9．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
10．如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为__________．
11．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是____cm．
12．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为__．
13．如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是_____cm．
14．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．
15．如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为__．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为_____．
17．如图，中，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于连接，则线段长度的最小值为__________．
18．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________．
19．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB，∠OBA＝26°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是_____．
20．如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，，CD是的一条弦，，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于______．
21．如图，在两个同心圆中，大圆弦交小圆于点、，已知.与圆心的距离，则大圆半径与小圆半径之比为________．
22．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=__________________________．
23．如图，已知的半径为4，弦垂直平分半径，与围成阴影部分，则S阴影=______．
24．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．
25．如图，已知为的直径，弦交于点，连接，，，若，，则的半径为______．
26．已知：如图，内接于，且是的直径，于，是弧中点，且交于，，．则_________________．_________________．
27．如图，的半径为2，点，，在上，，，是上一动点，则的最小值为_________．
28．如图，在⊙O中，半径OC=6，D是半径OC上一点，且 OD=4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB=90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于______．
29．如图，MN为的直径，⊙O的半径为3，点A在上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为______．
30．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，以OA、AB为邻边作平行四边形OCBA，作点B关于OA的对称点D，连接CD，则CD的最大值为________.
31．如图，为的内接三角形，，点为弧上一动点，垂直直线于点当点由点沿弧运动到点时，点经过的路径长为_______．
32．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_____．
33．如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为_____．
34．如图，AB是⊙O切线，切点为A，OB与⊙O交于E，C、D是圆上的两点，且CA平分∠DCE，若AB＝，∠B＝30°，则DE的长是_____．
35．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．
36．如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．
37．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为（﹣，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是_____．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．
39．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．
40．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
41．如图，是⊙O的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为__________．
42．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为_____度．
43．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．
44．如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
45．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
46．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40º，则圆周角∠BPC＝____.
47．如下图，已知是的直径，，，那么等于_________.
48．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__．
49．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB= ________
50．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
51．如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点是点关于的对称点，是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10．上述结论中正确的个数是_________．
52．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为________．
53．如图，在扇形中，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为____________．
54．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是_________．
55．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，若，则的度数为______度
56．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为_____________
57．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是_____．
58．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.
59．如图，点A，B，C，D在O上，C是弧的中点，若，则的度数为=______°．
60．四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是________．
61．如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________
62．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是_____．
63．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N；（3）连接 OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN=_______．
64．如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且
∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________
65．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
66．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
67．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
68．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．
69．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______．
70．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．
71．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
72．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝_____度．
73．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
74．如图，在中，点在上，则_______________________
75．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝_____.
76．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的____（把你认为正确结论的序号都填上）
77．已知：如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为___．
78．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
79．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．
80．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____．
参考答案
1．2
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，求出即可．
【详解】
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦于H，
，
，
在中，，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
2．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点拨】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
3．（-1，-2）
【详解】
分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2），
点拨：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
4．3
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】
连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
5．3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点拨】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
6．2
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的值，再根据三角函数求出CE的长，最后由垂径定理得到CD＝2CE,求得CD的长.
【详解】
根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC＝30°，∴CE＝OC×sin∠BOC＝2×＝1，∵⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∴CD＝2CE＝2.
【点拨】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.
7．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【详解】
解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=，即CD=2CH=2．
【详解】
解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故答案为2.
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
9．
【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定制，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．
【详解】
解：方法一：连接OD，即OD为定值，
又∵OC2+CD2=OD2,
∴当OC最小的时，CD最大，
当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，
CD=AB=.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
10．4
【详解】
分析：连结EO并延长交CF于点H，由旋转和相切知四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理即可求出CH的长,从而求出CF的值.
详解：连结EO并延长交CF于点H.
∵矩形绕点旋转得到矩形，
∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,
∵A′B′切⊙O与点E,
∴OE⊥A′B′,
∴四边形EB′CH是矩形，
∴EH=B′C=4,OH⊥CF,
∵AB=5,
∴OE=OC=AB=,
∴OH=,
在Rt△OCH中，根据勾股定理得CH===2,
∴CF=2CH=4.
故答案为4.
点拨：此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.
11．8
【详解】
解：做点C关于直线AB的对称点C′，连接C′D就是CM+DM的最小值，根据弧相等可得C′D为圆的直径，即最小值为8
故答案为：8
【点拨】利用对称性求最值
12．4
【详解】
解：连结OA，如图下图所示
∵OG⊥AC，
∴AG=CG，
在Rt△AOG中，OG=3，OA=5，
∴AG=，
又∵OG垂直AC,
∴AC＝2AG＝8，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，CF=BF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF= AC=4．
故答案是4．
13．2
【分析】作OH⊥MN于H，连接ON，由已知条件可得OA=OB=ON=4，OP =2，再求得OH=；在Rt△OHN中，利用勾股定理求得NH=，再利用垂径定理即可求得MNN=2cm.
【详解】
解：作OH⊥MN于H，连接ON，AB=AP+PB=8，
∴OA=OB=ON=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
∵∠NPB=45°，
∴OH=OP=，
在Rt△OHN中，NH=，
∵OH⊥MN，
∴MN=2HN=2（cm），
故答案为2.
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
14．120
【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
【详解】
连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．
15．4
【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.
【详解】
解：
如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,
又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD
其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，
∠DIC=∠ICD
ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10
可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,
可得IF=FC(垂经定理)，
在RT△IFD中，,
又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,
EF为△AIC的中位线，
EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,
四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,
故答案：4.
【点拨】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综合运用各知识求解.
16．6
【解析】
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【详解】
解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵，
∴PB＝AB，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，
则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝×6＝3，
∴AP＝2PD＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路.
17．．
【详解】
解：如图，连接，过点作，垂足为
∵，∴．
由∵，∴．
而，则．
在中，，
∴．
所以当最小即半径最小时，线段长度取到最小值，
故当时，线段长度最小．
在中，，
则此时的半径为1，
∴．
故答案为：．
18．50°．
【详解】
解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵EF为⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵AB为直径，H为CD的中点
∴AB⊥CD，即∠BHE=90°，
∵∠ACF=65°，
∴∠AOF=130°，
∴∠E=360°-∠BHE-∠OFE-∠AOF=50°，
故答案为：50°.
19．32°．
【分析】由OC⊥AB，推出弧AC＝弧BC，可得∠ADC=∠BOC，求出∠BOC即可解决问题．
【详解】
解：∵OC⊥AB，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠ADC＝∠BOC，
∵∠B＝26°，
∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ADC＝×64°＝32°，
故答案为32°．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．80.
【解析】
【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】
解：连接设CD交PE于点K，连接OK．
四边形PCED是平行四边形，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
的最小值为2，最大值为10，
，
的最小值为4，最大值为20，
线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．
【分析】首先要作出两个圆的半径,连结OB、OD，结合已知条件再根据弦心距的性质和直角三角形勾股定理求出OD=OM，OB=OM，即可求出大圆与小圆的半径之比.
【详解】
连结OB、OD.
∵ OM是AB的弦心距
∴ OM⊥AB OM⊥CD
∵ OM⊥AB OM⊥CD
∴ AM=BM CM=DM (弦心距平分所对弦)
∵ AB=2CD， AM=BM ，CM=DM
∴ AC=CM=DM=BD
∵ OM=CD
∴ OM=DM
∵ OM=DM OM⊥CD
∴ OD=OM (利用直角三角形勾股定理求值)
∵ DM=BD OM=DM
∴ BM=2OM
∵ BM=2OM ，OM⊥AB
∴ OB=OM
∵ OD=OM，OB=OM
∴ OB:OD=
∴ 大圆与小圆的半径之比为
【点拨】此题考查垂径定理及其推论与勾股定理的结合运用，解题关键在于利用直角三角形勾股定理求出OD，OB的值.
22．
【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．
【详解】
∵直径AB⊥弦CD，
∴，
∴BD=BC=5，
∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴OF是三角形ABC的中位线 ,
∴2OF=，
故答案为：．
【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
23．
【分析】根据垂径定理和直角三角形的性质可依次求得∠AOB、AB、OD，再利用所求的阴影部分的面积等于扇形面积减去△AOB的面积即可求得结果.
【详解】
解：∵的半径为4，弦垂直平分半径，
∴OB=OA=OC=4，AB=2BD，∠ODB=90°，，
∴∠OBD=30°=∠OAD，，
∴∠AOB=120°，AB=，
∴阴影部分的面积=.
故答案为：.
【点拨】本题考查了扇形面积的计算、垂径定理和直角三角形的性质，属于常见题型，熟练掌握上述图形的性质和阴影面积计算的方法是关键.
24．
【解析】
分析：根据平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，可得OE⊥AC，AE＝AC，设OE＝x，在Rt△OAE中根据勾股定理列出方程求解即可．
详解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝，
即OE＝．
故答案为：．
点拨：本题主要考查了垂径定理的推论：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．根据推论构造出直角三角形是解决此题的关键．
25．5
【分析】设的半径为，则，由垂径定理得，证明，根据对应边成比例列式求出r的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∴，解得．
故答案是：5．
【点拨】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握圆周角定理和垂径定理，以及相似三角形对应边成比例的性质．
26．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC的长，再用等面积法求出AD长，在用勾股定理求出CD的长，然后连接OF，证明，利用对应边成比例求出DE和OE的长，再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长，最终得到AF的长．
【详解】
解：∵BC是的直径，
∴，
∵，，
∴，
利用等面积法，求出，
在中，，
如图，连接OF，
∵F是弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
故答案是：；．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
27．
【分析】作A关于OB的对称点E，连接EC，交OB于P，PA+PC的最小值即为EC的长，求出EC的长即可．
【详解】
如图所示：作A关于OB的对称点E，连接EC，交OB于P，PA+PC的最小值即为EC的长，
∵∠AOC=60°，
∴∠EOC=120°，
作OD⊥EC于D，则∠EOD=60°，
∵OE=OA=2，
∴ED= OE，
∴EC=2ED=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称--最短路线的问题，特殊角的三角函数值，垂径定理，等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
28．2+
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF⊥AB,因为半径不变，当AB长度最短时，OF最大，此时A. B关于0C对称，解直角三角形即可求得OF的长度.
【详解】
解: 当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB,
设OF为x，则DF=x-4
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DF=AB=BF=x-4,
在Rt△BOF中，,
∴OB=OC=6,
∴
解得 或 (舍去)
∴OF的长的最大值等于.
故答案为2+√14.
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用等，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题的关键.
29．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AON=2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′=×60°=30°，
∴∠AOB′=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB′==3，
即PA+PB的最小值为为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记定理以及最短路线的确定方法是解题的关键．
30．3 ．
【分析】根据点B、D关于OA对称得出BD⊥OA，进而得到BD⊥CB，得出△CBD是直角三角形，CB是固定值，只有当BD最大时CD就最大，转换成求BD的最大值，BD都在圆上，所以BD的最大值就是直径，最后用勾股定理就能求出CD的最大值.
【详解】
∵平行四边形OCBA，
∴OA∥CB，OA=CB
又∵D是B点关于OA的对称点，
∴DB⊥OA，
∴DB⊥CB，
∴△CBD是直角三角形
∴
∵CB=OA=r=3是固定值
∴DB最大时就是CD最大
而B是圆上的点，D是B对称点且也在圆上
∴当BD经过原点O是直径时最大，即BD=2r=6
∴==45
解得：CD=3，即CD的最大值是3.
【点拨】本题主要考查圆的性质、垂径定理、平行四边形性质、勾股定理，找出△CBD是直角三角形和BD的最大值是直径是解题的关键.
31．
【分析】如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．当E的运动轨迹是以OC为直径的圆弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可．
【详解】
如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=，
∵∠A=60°，
∴∠COH=60°，
∴∠OCH=30°，
∴OC=，
∵∠CEO=90°，
∴当E的运动轨迹是以OC为直径的圆弧，圆心角为240°，
∴点E经过的路径长．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的外心与外接圆，轨迹，弧长公式以及垂径定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹．
32．1+
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
∵∠AOC＝120°，
∴∠COH＝60°，
在Rt△OCH中，
∵OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+.
【点拨】本题考查勾股定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形、垂径定理的推论，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
33．
【分析】如图，连接OC．证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
【详解】
如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE，CD=AE，AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴EC=EB，
∵OA=OB，
∴AC=2OE=DE，
∵OD=OC=3，
∴OE=1，DE=2，
∴CE2=OC2-OE2=CD2-DE2，
∴32-12=CD2-22，
∴AE=CD=或-（舍弃）．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
34．
【分析】连接OA，交DE于点F，如图，根据切线的性质和解直角三角形的知识可求出圆的半径，根据角平分线的定义和垂径定理的推论可得OA⊥DE，进而可得DE∥AB，DE＝2EF，然后解直角△OEF即可求出EF的长，从而可得答案．
【详解】
解：连接OA，交DE于点F，如图，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAO＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝，
∴AO＝OE＝AB＝×＝2，
∵CA平分∠DCE，
∴∠DCA＝∠ECA，
∴，
∴OA⊥DE，
∴DE∥AB，DE＝2EF，
∴∠OEF＝∠B＝30°，
∴EF＝，
∴DE＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
35．10°
【分析】因为弦CD⊥AB，垂足为E，所以DE＝CE，故△AEC≌△AED，故∠ACE＝∠ADE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAD＝40°，而因为OA＝OC，△ACO为等腰三角形，故∠CAE＝∠OCA，而根据三角形内角和等于180°，可求出∠ACE的度数，最后再求出∠OCE的度数.
【详解】
∠CAD＋∠ACE＋∠ADE＝180°，∠ACE＝∠ADE，解得：∠ACE＝50°，∠ACE＝∠ACO＋∠OCE，根据分析可知：∠ACO＝∠CAE＝40°，故解得：∠OCE＝50°－40°＝10°，故答案为10°.
【点拨】本题主要考查垂径定理的概念，熟悉垂径定理，然后根据角的运算得出所求角的度数，注意其中圆的半径都相等，可得到等腰三角形，从中来得到角的相等，就如∠CAE＝∠OCA.
36．
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】
解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【点拨】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
37．（，）
【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题；
【详解】
连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BCO=2∠BAO=120°，
过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，
∵B（-，0），
∴BD=OD=
在Rt△COD中．CD=OD•tan30°=，
∴C（-，），
故答案为C（-，）．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
38．125°
【解析】
分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点拨: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
39．105°．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
40．160°
【分析】如图，连接OD、OE、OB，由的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.
【详解】
如图，连接OD、OE、OB．
∵的度数为40°，
∴∠EOB=40°，
∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，
∵∠A=∠2，∠C=∠1，
∴∠A+∠C=（∠1+∠2）＝160°，
故答案为160°．
【点拨】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.
41．5
【分析】作点B关于直径MN的对称点C，然后连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解．
【详解】
解：作点B关于直径MN的对称点C，连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，如图所示：
=，
，
∠AON=40°，
点为弧的中点，
与的度数为20°，
∠CON=20°，
∠AOC=60°，
OA=OC，
△AOC是等边三角形，
MN=10，
AC=OA=5，
即的最小值为5，
故答案为5．
【点拨】本题主要考查最短路径及圆的基本性质，熟练掌握圆心角、圆周角及弧的等量关系是解题的关键．
42．60
【解析】
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【详解】
连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
43．68°
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧的度数，得到劣弧的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE102°=68°．
故答案为68°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
44．125°
【分析】先利用 O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】
∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3= (180°−∠A)= (180°−70°)=55°；
∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°.
故答案为125°.
【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用.
45．=
【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解
【详解】
∵∠AOB=2∠COD，
∴=2．
故答案为=
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
46．50º
【分析】根据弧与圆心角的关系与圆周角定理即可求出答案．
【详解】
解：∵，∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=100°，
∴∠BPC=∠BOC=50°，
故答案为50°．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
47．60°
【分析】根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．
【详解】
∵，，
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
48．
【详解】
解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===．
故答案为．
【点拨】本题考查①圆心角、弦、弧的关系；②圆内接四边形的性质；③解直角三角形．
49．108°
【解析】
设∠COD=∠A=x°，表示出∠AOB=（180﹣2x）°和∠OCD=∠ODC= ，然后利用三角形内角和定理求解+180﹣2x=180，解得：x=36，可求∠AOB=（180﹣2x）°=108°，
故答案为108°．
50．
【解析】
如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为：.
51．3
【分析】①根据点是点关于的对称点可知，进而可得；
②根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；
③根据等弧对等角，可知只有当和重合时，，；
④作点关于的对称点，连接，DF，此时的值最短，等于的长，然后证明DF是的直径即可得到结论．
【详解】
解：，点是点关于的对称点，
，
，①正确；，∴②正确；
的度数是60°，
的度数是120°，
∴只有当和重合时，，
∴只有和重合时，，③错误；
作关于的对称点，连接，交于点，连接交于点，此时的值最短，等于的长．
连接，并且弧的度数都是60°，
是的直径，即，
∴当点与点重合时，的值最小，最小值是10，∴④正确．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．
52．．
【解析】
连接BO，与圆交于E,连接AE,
,
所以AB+CD所对圆心角是180°，
所以，CD=AE,∠A=90°
BE=，
半径是．
53．
【分析】连接OE，过点E作EF⊥OB于F，证明EF=OF，利用勾股定理求出EF=OF=，再利用求出答案.
【详解】
如图，连接OE，过点E作EF⊥OB于F，
∵点为弧的中点，
∴，
∴∠AOE=∠BOE，
∵
∴∠AOE=∠BOE=45°，
∵EF⊥OB，
∴∠OEF=∠BOE=45°，
∴EF=OF,
∵OE=OA=4，
∵,
∴EF=OF=,
∵OC=OD=2，
∴==,
故答案为：.
【点拨】此题考查扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，将图形引出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键.
54．
【分析】连接CE，根据圆的定义，证明D、A、C、B四点共圆，可得∠ADC=∠ABC=45°，作AF⊥CD于F，构建等腰直角三角形ADF和含30°角的直角三角形AFC，可以求得AF、DF、CF的长，利用三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：连接CE，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴DE=AE=CE=BE，
∴D、A、C、B在以点E为圆心的圆上，作⊙E，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
过A作AF⊥CD于F，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=AE=AB=4，
∴AF=DF=，
∵∠CAF=∠DAB+∠BAC-∠DAF=60°+45°-45°=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AC=2AF，
由勾股定理得：CF=，
∴S△ADC=，
故答案为：4+4．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、四点共圆以及弧、弦、圆周角的关系等知识点，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．
55．65
【解析】
连接OD、OC，
∵点D为的中点，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=100°，
∴∠AOD=∠COD=50°，
∴∠A=∠ODA=65°，
故答案为65．
56．70°
【分析】根据已知条件作辅助线，连接BO,DO，已知∠A=70°根据圆心角是对应圆周角的两倍求出110°,即可求得∠BCE的度数.
【详解】
作辅助线连接BO,DO
∵圆心角是对应圆周角的两倍，
故答案为70°.
【点拨】此题考查圆心角与圆周角之间的关系，解题在于熟练掌握圆周角与对应圆心角之间的关系换算.
57．4
【分析】连接OC交EF于点D，连接OE，由圆心角定理和圆周角定理易得CO⊥AB，再由中位线定理可得CD=DO，OC⊥EF，则由垂径定理可得EF=2ED. 在RT△EDO中运用勾股定理即可求解
【详解】
解：连接OC交EF于点D，连接OE，
PC是∠APB的平分线，由圆心角定理可知=，进而可得∠AOC=∠BOC=90°，由题干条件EF是△ABC的中位线所在的直线，根据中位线定理可得EF∥AB，则可得∠ODE=∠AOC=90°，OD=OC=2.同时由垂径定理可得EF=2ED，在RT△EDO中运用勾股定理：OD2+ED2=OE2，则ED=，即EF=2ED=4.
故答案为4.
【点拨】本题综合考查了圆心角定理、圆周角定理以及垂径定理，熟悉各定理是解题关键.
58．90
【详解】
解：如图∠A，∠B，∠C可分别看成是的圆周角，
而，
所以∠A＋∠B＋∠C=90°
考点：圆周角与圆心角的关系
点评：本题考察圆周角与圆心角的关系，本题看出这三个角的圆心角是一个平角是解本题的关键
59．40°
【分析】由点C是弧的中点，可知=，根据在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，因为∠ODC=50°，因为∠COD=180°-50°-50°=80°，所以∠BAC= ；
【详解】
∵点C是弧的中点，
∴ =，
∵∠ODC=50°，
∴∠OCD=50°，
∴∠COD=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAC=，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，正确理解该知识点是解题的关键；
60．或或或
【解析】
连接OC，∵四边形OBCD是平行四边形， OB=OD，∴平行四边形OBCD是菱形，∴OB=BC=CD=OD，∵OC=OB=OD，∴△OBC与△OCD是等边三角形，∴∠BOC=∠BCO=∠DOC=∠DCO=60°，∴∠BOD=∠BCD=120°，
如图1、图3、图4时，∠A= ∠BOD=60°，∴图1中∠OBA+∠ODA=60°，图3中∠OBA-∠ODA=60°，图4中∠ODA-∠OBA=60°；
如图2时，∠A=∠BCD=120°，∴∠OBA+∠ODA=120°.
综上，∠OBA+∠ODA=60°或∠OBA-∠ODA=60°或∠ODA-∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°.
点拨：本题主要考查圆周角定理、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形 等知识，能正确地分类讨论点A所处的位置是解决本题的关键.
61．120°
【解析】
弧AC上任取一点P,连接AP,CP,所以∠APC=60°，所以∠AOC=120°.
62．80°．
【分析】根据是所对圆周角，则，由，根据垂径定理，即可得出结论.
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为.
【点拨】本题主要考查圆周角定理和垂径定理.关键是熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一半及垂径定理解决问题.
63．60°
【分析】根据等弧或等弦所对的圆心角相等即可得到∠COM=COD=∠DON=20°，从而判断△OMN是等边三角形即可解答．
【详解】
解：由作图可知：CM=CD=DN，
∴∠COM=COD=∠DON=20°，
∴∠MON=60°，
又∵OM=ON，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠OMN=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到△OMN是等边三角形．
64．15°
【解析】
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠EAD=∠2，
∴∠1=∠EAD+∠2=2∠EAD，
又∵OE=OB，
∴∠1=∠E，
又∵∠1=∠2+∠EAD=2∠EAD，
∴∠E=2∠EAD，
∴∠EOD=3∠EAD=45°，
所以∠A=15°.
点拨：圆周角定理
熟练记忆并掌握圆周角定理的三种形式,∠A=.
65．40
【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
【详解】
连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为40．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
66．
【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点拨】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
67．26
【解析】
分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠COD=26°，
故答案为：26．
点拨：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
68．70°
【详解】
解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB=∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=70°，
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.
69．16
【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16．
【详解】
解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
∵，
∴，
∵以点为圆心的圆与轴相切．
∴的半径为3，
∴，
∵是直径，
∴，
∴长度的最大值为16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键．
70．100°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
71．．
【详解】
解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．
72．36．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
73．2-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为-2.
【点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
74．
【分析】画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．
【详解】
如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，
∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
75．
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，推出PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，根据PD2+CD2=PC2，构建方程即可解决问题.
【详解】
如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=2，AH⊥BC，
∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH==4，
∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP=∠CED=90°，
∵PD=PG，
∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，
∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，
∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，
∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，
则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，
∴PC=PG+CG=，
在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，
∴4a2+（4-a）2=（）2，
解得a=或4（舍弃），
∴BD=．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程方程解决问题，属于中考常考题型．
76．①③④⑤
【分析】根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理等判断即可．
【详解】
①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①正确；
②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；
③∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
∵OC∥BD，∴∠AFO=90°．
∵点O为圆心，∴AF=DF，故④正确；
⑤由④有，AF=DF．
∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑥不正确．
综上可知：其中一定成立的有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
77．﹣1
【解析】
【分析】如图1，连接CN，根据CM是⊙O的直径，得到∠CNM=90°，根据邻补角的定义得到∠CNB=90°，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的⊙O'上，推出当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
如图1，连接CN．
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CNM=90°，
∴∠CNB=90°，
∴点N在以BC为直径的⊙O'上．
∵⊙O'的半径为1，
∴当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2．在Rt△AO'C中，∵O'C=1，AC=2，∴O'A，
∴AN=AO'﹣O'N1，
即线段AN长度的最小值为1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定N点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
78．
【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．
【详解】
如图，设AD的中点为点E，则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，
连接BD
AB为半圆O的直径
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键．
79．
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEB＝90°，从而知点E在以BC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、A共线时AE最小，根据勾股定理求得QA的长，即可得答案．
【详解】
解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙Q上，
∵BC＝4，
∴QC＝QE＝2，
当点Q、E、A共线时AE最小，
∵AC＝10，
∴AQ＝=，
∴AE＝AQ−QE＝，
∴AE的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
80．4﹣．
【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
【详解】
解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴＝2，
∴＝，
即，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH＝＝，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2，
∴S△BCE最小＝（）＝4﹣，
故答案为：4﹣．
【点拨】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点．
专题24.1.6 圆的基本性质（专项练习）（提高篇）
一、填空题
1．如图所示，AB是⊙O的直径，弦于H，，则⊙O的半径是_______．
2．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为_____．
4．如图，AB为的直径，弦于点H，若，，则OH的长度为__．
5．如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8．AB＝10，则CD与AB之间的距离是_____．
6．如图，⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∠A=15°，半径为2，则CD的长为__．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠BCD＝30°，CD＝2，则阴影部分面积S阴影＝_____．
8．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为_______．
9．如图，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为___．
10．如图，在矩形中，，，以为直径作.将矩形绕点旋转，使所得矩形的边与相切，切点为，边与相交于点，则的长为__________．
11．在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是____cm．
12．如图，⊙O的半径是5，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O，分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、F、G，连接EF，若OG=3，则EF为__．
13．如图，在⊙O中，P为直径AB上的一点，过点P作弦MN，满足∠NPB＝45°，若AP＝2cm，BP＝6cm，则MN的长是_____cm．
14．如图，是的内接正三角形，点是圆心，点，分别在边，上，若，则的度数是____度．
15．如图，点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若，，则IE的长为__．
16．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径是6，若点P是⊙O上的一点，＝，则PA的长为_____．
17．如图，中，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交于连接，则线段长度的最小值为__________．
18．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线，切点为F．若∠ACF=65°，则∠E=_________．
19．如图，在⊙O中，半径OC垂直弦AB，∠OBA＝26°，D为⊙O上一点，则∠ADC的度数是_____．
20．如图，已知的半径为5，P是直径AB的延长线上一点，，CD是的一条弦，，以PC，PD为相邻两边作▱PCED，当C，D点在圆周上运动时，线段PE长的最大值与最小值的积等于______．
21．如图，在两个同心圆中，大圆弦交小圆于点、，已知.与圆心的距离，则大圆半径与小圆半径之比为________．
22．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于点E，交圆O于点D，OF⊥AC于点F，BD=5，则OF=__________________________．
23．如图，已知的半径为4，弦垂直平分半径，与围成阴影部分，则S阴影=______．
24．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．
25．如图，已知为的直径，弦交于点，连接，，，若，，则的半径为______．
26．已知：如图，内接于，且是的直径，于，是弧中点，且交于，，．则_________________．_________________．
27．如图，的半径为2，点，，在上，，，是上一动点，则的最小值为_________．
28．如图，在⊙O中，半径OC=6，D是半径OC上一点，且 OD=4．A，B是⊙O上的两个动点，∠ADB=90°，F是AB的中点，则OF的长的最大值等于______．
29．如图，MN为的直径，⊙O的半径为3，点A在上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值为______．
30．如图，点A、B在半径为3的⊙O上，以OA、AB为邻边作平行四边形OCBA，作点B关于OA的对称点D，连接CD，则CD的最大值为________.
31．如图，为的内接三角形，，点为弧上一动点，垂直直线于点当点由点沿弧运动到点时，点经过的路径长为_______．
32．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_____．
33．如图，半圆的直径AB＝6，C为半圆上一点，连接AC，BC，D为BC上一点，连接OD，交BC于点E，连接AE，若四边形ACDE为平行四边形，则AE的长为_____．
34．如图，AB是⊙O切线，切点为A，OB与⊙O交于E，C、D是圆上的两点，且CA平分∠DCE，若AB＝，∠B＝30°，则DE的长是_____．
35．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，∠CAD=80o，则∠OCE=_________．
36．如图，在扇形中，平分交弧于点．点为半径上一动点若，则阴影部分周长的最小值为__________．
37．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 B 的坐标为（﹣，0），M 是圆上一点，∠BMO=120°．⊙C 圆心 C 的坐标是_____．
38．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．
39．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．
40．如图，弧的度数为40°，则∠A+∠C＝______．
41．如图，是⊙O的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为__________．
42．如图，AB为⊙O的直径，△PAB的边PA，PB与⊙O的交点分别为C、D．若，则∠P的大小为_____度．
43．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝_____．
44．如图，△ABC中，∠A=70°，⊙O截△ABC的三条边所截得弦长相等，则∠BOC=__．
45．如图：∠AOB＝2∠COD，则______2．
46．如图，AD是⊙O的直径，，若∠AOB＝40º，则圆周角∠BPC＝____.
47．如下图，已知是的直径，，，那么等于_________.
48．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是__．
49．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB= ________
50．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，，B为弧AN的中点， P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为 ______________.
51．如图，在⊙O中，是⊙O的直径，，点是点关于的对称点，是上的一动点，下列结论：①；②；③；④的最小值是10．上述结论中正确的个数是_________．
52．如图，A、B、C、D是⊙O上的四个点，若，且弦AB=8，CD=4，则⊙O的半径为________．
53．如图，在扇形中，点为半径的中点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点．点为弧的中点，连接．若，则阴影部分的面积为____________．
54．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是_________．
55．如图，四边形ABCD内接于，AB为的直径，点D为的中点，若，则的度数为______度
56．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为_____________
57．如图，AB是半径为4的⊙O的直径，P是圆上异于A，B的任意一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，连接AC和BC，△ABC的中位线所在的直线与⊙O相交于点E、F，则EF的长是_____．
58．如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.
59．如图，点A，B，C，D在O上，C是弧的中点，若，则的度数为=______°．
60．四边形OBCD中的三个顶点在⊙O上，点A是⊙O上的一个动点（不与点B、C、D重合）．若四边形OBCD是平行四边形时，那么∠OBA和∠ODA的数量关系是________．
61．如图所示，在⊙O中，A、B、C三点在圆上，且∠CBD=60，那么∠AOC=__________
62．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，交⊙O于点C，连接OA，OB，BC，若∠ABC=20°，则∠AOB的度数是_____．
63．已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线 OA 上取一点 C，以点 O 为圆心，OC 长为半径作 ，交射线 OB 于点 D，连接 CD；（2）分别以点 C，D 为圆心，CD 长为半径作弧，交于点 M，N；（3）连接 OM，MN，ON．根据以上作图过程及所作图形，若∠AOB＝20°，则∠OMN=_______．
64．如图所示，CD是圆的直径，O是圆心，E是圆上一点且
∠EOD=45°，A是DC延长线上一点，AE交圆于B，如果AB=OC，则∠EAD= ____________
65．如图，AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD=50°，则∠ACD=_____°．
66．如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
67．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D．若∠A=32°，则∠D=_____度．
68．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点，若∠DAB=40°，则∠ABC=______．
69．如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为______．
70．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C=130°，则∠BOD的度数是______．
71．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O在格点上，则∠AED的正切值为_____．
72．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点F在上，则∠CFD＝_____度．
73．如图，已知正方形ABCD的边长是4，点E是AB边上一动点，连接CE，过点B作BG⊥CE于点G，点P是AB边上另一动点，则PD+PG的最小值为_____．
74．如图，在中，点在上，则_______________________
75．在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝4，P是AB上一点，连接PC，以PC为直径作⊙M交BC于D，连接PD，作DE⊥AC于点E，交PC于点G，已知PD＝PG，则BD＝_____.
76．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD；④AF=DF；⑤BD=2OF；⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的____（把你认为正确结论的序号都填上）
77．已知：如图，在Rt△ABC中，BC＝AC＝2，点M是AC边上一动点，连接BM，以CM为直径的⊙O交BM于N，则线段AN的最小值为___．
78．如图，点在半圆上，半径，，点在弧上移动，连接，作，垂足为，连接，点在移动的过程中，的最小值是______．
79．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=10，点D是AC上的一个动点，以CD为直径作⊙O，连接BD交⊙O于点E，则AE的最小值为________________．
80．如图，在平面直角坐标系中，以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B．已知点C（2，0），点D为⊙A上的一动点，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，连结BC，则△BCE面积的最小值为_____．
参考答案
1．2
【分析】连接BC，由圆周角定理和垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，得出，求出即可．
【详解】
解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦于H，
，
，
在中，，
，
即⊙O的半径是2；
故答案为2
【点拨】考查的是垂径定理、圆周角定理、含角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
2．4
【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD中，OD==4．
故答案为4．
【点拨】本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
3．（-1，-2）
【详解】
分析：连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
详解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为（﹣1，﹣2），
点拨：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
4．3
【分析】连接OC，由垂径定理可求出CH的长度，在Rt△OCH中，根据CH和⊙O的半径，即可由勾股定理求出OH的长．
【详解】
连接OC，
Rt△OCH中，OC=AB=5，CH=CD=4；
由勾股定理，得：OH=；
即线段OH的长为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
5．3
【分析】过点O作OH⊥CD于H，连接OC，先利用垂径定理得到CH=4，然后在Rt△OCH中，利用勾股定理即可求解．
【详解】
解：过点O作OH⊥CD于H，
连接OC，如图，则CH＝DH＝CD＝4，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
所以CD与AB之间的距离是3．
故答案为3．
【点拨】此题主要考查垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题关键．
6．2
【解析】
【分析】根据圆周角定理得到∠BOC的值，再根据三角函数求出CE的长，最后由垂径定理得到CD＝2CE,求得CD的长.
【详解】
根据圆周角定理，∵∠A=15°，∴∠BOC＝30°，∴CE＝OC×sin∠BOC＝2×＝1，∵⊙O的直径垂直于弦CD，垂足为E，∴CD＝2CE＝2.
【点拨】本题主要考查圆周角定理与垂径定理，熟练掌握这些知识是解答本题的关键.
7．
【分析】连接OC．证明OC∥BD，推出S阴＝S扇形OBD即可解决问题．
【详解】
解：连接OC．
∵AB⊥CD，
∴，CE＝DE＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∴∠COB＝60°，
∵OC＝OB＝OD，
∴△OBC，△OBD都是等边三角形，
∴OC＝BC＝BD＝OD，
∴四边形OCBD是菱形，
∴OC//BD，
∴S△BDC＝S△BOD，
∴S阴＝S扇形OBD，
∵OD＝＝2，
∴S阴＝＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查扇形的面积，菱形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
8．
【分析】如图，作OH⊥CD于H，连结OC，根据垂径定理得HC=HD，由题意得OA=4，即OP=2，在Rt△OPH中，根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在在Rt△OHC中，利用勾股定理计算得到CH=，即CD=2CH=2．
【详解】
解：如图，作OH⊥CD于H，连结OC，
∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，
∵∠OPH=30°，
∴∠POH=60°，
∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，
∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故答案为2.
【点拨】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理和含30°角的直角三角形的性质，解此题的关键在于作辅助线得到直角三角形，再合理利用各知识点进行计算即可
9．
【分析】方法一：连接OD,OD为半径是定值，在RT△OCD中，斜边为定制，则当OC最小的时，CD最大，而当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，即为所求.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，根据垂径定理得到AH=BH=AB=，CD=CE，再判断出△BCD∽△ECA得出CD•CE=BC•AC，易得CD=，当CH最小时，CD最大，C点运动到H点时，CH最小，所以CD的最大值为．
【详解】
解：方法一：连接OD，即OD为定值，
又∵OC2+CD2=OD2,
∴当OC最小的时，CD最大，
当OC⊥AB时最小，此时的CD为最大，
CD=AB=.
方法二：作OH⊥AB，延长DC交⊙O于E，如图，
∴AH=BH=AB=，
∵CD⊥OC，
∴CD=CE，
∵∠ABD=∠DEA，∠BCD=∠ECA，
∴△BCD∽△ECA，
∴，
∴CD•CE=BC•AC，
∴CD2=（BH-CH）（AH+CH）=（-CH）（+CH）=-CH2，
∴CD=，
∴当CH最小时，CD最大，
而C点运动到H点时，CH最小，
此时CD=，即CD的最大值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
10．4
【详解】
分析：连结EO并延长交CF于点H，由旋转和相切知四边形EB′CH是矩形，再根据勾股定理即可求出CH的长,从而求出CF的值.
详解：连结EO并延长交CF于点H.
∵矩形绕点旋转得到矩形，
∴∠B′=∠B′CD′=90°,A′B′∥CD′,BC=B′C=4,
∵A′B′切⊙O与点E,
∴OE⊥A′B′,
∴四边形EB′CH是矩形，
∴EH=B′C=4,OH⊥CF,
∵AB=5,
∴OE=OC=AB=,
∴OH=,
在Rt△OCH中，根据勾股定理得CH===2,
∴CF=2CH=4.
故答案为4.
点拨：此题主要考查切线的性质,垂径定理及矩形的性质等知识点的综合运用.
11．8
【详解】
解：做点C关于直线AB的对称点C′，连接C′D就是CM+DM的最小值，根据弧相等可得C′D为圆的直径，即最小值为8
故答案为：8
【点拨】利用对称性求最值
12．4
【详解】
解：连结OA，如图下图所示
∵OG⊥AC，
∴AG=CG，
在Rt△AOG中，OG=3，OA=5，
∴AG=，
又∵OG垂直AC,
∴AC＝2AG＝8，
∵OE⊥AB，OF⊥BC，
∴AE=BE，CF=BF，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EF= AC=4．
故答案是4．
13．2
【分析】作OH⊥MN于H，连接ON，由已知条件可得OA=OB=ON=4，OP =2，再求得OH=；在Rt△OHN中，利用勾股定理求得NH=，再利用垂径定理即可求得MNN=2cm.
【详解】
解：作OH⊥MN于H，连接ON，AB=AP+PB=8，
∴OA=OB=ON=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
∵∠NPB=45°，
∴OH=OP=，
在Rt△OHN中，NH=，
∵OH⊥MN，
∴MN=2HN=2（cm），
故答案为2.
【点拨】本题考查了垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．
14．120
【分析】本题可通过构造辅助线，利用垂径定理证明角等，继而利用SAS定理证明三角形全等，最后根据角的互换结合同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求解本题．
【详解】
连接OA，OB，作OH⊥AC，OM⊥AB，如下图所示：
因为等边三角形ABC，OH⊥AC，OM⊥AB，
由垂径定理得：AH=AM，
又因为OA=OA，故△OAH△OAM（HL）．
∴∠OAH=∠OAM．
又∵OA=OB,AD=EB,
∴∠OAB=∠OBA=∠OAD,
∴△ODA△OEB（SAS）,
∴∠DOA=∠EOB,
∴∠DOE=∠DOA+∠AOE=∠AOE+∠EOB=∠AOB．
又∵∠C=60°以及同弧，
∴∠AOB=∠DOE=120°．
故本题答案为：120．
【点拨】本题考查圆与等边三角形的综合，本题目需要根据等角的互换将所求问题进行转化，构造辅助线是本题难点，全等以及垂径定理的应用在圆综合题目极为常见，圆心角、弧、圆周角的关系需熟练掌握．
15．4
【分析】由已知条件可得到ID=BD=DC,可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F，可得四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF,即可求出IE的长.
【详解】
解：
如图：I为△ABC的内心,可得∠BAD=∠CAD,BD=CD,
又∠DIC=∠DAC+∠ACI,∠ICD=∠ICB+∠BCD
其中∠DAC=∠BAD=∠BCD，∠ACI=∠ICB，
∠DIC=∠ICD
ID=CD, ID=BD=DC=5, 可得AI=2CD=10
可得I、B、C三点在以D点位圆心的圆上，过点D做DF⊥IC与点F,
可得IF=FC(垂经定理)，
在RT△IFD中，,
又在△AIC中，AE=EC, IF=FC,
EF为△AIC的中位线，
EF∥AD,即EF∥ID, 且EF==5=ID,
四边形EIDF为平行四边形，可得IE=DF=4,
故答案：4.
【点拨】本题主要考查圆的垂经定理，圆周角定理及平行四边形相关知识，难度较大，需综合运用各知识求解.
16．6
【解析】
【分析】连接OA、OB、OP，根据圆周角定理求得∠APB＝∠C＝30°，进而求得∠PAB＝∠APB＝30°，∠ABP＝120°，根据垂径定理得到OB⊥AP，AD＝PD，∠OBP＝∠OBA＝60°，即可求得△AOB是等边三角形，从而求得PB＝OA＝6，解直角三角形求得PD，即可求得PA．
【详解】
解：连接OA、OB、OP，
∵∠C＝30°，
∴∠APB＝∠C＝30°，
∵，
∴PB＝AB，
∴∠PAB＝∠APB＝30°
∴∠ABP＝120°，
∵PB＝AB，
∴OB⊥AP，AD＝PD，
∴∠OBP＝∠OBA＝60°，
∵OB＝OA，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝6，
则Rt△PBD中，PD＝cos30°•PB＝×6＝3，
∴AP＝2PD＝6，
故答案为：6．
【点拨】本题主要考查垂径定理，关键在于根据题意做出辅助线，构造直角三角形，结合三角函数的特殊角进行计算,这是这类题目的通常解题思路.
17．．
【详解】
解：如图，连接，过点作，垂足为
∵，∴．
由∵，∴．
而，则．
在中，，
∴．
所以当最小即半径最小时，线段长度取到最小值，
故当时，线段长度最小．
在中，，
则此时的半径为1，
∴．
故答案为：．
18．50°．
【详解】
解：连接DF，连接AF交CE于G，
∵EF为⊙O的切线，
∴∠OFE=90°，
∵AB为直径，H为CD的中点
∴AB⊥CD，即∠BHE=90°，
∵∠ACF=65°，
∴∠AOF=130°，
∴∠E=360°-∠BHE-∠OFE-∠AOF=50°，
故答案为：50°.
19．32°．
【分析】由OC⊥AB，推出弧AC＝弧BC，可得∠ADC=∠BOC，求出∠BOC即可解决问题．
【详解】
解：∵OC⊥AB，
∴弧AC＝弧BC，
∴∠ADC＝∠BOC，
∵∠B＝26°，
∴∠BOC＝90°﹣26°＝64°，
∴∠ADC＝×64°＝32°，
故答案为32°．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．80.
【解析】
【分析】连接OC．设CD交PE于点K，连接OK．根据垂径定理的推论可得，根据勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三边关系即可解决问题．
【详解】
解：连接设CD交PE于点K，连接OK．
四边形PCED是平行四边形，，
，，
，
在中，，，
，
，
，
，
的最小值为2，最大值为10，
，
的最小值为4，最大值为20，
线段PE长的最大值与最小值的积等于80．
故答案为80．
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质以及三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21．
【分析】首先要作出两个圆的半径,连结OB、OD，结合已知条件再根据弦心距的性质和直角三角形勾股定理求出OD=OM，OB=OM，即可求出大圆与小圆的半径之比.
【详解】
连结OB、OD.
∵ OM是AB的弦心距
∴ OM⊥AB OM⊥CD
∵ OM⊥AB OM⊥CD
∴ AM=BM CM=DM (弦心距平分所对弦)
∵ AB=2CD， AM=BM ，CM=DM
∴ AC=CM=DM=BD
∵ OM=CD
∴ OM=DM
∵ OM=DM OM⊥CD
∴ OD=OM (利用直角三角形勾股定理求值)
∵ DM=BD OM=DM
∴ BM=2OM
∵ BM=2OM ，OM⊥AB
∴ OB=OM
∵ OD=OM，OB=OM
∴ OB:OD=
∴ 大圆与小圆的半径之比为
【点拨】此题考查垂径定理及其推论与勾股定理的结合运用，解题关键在于利用直角三角形勾股定理求出OD，OB的值.
22．
【分析】利用垂径定理可得，推出BD=BC，再根据三角形的中位线定理可得BC=2OF，即可解决问题．
【详解】
∵直径AB⊥弦CD，
∴，
∴BD=BC=5，
∵OF⊥AC，
∴AF=FC，
∵OA=OB，
∴OF是三角形ABC的中位线 ,
∴2OF=，
故答案为：．
【点拨】本题考查垂径定理、三角形中位线定理等知识，熟知垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．
23．
【分析】根据垂径定理和直角三角形的性质可依次求得∠AOB、AB、OD，再利用所求的阴影部分的面积等于扇形面积减去△AOB的面积即可求得结果.
【详解】
解：∵的半径为4，弦垂直平分半径，
∴OB=OA=OC=4，AB=2BD，∠ODB=90°，，
∴∠OBD=30°=∠OAD，，
∴∠AOB=120°，AB=，
∴阴影部分的面积=.
故答案为：.
【点拨】本题考查了扇形面积的计算、垂径定理和直角三角形的性质，属于常见题型，熟练掌握上述图形的性质和阴影面积计算的方法是关键.
24．
【解析】
分析：根据平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，可得OE⊥AC，AE＝AC，设OE＝x，在Rt△OAE中根据勾股定理列出方程求解即可．
详解：∵点D平分弧AC，OD为半径，
∴OE⊥AC，AE＝AC＝2.5，
设OE＝x，则OA＝OD＝1.5＋x，
在Rt△OAE中由勾股定理得：
2.52＋x2＝(1.5＋x)2，
解得：x＝，
即OE＝．
故答案为：．
点拨：本题主要考查了垂径定理的推论：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．根据推论构造出直角三角形是解决此题的关键．
25．5
【分析】设的半径为，则，由垂径定理得，证明，根据对应边成比例列式求出r的值．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设的半径为，则，
∵，
∴，
∴，解得．
故答案是：5．
【点拨】本题考查圆的性质和相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握圆周角定理和垂径定理，以及相似三角形对应边成比例的性质．
26．
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，求出BC的长，再用等面积法求出AD长，在用勾股定理求出CD的长，然后连接OF，证明，利用对应边成比例求出DE和OE的长，再利用两次勾股定理分别求出AE和EF的长，最终得到AF的长．
【详解】
解：∵BC是的直径，
∴，
∵，，
∴，
利用等面积法，求出，
在中，，
如图，连接OF，
∵F是弧BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，，
∴，解得，
∴，，
在中，，
在中，，
∴．
故答案是：；．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解．
27．
【分析】作A关于OB的对称点E，连接EC，交OB于P，PA+PC的最小值即为EC的长，求出EC的长即可．
【详解】
如图所示：作A关于OB的对称点E，连接EC，交OB于P，PA+PC的最小值即为EC的长，
∵∠AOC=60°，
∴∠EOC=120°，
作OD⊥EC于D，则∠EOD=60°，
∵OE=OA=2，
∴ED= OE，
∴EC=2ED=，
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称--最短路线的问题，特殊角的三角函数值，垂径定理，等知识点，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
28．2+
【分析】当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，因为此时F是AB的中点，则OF⊥AB,因为半径不变，当AB长度最短时，OF最大，此时A. B关于0C对称，解直角三角形即可求得OF的长度.
【详解】
解: 当点F与点D运动至共线时，OF长度最大，如图，
∵F是AB的中点，
∴OC⊥AB,
设OF为x，则DF=x-4
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DF=AB=BF=x-4,
在Rt△BOF中，,
∴OB=OC=6,
∴
解得 或 (舍去)
∴OF的长的最大值等于.
故答案为2+√14.
【点拨】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用等，确定点F与点D运动至共线时，OF长度最大是解题的关键.
29．
【分析】作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，根据轴对称确定最短路线问题，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求出∠AON=2∠AMN，再求出∠NOB′，然后求出∠AOB′=90°，从而判断出△AOB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可．
【详解】
解：如图，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB′、AB′，由轴对称确定最短路线问题可知，AB′与M的交点即为所求的使PA+PB的值最小的点，
∵∠AMN=30°，
∴∠AON=2∠AMN=2×30°=60°，
∵B为弧AN的中点，
∴∠NOB′=×60°=30°，
∴∠AOB′=90°，
∴△AOB′是等腰直角三角形，
∵⊙O的半径为3，
∴AB′==3，
即PA+PB的最小值为为3．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了轴对称确定最短路线问题，圆周角定理，垂径定理，以及勾股定理，熟记定理以及最短路线的确定方法是解题的关键．
30．3 ．
【分析】根据点B、D关于OA对称得出BD⊥OA，进而得到BD⊥CB，得出△CBD是直角三角形，CB是固定值，只有当BD最大时CD就最大，转换成求BD的最大值，BD都在圆上，所以BD的最大值就是直径，最后用勾股定理就能求出CD的最大值.
【详解】
∵平行四边形OCBA，
∴OA∥CB，OA=CB
又∵D是B点关于OA的对称点，
∴DB⊥OA，
∴DB⊥CB，
∴△CBD是直角三角形
∴
∵CB=OA=r=3是固定值
∴DB最大时就是CD最大
而B是圆上的点，D是B对称点且也在圆上
∴当BD经过原点O是直径时最大，即BD=2r=6
∴==45
解得：CD=3，即CD的最大值是3.
【点拨】本题主要考查圆的性质、垂径定理、平行四边形性质、勾股定理，找出△CBD是直角三角形和BD的最大值是直径是解题的关键.
31．
【分析】如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．当E的运动轨迹是以OC为直径的圆弧，圆心角为240°，根据弧长公式计算即可．
【详解】
如图，作OH⊥BC于H，设OC的中点为K．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH=，
∵∠A=60°，
∴∠COH=60°，
∴∠OCH=30°，
∴OC=，
∵∠CEO=90°，
∴当E的运动轨迹是以OC为直径的圆弧，圆心角为240°，
∴点E经过的路径长．
故答案为：．
【点拨】本题考查了三角形的外心与外接圆，轨迹，弧长公式以及垂径定理的应用等知识，解题的关键是正确寻找点E的运动轨迹．
32．1+
【分析】如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．首先证明点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK即可解决问题.
【详解】
解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．
∵AQ＝QP，
∴OQ⊥PA，
∴∠AQO＝90°，
∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，
当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，
∵∠AOC＝120°，
∴∠COH＝60°，
在Rt△OCH中，
∵OC＝2，
∴OH＝OC＝1，CH＝，
在Rt△CKH中，CK＝＝，
∴CQ的最大值为1+.
【点拨】本题考查勾股定理、圆周角定理、含30°角的直角三角形、垂径定理的推论，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，学会构造辅助圆解决问题．
33．
【分析】如图，连接OC．证明AC=DE=2OE，利用勾股定理构建关系式，可得结论．
【详解】
如图，连接OC．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AC=DE，CD=AE，AC∥DE，
∴∠ACE=∠DEC=90°，
∴OD⊥BC，
∴EC=EB，
∵OA=OB，
∴AC=2OE=DE，
∵OD=OC=3，
∴OE=1，DE=2，
∴CE2=OC2-OE2=CD2-DE2，
∴32-12=CD2-22，
∴AE=CD=或-（舍弃）．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
34．
【分析】连接OA，交DE于点F，如图，根据切线的性质和解直角三角形的知识可求出圆的半径，根据角平分线的定义和垂径定理的推论可得OA⊥DE，进而可得DE∥AB，DE＝2EF，然后解直角△OEF即可求出EF的长，从而可得答案．
【详解】
解：连接OA，交DE于点F，如图，
∵AB是⊙O切线，
∴∠BAO＝90°，
∵∠B＝30°，AB＝，
∴AO＝OE＝AB＝×＝2，
∵CA平分∠DCE，
∴∠DCA＝∠ECA，
∴，
∴OA⊥DE，
∴DE∥AB，DE＝2EF，
∴∠OEF＝∠B＝30°，
∴EF＝，
∴DE＝，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆的切线的性质、垂径定理和解直角三角形等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．
35．10°
【分析】因为弦CD⊥AB，垂足为E，所以DE＝CE，故△AEC≌△AED，故∠ACE＝∠ADE，∠CAE＝∠DAE＝∠CAD＝40°，而因为OA＝OC，△ACO为等腰三角形，故∠CAE＝∠OCA，而根据三角形内角和等于180°，可求出∠ACE的度数，最后再求出∠OCE的度数.
【详解】
∠CAD＋∠ACE＋∠ADE＝180°，∠ACE＝∠ADE，解得：∠ACE＝50°，∠ACE＝∠ACO＋∠OCE，根据分析可知：∠ACO＝∠CAE＝40°，故解得：∠OCE＝50°－40°＝10°，故答案为10°.
【点拨】本题主要考查垂径定理的概念，熟悉垂径定理，然后根据角的运算得出所求角的度数，注意其中圆的半径都相等，可得到等腰三角形，从中来得到角的相等，就如∠CAE＝∠OCA.
36．
【分析】如图，先作扇形关于对称的扇形 连接交于，再分别求解的长即可得到答案．
【详解】
解：
最短，则最短，
如图，作扇形关于对称的扇形 连接交于，
则
此时点满足最短，
平分
而的长为：
最短为
故答案为：
【点拨】本题考查的是利用轴对称求最短周长，同时考查了圆的基本性质，扇形弧长的计算，勾股定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．
37．（，）
【分析】连接AB，OC，由圆周角定理可知AB为⊙C的直径，再根据∠BMO=120°可求出∠BAO以及∠BCO的度数，在Rt△COD中，解直角三角形即可解决问题；
【详解】
连接AB，OC，
∵∠AOB=90°，
∴AB为⊙C的直径，
∵∠BMO=120°，
∴∠BAO=60°，
∴∠BCO=2∠BAO=120°，
过C作CD⊥OB于D，则OD=OB，∠DCB=∠DCO=60°，
∵B（-，0），
∴BD=OD=
在Rt△COD中．CD=OD•tan30°=，
∴C（-，），
故答案为C（-，）．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．
38．125°
【解析】
分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．
详解: 连接OD，
∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，
∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，
∵D是BC弧的中点，
∴∠COD=70°，
∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，
∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，
故答案为：125°．
点拨: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
39．105°．
【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．
【详解】
解：连接OD、OE，
∵的度数为35°，
∴∠AOD=35°，
∵CD=CO，
∴∠ODC=∠AOD=35°，
∵OD=OE，
∴∠ODC=∠E=35°，
∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，
∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，
∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，
∴的度数是105°．
故答案为105°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
40．160°
【分析】如图，连接OD、OE、OB，由的度数为40°可得∠EOB=40°，根据周角的定义可求出∠1+∠2的度数，根据圆周角定理即可求出∠A+∠C的度数.
【详解】
如图，连接OD、OE、OB．
∵的度数为40°，
∴∠EOB=40°，
∴∠1+∠2=360°-∠EOB=320°，
∵∠A=∠2，∠C=∠1，
∴∠A+∠C=（∠1+∠2）＝160°，
故答案为160°．
【点拨】本题考查圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.熟练掌握圆周角定理是解题关键.
41．5
【分析】作点B关于直径MN的对称点C，然后连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解．
【详解】
解：作点B关于直径MN的对称点C，连接AC、OA、OC，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得AC即为的最小值，如图所示：
=，
，
∠AON=40°，
点为弧的中点，
与的度数为20°，
∠CON=20°，
∠AOC=60°，
OA=OC，
△AOC是等边三角形，
MN=10，
AC=OA=5，
即的最小值为5，
故答案为5．
【点拨】本题主要考查最短路径及圆的基本性质，熟练掌握圆心角、圆周角及弧的等量关系是解题的关键．
42．60
【解析】
【分析】连接OC、OD，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，根据等边三角形的性质解答．
【详解】
连接OC、OD，
∵，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°，
∵OA=OC，OB=OD，
∴△AOC和△BOD都是等边三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，
∴∠P=60°，
故答案为60．
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
43．68°
【分析】根据∠AOE的度数求出劣弧的度数，得到劣弧的度数，根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．
【详解】
∵∠AOE=78°，∴劣弧的度数为78°．
∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°=102°．
∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE102°=68°．
故答案为68°．
【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解题的关键．
44．125°
【分析】先利用 O截△ABC的三条边所得的弦长相等，得出即O是△ABC的内心，从而，∠1=∠2，∠3=∠4，进一步求出∠BOC的度数．
【详解】
∵△ABC中∠A=70°，O截△ABC的三条边所得的弦长相等，
∴O到三角形三条边的距离相等，即O是△ABC的内心，
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠1+∠3= (180°−∠A)= (180°−70°)=55°；
∴∠BOC=180°−(∠1+∠3)=180°−55°=125°.
故答案为125°.
【点拨】本题考查了三角形的内切圆与内心、角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的相关知识与应用.
45．=
【分析】根据圆心角与弦的关系可直接求解
【详解】
∵∠AOB=2∠COD，
∴=2．
故答案为=
【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，即在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
46．50º
【分析】根据弧与圆心角的关系与圆周角定理即可求出答案．
【详解】
解：∵，∠AOB=40°，
∴∠COD=∠AOB=40°，
∵∠AOB+∠BOC+∠COD=180°，
∴∠BOC=100°，
∴∠BPC=∠BOC=50°，
故答案为50°．
【点拨】本题考查了弧与圆心角的关系、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
47．60°
【分析】根据圆心角与弧的关系可求得∠BOE的度数，从而即可求解．
【详解】
∵，，
∴∠BOE=3∠BOC=120°，
∴∠AOE=180°-∠BOE=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题主要考了圆心角、弧、弦的关系．注意掌握数形结合思想的应用．
48．
【详解】
解：∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°-60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°-CAB+∠ACB）+（180°-∠E-∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===．
故答案为．
【点拨】本题考查①圆心角、弦、弧的关系；②圆内接四边形的性质；③解直角三角形．
49．108°
【解析】
设∠COD=∠A=x°，表示出∠AOB=（180﹣2x）°和∠OCD=∠ODC= ，然后利用三角形内角和定理求解+180﹣2x=180，解得：x=36，可求∠AOB=（180﹣2x）°=108°，
故答案为108°．
50．
【解析】
如图，作点A关于MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，连接AP、OB、OA、OA′，则此时AP+BP的值最小=A′B，
∵∠AMN=30°，A′、A关于MN对称，点B是的中点，
∴∠BON=30°，∠A′ON=∠AON=60°，
∴∠A′OB=30°+60°=90°，
又∵OA′=OB=OM=2，
∴A′B=，即AP+BP的值最小=.
故答案为：.
51．3
【分析】①根据点是点关于的对称点可知，进而可得；
②根据一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得结论；
③根据等弧对等角，可知只有当和重合时，，；
④作点关于的对称点，连接，DF，此时的值最短，等于的长，然后证明DF是的直径即可得到结论．
【详解】
解：，点是点关于的对称点，
，
，①正确；，∴②正确；
的度数是60°，
的度数是120°，
∴只有当和重合时，，
∴只有和重合时，，③错误；
作关于的对称点，连接，交于点，连接交于点，此时的值最短，等于的长．
连接，并且弧的度数都是60°，
是的直径，即，
∴当点与点重合时，的值最小，最小值是10，∴④正确．
故答案为：3．
【点拨】本题考查了圆的综合知识，涉及圆周角、圆心角、弧、弦的关系、最短距离的确定等，掌握圆的基本性质并灵活运用是解题关键．
52．．
【解析】
连接BO，与圆交于E,连接AE,
,
所以AB+CD所对圆心角是180°，
所以，CD=AE,∠A=90°
BE=，
半径是．
53．
【分析】连接OE，过点E作EF⊥OB于F，证明EF=OF，利用勾股定理求出EF=OF=，再利用求出答案.
【详解】
如图，连接OE，过点E作EF⊥OB于F，
∵点为弧的中点，
∴，
∴∠AOE=∠BOE，
∵
∴∠AOE=∠BOE=45°，
∵EF⊥OB，
∴∠OEF=∠BOE=45°，
∴EF=OF,
∵OE=OA=4，
∵,
∴EF=OF=,
∵OC=OD=2，
∴==,
故答案为：.
【点拨】此题考查扇形的弧、弦、圆心角定理，勾股定理，扇形面积公式，将图形引出恰当的辅助线，将不规则的图形拆分为规则图形求出面积是解题的关键.
54．
【分析】连接CE，根据圆的定义，证明D、A、C、B四点共圆，可得∠ADC=∠ABC=45°，作AF⊥CD于F，构建等腰直角三角形ADF和含30°角的直角三角形AFC，可以求得AF、DF、CF的长，利用三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：连接CE，
∵∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴CE=AE=BE，
∵△ADE是等边三角形，
∴DE=AE，
∴DE=AE=CE=BE，
∴D、A、C、B在以点E为圆心的圆上，作⊙E，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
过A作AF⊥CD于F，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∵AD=AE=AB=4，
∴AF=DF=，
∵∠CAF=∠DAB+∠BAC-∠DAF=60°+45°-45°=60°，
∴∠ACF=30°，
∴AC=2AF，
由勾股定理得：CF=，
∴S△ADC=，
故答案为：4+4．
【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质、直角三角形斜边上中线的性质、四点共圆以及弧、弦、圆周角的关系等知识点，综合运用基本性质进行推理是解题的关键．
55．65
【解析】
连接OD、OC，
∵点D为的中点，
∴∠AOD=∠COD，
∵∠B=50°，
∴∠AOC=100°，
∴∠AOD=∠COD=50°，
∴∠A=∠ODA=65°，
故答案为65．
56．70°
【分析】根据已知条件作辅助线，连接BO,DO，已知∠A=70°根据圆心角是对应圆周角的两倍求出110°,即可求得∠BCE的度数.
【详解】
作辅助线连接BO,DO
∵圆心角是对应圆周角的两倍，
故答案为70°.
【点拨】此题考查圆心角与圆周角之间的关系，解题在于熟练掌握圆周角与对应圆心角之间的关系换算.
57．4
【分析】连接OC交EF于点D，连接OE，由圆心角定理和圆周角定理易得CO⊥AB，再由中位线定理可得CD=DO，OC⊥EF，则由垂径定理可得EF=2ED. 在RT△EDO中运用勾股定理即可求解
【详解】
解：连接OC交EF于点D，连接OE，
PC是∠APB的平分线，由圆心角定理可知=，进而可得∠AOC=∠BOC=90°，由题干条件EF是△ABC的中位线所在的直线，根据中位线定理可得EF∥AB，则可得∠ODE=∠AOC=90°，OD=OC=2.同时由垂径定理可得EF=2ED，在RT△EDO中运用勾股定理：OD2+ED2=OE2，则ED=，即EF=2ED=4.
故答案为4.
【点拨】本题综合考查了圆心角定理、圆周角定理以及垂径定理，熟悉各定理是解题关键.
58．90
【详解】
解：如图∠A，∠B，∠C可分别看成是的圆周角，
而，
所以∠A＋∠B＋∠C=90°
考点：圆周角与圆心角的关系
点评：本题考察圆周角与圆心角的关系，本题看出这三个角的圆心角是一个平角是解本题的关键
59．40°
【分析】由点C是弧的中点，可知=，根据在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，因为∠ODC=50°，因为∠COD=180°-50°-50°=80°，所以∠BAC= ；
【详解】
∵点C是弧的中点，
∴ =，
∵∠ODC=50°，
∴∠OCD=50°，
∴∠COD=180°-50°-50°=80°，
∴∠BAC=，
故答案为：40°．
【点拨】本题考查了在同圆或等圆中，同弧所对圆心角是圆周角的两倍，正确理解该知识点是解题的关键；
60．或或或
【解析】
连接OC，∵四边形OBCD是平行四边形， OB=OD，∴平行四边形OBCD是菱形，∴OB=BC=CD=OD，∵OC=OB=OD，∴△OBC与△OCD是等边三角形，∴∠BOC=∠BCO=∠DOC=∠DCO=60°，∴∠BOD=∠BCD=120°，
如图1、图3、图4时，∠A= ∠BOD=60°，∴图1中∠OBA+∠ODA=60°，图3中∠OBA-∠ODA=60°，图4中∠ODA-∠OBA=60°；
如图2时，∠A=∠BCD=120°，∴∠OBA+∠ODA=120°.
综上，∠OBA+∠ODA=60°或∠OBA-∠ODA=60°或∠ODA-∠OBA=60°或∠OBA+∠ODA=120°.
点拨：本题主要考查圆周角定理、平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等边三角形 等知识，能正确地分类讨论点A所处的位置是解决本题的关键.
61．120°
【解析】
弧AC上任取一点P,连接AP,CP,所以∠APC=60°，所以∠AOC=120°.
62．80°．
【分析】根据是所对圆周角，则，由，根据垂径定理，即可得出结论.
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为.
【点拨】本题主要考查圆周角定理和垂径定理.关键是熟练运用同弧所对圆周角是圆心角的一半及垂径定理解决问题.
63．60°
【分析】根据等弧或等弦所对的圆心角相等即可得到∠COM=COD=∠DON=20°，从而判断△OMN是等边三角形即可解答．
【详解】
解：由作图可知：CM=CD=DN，
∴∠COM=COD=∠DON=20°，
∴∠MON=60°，
又∵OM=ON，
∴△OMN是等边三角形，
∴∠OMN=60°，
故答案为：60°．
【点拨】本题考查了尺规作图以及圆的基本性质，解题的关键是根据等弧或等弦所对的圆心角相等得到△OMN是等边三角形．
64．15°
【解析】
∵AB=OC，OB=OC，
∴AB=BO，
∴∠EAD=∠2，
∴∠1=∠EAD+∠2=2∠EAD，
又∵OE=OB，
∴∠1=∠E，
又∵∠1=∠2+∠EAD=2∠EAD，
∴∠E=2∠EAD，
∴∠EOD=3∠EAD=45°，
所以∠A=15°.
点拨：圆周角定理
熟练记忆并掌握圆周角定理的三种形式,∠A=.
65．40
【分析】若要利用∠BAD的度数，需构建与其相等的圆周角；连接BD，由圆周角定理可知∠ACD=∠ABD，在Rt△ABD中，求出∠ABD的度数即可得答案．
【详解】
连接BD，如图，
∵AB为△ADC的外接圆⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=90°﹣50°=40°，
∴∠ACD=∠ABD=40°，
故答案为40．
【点拨】本题考查了圆周角定理及其推论：同弧所对的圆周角相等；半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，正确添加辅助线是解题的关键.
66．
【分析】连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点拨】本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
67．26
【解析】
分析：连接OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接OC，
由圆周角定理得，∠COD=2∠A=64°，
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=90°-∠COD=26°，
故答案为：26．
点拨：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
68．70°
【详解】
解：连接AC，
∵点C为弧BD的中点，
∴∠CAB=∠DAB=20°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC=70°，
故答案为70°．
【点拨】本题主要考查了圆周角定理以及推论，连接AC是解本题的关键.
69．16
【分析】连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，根据勾股定理和题意求得，则的最大长度为16．
【详解】
解：连接并延长，交上一点，以为圆心，以为半径作，交轴于、，此时的长度最大，
∵，
∴，
∵以点为圆心的圆与轴相切．
∴的半径为3，
∴，
∵是直径，
∴，
∴长度的最大值为16，
故答案为16．
【点拨】本题考查了切线的性质，坐标和图形的性质，圆周角定理，找到的最大值是解题的关键．
70．100°．
【分析】先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再根据圆周角定理进行求解即可.
【详解】
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，
∵∠C=130°，
∴∠A=50°，
∴∠BOD=2∠A=100°，
故答案为100°．
【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理等，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
71．．
【详解】
解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．
72．36．
【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．
【详解】
如图，连接OC，OD．
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠COD==72°，
∴∠CFD=∠COD=36°，
故答案为：36．
【点拨】本题考查了正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
73．2-2
【分析】作DC关于AB的对称点D′C′，以BC中的O为圆心作半圆O，连D′O分别交AB及半圆O于P、G．将PD+PG转化为D′G找到最小值．
【详解】
如图：
取点D关于直线AB的对称点D′，以BC中点O为圆心，OB为半径画半圆，
连接OD′交AB于点P，交半圆O于点G，连BG，连CG并延长交AB于点E，
由以上作图可知，BG⊥EC于G，
PD+PG=PD′+PG=D′G，
由两点之间线段最短可知，此时PD+PG最小，
∵D′C’=4，OC′=6，
∴D′O=，
∴D′G=-2，
∴PD+PG的最小值为-2，
故答案为-2.
【点拨】本题考查了轴对称的性质、直径所对的圆周角是直角、线段和的最小值问题等，综合性较强，能灵活利用相关知识正确添加辅助线是解题的关键.通常解此类问题都是将线段之和转化为固定两点之间的线段和最短.
74．
【分析】画出的圆周角交于点，构造出的内接四边形；根据圆周角定理求出的度数，再根据圆内接四边形的性质，即可得出的度数．
【详解】
如图，画出的圆周角交于点，则四边形为的内接四边形，
∵圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半；圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，熟练掌握此定理及性质是解本题关键．
75．
【解析】
【分析】作AH⊥BC于H．首先证明△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，推出PC=PG+CG=，在Rt△PCD中，根据PD2+CD2=PC2，构建方程即可解决问题.
【详解】
如图，作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=2，AH⊥BC，
∴∠B=∠ACD，BH=CH=2，AH==4，
∵PC是直径，
∴∠PDC=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠CDP=∠CED=90°，
∵PD=PG，
∴∠PDG=∠PGD=∠CGE，
∵∠PDG+∠CDE=90°，∠CDE+∠ECD=90°，
∴∠PDG=∠ECD=∠B=∠EGC，
∵∠PDB=∠DEC=∠AHB=90°，
∴△PDB∽△DEC∽△CEG∽△AHB，设BD=a，
则有PD=PG=2a，CD=4-a，EC=，CG=，
∴PC=PG+CG=，
在Rt△PCD中，∵PD2+CD2=PC2，
∴4a2+（4-a）2=（）2，
解得a=或4（舍弃），
∴BD=．
故答案为：．
【点拨】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程方程解决问题，属于中考常考题型．
76．①③④⑤
【分析】根据圆周角定理、平行线的性质、垂径定理等判断即可．
【详解】
①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，故①正确；
②∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；
③∵OC∥BD，∴∠OCB=∠DBC．
∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD．
∵OC∥BD，∴∠AFO=90°．
∵点O为圆心，∴AF=DF，故④正确；
⑤由④有，AF=DF．
∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF，故⑤正确；
⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故⑥不正确．
综上可知：其中一定成立的有①③④⑤．
故答案为①③④⑤．
【点拨】本题主要考查圆周角定理及圆的有关性质、平行线的性质，掌握圆中有关的线段、角相等的定理是解题的关键，特别注意垂径定理的应用．
77．﹣1
【解析】
【分析】如图1，连接CN，根据CM是⊙O的直径，得到∠CNM=90°，根据邻补角的定义得到∠CNB=90°，根据圆周角定理得到点N在以BC为直径的⊙O'上，推出当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】
如图1，连接CN．
∵CM是⊙O的直径，
∴∠CNM=90°，
∴∠CNB=90°，
∴点N在以BC为直径的⊙O'上．
∵⊙O'的半径为1，
∴当点O'、N、A共线时，AN最小，如图2．在Rt△AO'C中，∵O'C=1，AC=2，∴O'A，
∴AN=AO'﹣O'N1，
即线段AN长度的最小值为1．
故答案为1．
【点拨】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握圆周角定理和等腰直角三角形的性质；会利用勾股定理计算线段的长．解决本题的关键是确定N点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
78．
【分析】先确定点H的运动轨迹，再根据点与圆的位置关系可得取最小值时，点H的位置，然后利用圆周角定理、线段的和差即可得．
【详解】
如图，设AD的中点为点E，则
由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上
由点与圆的位置关系得：连接BE，与圆E交于点H，则此时取得最小值，
连接BD
AB为半圆O的直径
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理、点与圆的位置关系、勾股定理等知识点，依据题意，确定点H的运动轨迹，从而得出BH取最小值时，点H的位置是解题关键．
79．
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEB＝90°，从而知点E在以BC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、A共线时AE最小，根据勾股定理求得QA的长，即可得答案．
【详解】
解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEB＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙Q上，
∵BC＝4，
∴QC＝QE＝2，
当点Q、E、A共线时AE最小，
∵AC＝10，
∴AQ＝=，
∴AE＝AQ−QE＝，
∴AE的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
80．4﹣．
【分析】设出点E（m，n），先构造出△CME≌△END（AAS），进而确定出点D（m+n，n+2-m），再利用AD=2，建立方程，利用两点间的距离得出点E是以O为圆心，为半径的圆上，即可得出结论．
【详解】
解：如图，设E（m，n），
过点E作EM⊥x轴于M，过点作DN⊥EM，交ME的延长线于N，
∴∠CME＝∠END＝90°，
∴∠MCE+∠MEC＝90°，
∵△CDE是等腰直角三角形，
∴CE＝DE，∠CED＝90°，
∴∠NED+∠MEC＝90°，
∴∠MCE＝∠NED，
∴△CME≌△END（AAS），
∴EM＝DN＝n，CM＝EN＝2﹣m，
∴D（m+n，n+2﹣m），
∵点D在以A（0，2）为圆心半径为2的圆上，
连接AD，则AD＝2，
∴＝2，
∴＝，
即，
∴点E在以点O为圆心，为半径的圆上，（到定点（0，0）的距离是的点的轨迹），
∵以点A（0，2）为圆心，2为半径的圆交y轴于点B，
∴B（0，4），
∴OB＝4，
∵C（2，0），
∴OC＝2，
∴BC＝2，
过点O作OH⊥BC于H，
∴OH＝＝，
设点E到BC的距离为h，
∴S△BCE＝BC•h＝×h＝h，
∴h最小时，S△BCE最小，而h最小＝OH﹣＝﹣2，
∴S△BCE最小＝（）＝4﹣，
故答案为：4﹣．
【点拨】此题主要考查了三角形的面积公式，圆的性质和定义，全等三角形的判定和性质，确定出点D的坐标是解本题的关键，判断出点E的轨迹是解本题的难点．
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