初中数学人教版九年级上册第二十四章 圆数学活动课后复习题

24.5.1 《圆》全章复习与巩固（同步练习）（基础篇）

一、单选题

1．如图，半圆的圆心为0，直径AB的长为12，C为半圆上一点，∠CAB＝30°，的长是（   ）

A．12π B．6π C．5π D．4π

2．如图所示，是的直径，切于点，线段交于点，连接，若，则等于（    ）

A． B． C． D．

3．如图所示，MN为⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数为（    ）

A．38° B．52° C．76° D．104°

4．已知⊙O的直径为10，点P到点O的距离大于8，那么点P的位置（ ）

A．一定在⊙O的内部          B．一定在⊙O的外部

C．一定在⊙O的上              D．不能确定

5．如图，已知是 的圆周角，，则圆心角 是（　　　）

A． B． C． D．

6．若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．65°

7．如图，BC是的直径，A，D是上的两点，连接AB，AD，BD，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，、切于点、，，切于点，交、于、两点，则的周长是（    ）

A．10 B．18 C．20 D．22

9．已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10．如图，为的切线，和是切点，延长到点,使,连接,若，则等于（   ）

A． B． C． D．

11．已知正六边形的边长是2，则该正六边形的边心距是（　　）

A．1 B． C．2 D．

12．如图，一张半径为1的圆形纸片在边长为a（a≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（　　）

A． B． C． D．

13．如图，⊙O中，半径OC⊥弦AB于点D，点E在⊙O上，∠E=22.5°，AB=4，则半径OB等于（　　）

A． B．2 C．2 D．3

14．在⊙O中按如下步骤作图：

（1）作⊙O的直径AD；

（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；

（3）连接DB，DC，AB，AC，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（　　）

A．∠ABD＝90° B．∠BAD＝∠CBD C．AD⊥BC D．AC＝2CD

15．如图，在Rt中，∠BCA=90° 两分圆别以为半径画圆，则阴影部分的面积为（        ）

A． B． C． D．

二、填空题

16．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，点B，点A的坐标为(0，3)，M是第三象限内弧OB上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为______.

17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为_____．

18．如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO、BD，则∠OBD的度数是_____．

19．如图，在⊙O中，弧AB=弧CD，∠AOB与∠COD的关系是_____．

20．如图，点A、B、C、D、E都在⊙O上，AB是⊙O的直径，则∠A+∠B+∠D度数为_____．

21．如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，CB于点P，Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD＝∠ABC；②GP＝GD；③点P是△ACQ的外心，其中结论正确的是________(只需填写序号)．

22．如图，在平面直角坐标系xOy中，ABCO的顶点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，2），动点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，PB长为半径的⊙P随点P运动，当⊙P与四边形ABCO的边所在直线相切时，P点的坐标为_____．

23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．分别以A、B、C为圆心，以AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是_____．（保留π）

24．⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____．

25．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为r的圆，若要求另外三个顶点A，B，C中至少有一个点在圆内，且至少有一个点在圆外，则r的取值范围是__________．

26．如下图，⊙O是△ABC的外接圆，AC＝4，∠ABC＝∠DAC，则直径AD为______．

三、解答题

27．如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点A、B、C.

①用尺规作图法找出所在圆的圆心(保留作图痕迹，不写作法)；

②设△ABC是等腰三角形，底边BC＝8cm，腰AB＝5cm，求圆片的半径R.

28．如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．

（1）求证：△AED≌△CEB；

（2）求证：FG⊥AD；

（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

29．如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，扇形BEF的半径为6，圆心角为60°．

（1）连接DB，求证：∠DBF＝∠ABE；

（2）求图中阴影部分的面积．

30．如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．

（1）连接，若，求证：是半圆的切线；

（2）如图2，当线段与半圆交于点时，连接，，判断和的数量关系，并证明你的结论．

参考答案

1．D

【分析】

如图，连接OC，利用等腰三角形的性质及内角和定理求得∠AOC的度数，然后利用弧长公式进行解答即可．

【详解】

解：如图，连接OC，

∵OA＝OC，∠CAB＝30°，

∴∠C＝∠CAB＝30°，

∴∠AOC＝120°，

∴弧AC的长度l＝．

故选：D．

【点拨】本题考查了弧长的计算，根据题意求得∠AOC的度数是解题的关键．

2．A

【分析】

直接利用切线的性质得出，再利用三角形内角和定理得出，结合圆周角定理得出答案．

【详解】

∵PA切于点A，
∴，
∵，
∴，

∴，

故答案为：A．

【点拨】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出的度数是解题的关键．

3．C

【分析】

根据半径相等得到OM=ON，则∠M=∠N=52°，然后根据三角形内角和定理计算∠MON的度数．

【详解】

∵OM=ON，

∴∠M=∠N=52°，

∴∠MON=180°-2×52°=76°．

故选C．

【点拨】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．

4．B

【解析】

试题分析：的直径为10，半径为5，点到点的距离大于8，点一定在的外部，故选B．

考点：点与圆的位置关系．

5．D

【解析】

解：根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可得=2=，故选D

6．B

【分析】

连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据直角三角形两锐角互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．

【详解】

连结AD，如图，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=55°，

∴∠A=90°−55°=35°，

∴∠BCD=∠A=35°.

故答案为35°.

【点拨】本题考查圆周角定理，找对同弧所对的圆周角是解题关键.

7．A

【分析】

连接AC，如图，根据圆周角定理得到，，然后利用互余计算的度数．

【详解】

连接AC，如图，

∵BC是的直径，

∴，

∵，

∴．

故答案为．

故选A．

【点拨】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．

8．C

【分析】

根据切线长定理得出PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，求出△PCD的周长是PC+CD+PD=PA+PB，代入求出即可．

【详解】

解：∵PA、PB切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长是PC+CD+PD
=PC+AC+DB+PD
=PA+PB
=10+10
=20．
故选C．

【点拨】本题考查了切线长定理的应用，关键是求出△PCD的周长=PA+PB.

9．C

【分析】

根据垂径定理计算．

【详解】

解：如图OD=OA=OB=5，OE⊥AB，OE=3，

∴DE=OD-OE=5-3=2cm，

∴点D是圆上到AB距离为2cm的点，

∵OE=3cm＞2cm，

∴在OD上截取OH=1cm，

过点H作GF∥AB，交圆于点G，F两点，

则有HE⊥AB，HE=OE-OH=2cm，

即GF到AB的距离为2cm，

∴点G，F也是圆上到AB距离为2cm的点，

故选C．

【点拨】本题利用了垂径定理求解，注意圆上的点到AB距离为2cm的点不唯一，有三个．

10．B

【分析】

根据等腰三角形三线合一与切线长定理即可求解.

【详解】

∵是切点，使,

∴△ABO≌△ABD，故∠DAB=∠OAB，

∵和是切点，

∴∠OAB=∠OAC，

故∠DAB==26°，

∴=90°-∠DAB=，

故选B

【点拨】此题主要考查切线长定理，解题的关键是熟知等腰三角形的性质.

11．B

【分析】

正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．

【详解】

如图，连接OA，作OM⊥AB．

∵正六边形ABCDEF的边长为2，∴∠AOM=30°，AMAB2=1，∴正六边形的边心距是OM．

故选B．

【点拨】本题考查了正多边形的计算，正多边形的计算常用的方法是转化为直角三角形的计算．

12．D

【详解】

分析：这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是就是小正方形的面积与扇形的面积的差．

解答：

解：小正方形的面积是：1；

当圆运动到正方形的一个角上时，形成扇形BAO，它的面积是：．

则这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是4×1-4×=．

故选D．

13．C

【分析】

直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△ODB是等腰直角三角形，进而得出答案．

【详解】

解：∵半径OC⊥弦AB于点D，

∴，

∴∠E=∠BOC=22.5°，

∴∠BOD=45°，

∴△ODB是等腰直角三角形，

∵AB=4，

∴DB=OD=2，

则半径OB等于：．

故选C．

【点拨】此题主要考查了垂径定理和圆周角定理，正确得出△ODB是等腰直角三角形是解题关键．

14．D

【分析】

根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，＝，根据垂径定理即可判断A、B、C正确，再根据DC＝OD，可得AD＝2CD，进而可判断D选项．

【详解】

解：根据作图过程可知：

AD是⊙O的直径，

∴∠ABD＝90°，

∴A选项正确；

∵BD＝CD，

∴＝,

∴∠BAD＝∠CBD，

∴B选项正确；

根据垂径定理，得

AD⊥BC，

∴C选项正确；

∵DC＝OD，

∴AD＝2CD，

∴D选项错误．

故选：D．

【点拨】本题考查作图-复杂作图、含30度角的直角三角形、垂径定理、圆周角定理，解决本题的关键是熟练掌握相关知识点．

15．A

【详解】

设各个部分的面积为：S1、S2、S3、S4、S5，如图所示，

∵两个半圆的面积和是：S1+S5+S4+S2+S3+S4，△ABC的面积是S3+S4+S5，阴影部分

面积是：S1+S2+S4，

∴图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．

即阴影部分的面积=π×4+π×1-4×2÷2=π-4．

故选A.

16．3

【分析】

根据圆内接四边形的对角互补求出∠A的度数，得到∠ABO的度数，根据直角三角形的性质求出AB的长，得到答案.

【详解】

解：∵点A的坐标为(0，3)，

∴OA＝3，

∵四边形ABMO是圆内接四边形，

∴∠BMO+∠A＝180°，又∠BMO＝120°，

∴∠A＝60°，则∠ABO＝30°，

∴AB＝2OA＝6，

则则⊙C的半径为3，

故答案为：3.

【点拨】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆内四边形的性质及解直角三角形的方法.

17．110°．

【分析】

根据圆内接四边形的性质即可求解.

【详解】

∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110°

∴∠ADE=∠B＝110°

故填：110°.

【点拨】本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.

18．30°

【解析】

【分析】

根据点的坐标得到OD，OC的长度，利用勾股定理求出CD的长度，由此求出∠OCD的度数；由于∠OBD和∠OCD是弧OD所对的圆周角，根据“同弧所对的圆周角相等”求出∠OBD的度数.

【详解】

连接CD.

由题意得∠COD=90°，

∴CD是⊙A的直径.

∵D（0，1），C（，0），

∴OD=1，OC=，

∴CD==2，

∴∠OCD=30°，

∴∠OBD=∠OCD=30°.（同弧或等弧所对的圆周角相等） 

故答案为30°.

【点拨】本题考查圆周角定理以及推论，可以结合圆周角进行解答.

19．∠AOB=∠COD

【解析】

【分析】

直接利用圆心角、弧、弦的关系求解．

【详解】

∵弧AB=弧CD，∴∠AOB=∠COD．

故答案为：∠AOB=∠COD．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

20．90°

【解析】

【分析】

根据圆周角的定理解答即可.

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴=的度数是180º，

∴∠A+∠B+∠D=90º.

故答案为：90º.

【点拨】本题主要考查了圆周角的定理.

21．②③

【详解】

试题分析：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；

∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CF⊥AB，∴∠AEP=90°，∴∠ADB=∠AEP，又∠PAE=∠BAD，∴△APE∽△ABD，∴∠ABD=∠APE，又∠APE=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；

由AB是直径，则∠ACQ=90°，如果能说明P是斜边AQ的中点，那么P也就是这个直角三角形外接圆的圆心了．Rt△BQD中，∠BQD=90°-∠6，  Rt△BCE中，∠8=90°-∠5，而∠7=∠BQD，∠6=∠5， 所以∠8=∠7， 所以CP=QP；由②知：∠3=∠5=∠4，则AP=CP； 所以AP=CP=QP，则点P是△ACQ的外心，选项③正确．

则正确的选项序号有②③．故答案为②③．

考点：1．切线的性质；2．圆周角定理；3．三角形的外接圆与外心；4．相似三角形的判定与性质．

22．（0，0）或（，1）或（3﹣，）．

【分析】

设P（x， ），⊙P的半径为r，由题意BC⊥y轴，直线OP的解析式y=，直线OC的解析式为可知OP⊥OC，分分四种情形讨论即可得出答案．

【详解】

解：①当⊙P与BC相切时，∵动点P在直线y=x上，

∴P与O重合，此时圆心P到BC的距离为OB，  ∴P（0，0）．

②如图1中，当⊙P与OC相切时，则OP=BP，△OPB是等腰三角形，作PE⊥y轴于E，则EB=EO，易知P的纵坐标为1，可得P（，1）．

 
③如图2中，当⊙P与OA相切时，则点P到点B的距离与点P到x轴的距离线段，可得:，解得x=3+或3-， ∵x=3+＞OA，∴P不会与OA相切， 

∴x=3+不合题意，  ∴p（3-，）．

④如图3中，当⊙P与AB相切时，设线段AB与直线OP的交点为G，此时PB=PG，

∵OP⊥AB， ∴∠BGP=∠PBG=90°不成立， ∴此种情形，不存在P．

综上所述，满足条件的P的坐标为（0，0）或（，1）或（3-，）．

【点拨】本题考查切线的性质、一次函数的应用、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．

23．2﹣

【分析】

由于三条弧所对的圆心角的和为180°，根据扇形的面积公式可计算出三个扇形的面积和，而三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC-三个扇形的面积和，再利用三角形的面积公式计算出S△ABC，然后代入即可得到答案．

【详解】

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝2．

∴AC =1，S△ABC=×2×2=2，

∵三条弧所对的圆心角的和为180°，

∴三个扇形的面积和==，

∴三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积=S△ABC−三个扇形的面积和=2﹣

故答案为：2﹣

【点拨】本题主要考查扇形的面积公式，熟练掌握S扇形=，是解题的关键．

24．3或1

【分析】

根据垂径定理，得AB=AC，AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可

【详解】

如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC，

∴，

∴AO⊥BC，

∴BD=BC=，

在Rt△OBD中，

∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1，

∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1；

当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3．

故答案为1或3．

【点拨】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．

25．.

【详解】

试题分析：根据勾股定理可求得BD=5，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆内,点A与点D的距离最近，点A应该在圆内，所以r>3，三个顶点A、B、C中至少有一个点在圆外，点B与点D的距离最远，点B应该在圆外，所以r<5，所以r的取值范围是.

考点：勾股定理；点和圆的位置关系.

26．4

【详解】

分析：连接CD，由圆周角定理可知∠ACD=90°，再根据∠DAC=∠ABC可知AC=CD，由勾股定理即可得出AD的长.

详解：连接CD，

∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵∠DAC=∠ABC，∠ABC=∠ADC，∴∠DAC=∠ADC，∴弧CD=弧AC∴AC=CD，又∵AC2+CD2=AD2，∴2AC2=AD2，∵AC=4∴AD=4 故答案为4.

点睛：本题考查的是圆周角定理及勾股定理、直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

27．（1）详见解析；（2）.

【分析】

（1）作两弦的垂直平分线，其交点即为圆心O；

（2）构建直角△BOE，利用勾股定理列方程可得结论．

【详解】

①作法：分别作AB和AC的垂直平分线，设交点为O，则O为所求圆的圆心；

②连接AO、BO，AO交BC于E，

∵AB=AC，

∴AE⊥BC，

∴BE=BC= ×8=4，

在Rt△ABE中，AE==3，

设⊙O的半径为R，在Rt△BEO中，

OB2=BE2+OE2  ，

即R2=42+（R-3）2  ，

∴R= (cm)，

答：圆片的半径R为 cm

【点拨】本题综合考查了垂径定理，勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图等知识点，要注意作图和解题中垂径定理的应用．

28．（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析

【分析】

（1）由圆周角定理得∠A＝∠C，由ASA得出△AED≌△CEB；

（2）由直角三角形斜边上的中线性质得EF＝BC＝BF，由等腰三角形的性质得∠FEB＝∠B，由圆周角定理和对顶角相等证出∠A＋∠AEG＝90°，进而得出结论；

（3）作OH⊥AB于H，连接OB，由垂径定理得出AH＝BH＝AB＝2，则EH＝AH−AE＝1，由勾股定理求出OH＝1，OB＝，由一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，即可得出结论．

【详解】

（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，

在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；

（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，

∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，

∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，

∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；

（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，

∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，∴EH＝AH﹣AE＝1，

∴OH＝＝＝1，∴OB＝＝＝，

即⊙O的半径为，

∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．

【点拨】本题是圆的综合题目，考查了圆周角定理、垂径定理、切线的判定、全等三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．

29．（1）见解析；（2）阴影部分的面积为60π﹣9．

【分析】

（1）要证明∠DBF＝∠ABE，需证∠EBF＝ABD＝60°，则∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，可得∠DBF＝∠ABE；

（2）过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，可证明△ABM≌△DBN，阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC＝＝60π﹣9.

【详解】

（1）证明：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，AD∥BC，

∵∠A＝60°，

∴∠ADB＝∠DBC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

即∠EBF＝ABD＝60°，

∴∠ABE＝∠DBF＝60°﹣∠DBE，

即∠DBF＝∠ABE；

（2）解：过B作BQ⊥DC于Q，则∠BQC＝90°，

∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝6，

∴DC∥AB，∠C＝∠A＝60°，BC＝AB＝6，

∴∠ADC＝120°，

∴∠QBC＝30°，

∴CQ＝BC＝3，BQ＝CQ＝3，

∵∠A＝60°，∠CDB＝120°﹣60°＝60°，

∴∠A＝∠CDB，

∵AB＝BD，

∴在△ABM和△DBN中

∴△ABM≌△DBN（ASA），

∴S△ABM＝S△DBN，

∴阴影部分的面积S＝S扇形DBC﹣S△DBC＝＝60π﹣9．

【点拨】本题考查全等三角形的证明定理，通过构建全等三角形，可求出阴影部分的面积.

30．（1）见解析；（2）

【分析】

（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；

（2）如图2，连接，根据圆周角定理得到，求得，证得，等量代换即可得到结论．

【详解】

（1）证明：连接，

为半圆的切线，为半圆的直径，

，

，，

四边形是平行四边形，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

，

，

，

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是半圆的切线；

（2）解：，

理由：如图2，连接，

为半圆的直径，

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【点拨】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．