人教版九年级上册23.2.1 中心对称习题

23.2.1  中心对称 同步练习

一．单选题（共14题）。

1．下列说法错误的是（        ）

A．成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等

B．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心

C．如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称

D．成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等

2．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　）

A．B． C．D．

3．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：

①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；

②直线BD必经过点O；

③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；

④△AOE与△COF成中心对称．

其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

4．图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心．

5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）

6．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（　　）个．

A．0 B．1 C．2 D．3

7．如图，已知长方形的长为10cm，宽为4cm，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．20cm2 B．15cm2 C．10cm2 D．25cm2

8．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形  

B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C．平行四边形→正方形→菱形→矩形     

D．平行四边形→菱形→正方形→矩形

9．在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（  ）

A． B． C． D．

10．若点与点关于原点成中心对称，则的值是（　　）

A．1 B．3 C．5 D．7

11．已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）．

A． B．

C． D．

12．已知正方形的对称中心在坐标原点，顶点按逆时针依次排列，若点的坐标为，则点与点的坐标分别为（　　）

A． B．

C． D．

二．填空题（共9题）。

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点A，B的坐标分别为(3,5)，(6,1)．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为_____．

14．点O是平行四边形ABCD的对称中心，AD＞AB，E、F分别是AB边上的点，且EF＝AB；G、H分别是BC边上的点，且GH＝BC；若S1,S2分别表示∆EOF和∆GOH的面积，则S1,S2之间的等量关系是______________

15．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D．若OB=3，OD=2，则阴影部分的面积之和为______．

16．如图，是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，则BB′的长为________ ．

17．如图，与关于O点成中心对称．则________，________，________．

18．如图，线段和关于点O中心对称，若，则的度数为________．

19．如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A′B′C′D′．

作法：

①连接AO并延长到A′，使OA′＝_____，得到点A的对应点____；

②同理，可作出点B，C，D的对应点___，C′，D′；

③顺次连接A′，B′，C′，D′，则四边形_______即为所作．

20．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AB＝2，BC＝3， ，则图中阴影部分的面积是__________________．

21．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4）．

（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标A1　   　．

（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标A2　   　．

（3）△ABC是否为直角三角形？答　   　（填是或者不是）．

（4）利用格点图，画出BC边上的高AD，并求出AD的长，AD＝　   　．

三．解答题（共3题）。

22．如图，的顶点坐标分别为，，

（1）画出与关于点O成中心对称的图形；

（2）画出绕原点O逆时针旋转90°的并直接写出点的坐标为________．

23．如图，点是所在平面内一点，用直尺和圆规，按下列要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．

（1）作，使得与关于点成中心对称；

（2）作点，使得以、、、为顶点的四边形是平行四边形．

24．如图，矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，

四边形BDEG是菱形吗？请说明理由；若矩形ABCD面积为6，求四边形BDEG的面积．

1．下列说法错误的是（        ）

A．成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等

B．在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心

C．如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称

D．成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等

【答案】C

【解析】解：A、成中心对称的两个图形的对称点到对称中心的距离相等，此选项正确，不合题意；B、在成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，正确，不合题意；C、如果两个图形的对应点连成的线段都经过某一点，那么两个图形一定关于这个一点成中心对称，错误，有可能是位似，故此选项正确；D、成中心对称的两个图形中的对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角也相等，正确，不合题意；
故选：C．

2．下列图形中，△A′B′C′与△ABC成中心对称的是（　　）

A．B． C．D．

【答案】A

【解析】A选项中△A′B′C′与△ABC对称点所连线段都经过对称中心O，而且被对称中心平分;中心对称的两个图形是全等形;中心对称的两个图形，其对应线段互相平行(或在同一直线上)且相等．这两个图形呈中心对称,故答案选A.

B选项中对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等，是轴对称，不符合要求，故本选项错误.C选项不符合中心对称的性质，故本选项错误.

D选项不符合中心对称的性质，故本选项错误.故答案选A.

3．如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：

①点E和点F，点B和点D是关于中心O对称点；

②直线BD必经过点O；

③四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；

④△AOE与△COF成中心对称．

其中正确的个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】试题分析：由于△ABC与△CDA关于点O对称，那么可得到AB=CD、AD=BC，即四边形ABCD是平行四边形，由于平行四边形是中心对称图形，且对称中心是对角线交点，据此对各结论进行判断．

△ABC与△CDA关于点O对称，则AB=CD、AD=BC，所以四边形ABCD是平行四边形，即点O就是▱ABCD的对称中心，则有：（1）点E和点F，B和D是关于中心O的对称点，正确；（2）直线BD必经过点O，正确；（3）四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等，正确；（5）△AOE与△COF成中心对称，正确；

其中正确的个数为4个

4．图中的两个四边形关于某点对称，找出它们的对称中心．

【答案】见解析

【解析】解：如图，点O即为所求

．C

【解析】

试题解析：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选C．

6．C

【解析】

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可.

【详解】

解: 根据概念可得：等边三角形为轴对称图形不是中心对称图形；

正方形既是轴对称图形又是中心对称图形；

正五边形为轴对称图形不是中心对称图形；

正六边形是轴对称图形又是中心对称图形；

所以既是轴对称图形又是中心对称图形有两个，分别为正方形、正六边形；

故选C.

【点拨】

轴对称图形的关键是寻找对称轴, 图形两部分折叠后可重合;

中心对称图形是要寻找对称中心, 旋转180度后两部分重合.

7．A

【解析】

由图形可知，长方形的面积=10×4=40cm2，再根据中心对称的性质得，图中阴影部分的面积即是长方形面积的一半，则图中阴影部分的面积=×40=20cm2，故选A．

8．B

【分析】

根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．

【详解】

解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．

故选：B．

【点拨】

考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．

9．C

【解析】

分析：根据关于原点对称的点的坐标特点解答．

详解：点P（-3，-5）关于原点对称的点的坐标是（3，5），

故选C．

点拨：本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

10．C

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案.

【详解】

解：∵点与点关于原点对称，

∴，，

解得：，，

则

故选C.

【点拨】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数.

11．C

【分析】

根据点关于原点对称的点在第四象限，可得点P在第二象限，因此就可列出不等式，解不等式可得a的取值范围.

【详解】

解：∵点关于原点对称的点在第四象限，

∴点在第二象限，

∴，

解得：．

则的取值范围在数轴上表示正确的是：

．

故选C．

【点拨】

本题主要考查不等式的解法，根据不等式的解集，在数轴上表示即可,关键在于点P的坐标所在的象限.

12．B

【分析】

连接OA、OD，过点A作  AF⊥x轴于点F，过点D作DE⊥x轴于点E，易证△AFO≌△OED（AAS），则，DE=OF=2，，因为B、D关于原点对称，所以.

【详解】

解：如图，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，

易证，

，，

，

关于原点对称，

，

故选．

【点拨】

本题考查了正方形，熟练运用正方形的性质、全等三角形的性质以及中心对称的性质是解题的关键．

13．

【分析】

如图，连接中间两个小正方形构成的矩形的对角线，则经过对角线交点的直线把此矩形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据待定系数法可求直线l的函数解析式．

【详解】

解：∵点A，B的坐标分别为（3，5），（6，1），

∴C的坐标为（4，2.5），

则直线l经过点C．

设直线l的函数解析式为y=kx，依题意有

2.5=4k，

解得k=．

故直线l的函数解析式为y=x．

故答案为y=x．

【点拨】

本题考查了中心对称图形的性质、待定系数法求解析式，熟知过中心对称图形对称中心的直线把这个图形分成面积相等的两个图形是解题的关键.

14．2S1＝3S2

【分析】

过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，根据点O是平行四边形ABCD的对称中心以及平行四边形的面积公式可得AB•ON=BC•OM，再根据S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，则可得到答案．

【详解】

过点O分别作OM⊥BC，垂足为M，作ON⊥AB，垂足为N，

∵点O是平行四边形ABCD的对称中心，

∴S平行四边形ABCD=AB•2ON， S平行四边形ABCD=BC•2OM，

∴AB•ON=BC•OM，

∵S1=EF•ON，S2=GH•OM，EF＝AB，GH＝BC，

∴S1=AB•ON，S2=BC•OM，

∴2S1＝3S2，

故答案为2S1＝3S2．

【点拨】

本题考查了平行四边形的面积，中心对称的性质，正确添加辅助线、准确表示出图形面积是解题的关键．

15．6．

【详解】

试题分析：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB=3，OD=2，∴AB=2，∴阴影部分的面积之和为3×2=6．故答案为6．

考点：中心对称．

16．4

【解析】

试题分析：在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=1，∴AB=2AC=2，又∵点B和点B′关于点A对称，

∴BB′=2AB=4．故答案为4．

考点：中心对称的性质．

17．【答案】=           

【解析】∵与关于O点成中心对称，

∴，

∴，∠ABC=∠DEF

∴，∴．故答案为：=，EF，DF．

18.【答案】40°

【解析】解：∵线段和关于点O成中心对称，，

∵AO=CO，BO=DO，又∵∠AOB=∠COD，∴（SAS），

∴，∴的度数为．故答案为：40°．

19.【答案】OA    A′    B′    A′B′C′D′   

【解析】略

20．【答案】

【解析】如图，过点作于点，

依题意，，，

，，

根据平行四边形是中心对称图形，

图中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半，即．故答案为：．

21.【答案】（2.-4）         （-2,4）    不是       

【解析】解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，-4）；（2）如图所示，点A2的坐标（-2，4）；（3）∵AC2=32+12=10, AB2=22+12=5, BC2=42+12=17,∴AC2+ AB2≠ BC2,∴△ABC不是直角三角形；（4）连接BD，过点A作AH∥BD交BC与点H.

∵BB1=BE, ∠BB1D=∠BEC,B1D=CE,∴△BB1D=△BEC,∴∠CBE=∠DBB1.

∵∠DBE=∠DBB1=90°,∴∠DBE=∠CBE =90°,∴BD⊥BC,∴AH⊥BC.

∵BC2=42+12=17,∴BC=.∵S△ABC=4×2-×2×1-×3×1-×4×1=,

∴BC·AH=,∴AH=7,∴AH= .

22.【答案】（1）见解析；（2）画图见解析，（-3，1）

【解析】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；

（2）如图，△A2B2C2为所作；

点C2的坐标为（-3，1）．故答案为（-3，1）．

23.【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】解：（1）如图，就是所要作的三角形；

（2）如图所示：四边形ABDC、ABCD1、ACBD2即为所求平行四边形.

24.【答案】（1）是菱形；见解析，（2）12.

【解析】四边形BDEG是菱形，理由：

矩形ABCD和矩形AEFG关于点A中心对称，

，，

四边形BDEG是平行四边形，

又，，，四边形BDEG是菱形；

矩形ABCD面积为6，

，

．