初中数学人教版九年级上册24.1.3 弧、弦、圆心角习题

专题24.3 弧、弦、圆心角（同项练习）

一、单选题

类型一、用弧、弦、圆心角关系求解

1．如图,已知AB是☉O的直径,D,C是劣弧EB的三等分点,∠BOC=40°,那么∠AOE=   (  )

A．40° B．60° C．80° D．120°

2．如图在中，若点是的中点，，则（    ）．

A． B． C． D．

3．在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两位同学分别整理了一个命题:

甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.

下面对这两个命题的判断,正确的是

A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错

4．如果两个圆心角相等，那么（　　）

A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等 D．以上说法都不对

类型二、用弧、弦、圆心角关系证明

5．如图所示，在⊙O中，弧AB和弧AC相等，∠A=30°，则∠B=（ ）

A．150° B．75° C．60° D．15°

6．已知，如图，，下列结论不一定成立的是（    ）

A． B． C． D．都是等边三角形

7．如图,圆上有A,B,C,D四点,圆内有E,F两点且点E,F在BC上.若四边形AEFD为正方形,则下列弧长关系中,正确的是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：①==；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（   ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

类型三、圆心角概念

9．下列图形中表示的角是圆心角的是(　　)

A．A B．B C．C D．D

10．下列各角中，是圆心角的是（   ）

A． B． C． D．

11．下列图形中的角是圆心角的是（    ）

A． B． C． D．

12．数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着点旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°．以上四位同学的回答中，正确的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

类型四、圆心角与它所对弧的度数

13．如图，在⊙O中，弦AB与CD交于点E，BE=DE，∠B=40°，则∠A的度数是

A．20°    B．30°    C．40°    D．80°

14．下列说法正确的是（     ）

A．等弧所对的圆心角相等    B．三角形的外心到这个三角形的三边距离相等

C．经过三点可以作一个圆    D．相等的圆心角所对的弧相等

15．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（　　）

A．60° B．75° C．80° D．90°

16．如图，已知⊙O的半径为3，弦AB、CD所对的圆心角分别是∠AOB、∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD=4，则弦AB的长为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题

类型一、用弧、弦、圆心角关系求解

17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．

18．如图，在⊙O中，点C是弧AB的中点，∠A＝50°，则∠BOC等于_____度．

19．一条弦把圆分成1：3两部分，则弦所对的圆心角为________．

20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠AOC=40°，D是BC弧的中点，则∠ACD= ________．

     ​

类型二、用弧、弦、圆心角关系证明

21．如图，OA，OB，OC，OD是⊙O的半径，

（1）如果∠AOB＝∠COD，那么_______，_____=______，∠AOC______∠BOD；

（2）如果AB＝CD，那么_____=_____，______；

（3）如果=，那么____，_____，______．

22．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，OE，OF分别为AB，CD的弦心距，连接OA，OB，OC，OD，如果AB＝CD，则可得出结论：____________________________．(至少填写两个)

23．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，要使AB＝CD，需要补充的条件是_____（补充一个即可）．

24．如图，正方形ABCD中，AB=5cm，以B为圆心，2cm长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP，并将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′．在点P移动的过程中，BP′长度的最小值为_______cm．

类型三、圆心角概念

25．圆心角相等，所对的弦也相等．                （______）

26．若将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为________．

27．将一个圆分割成三个扇形，它们圆心角度数的比1：3：5，则最大扇形的圆心角的度数为_____．

28．把一个圆分成4个扇形，它们分别占整个圆的10%，20%，30%，40%，那么这四个扇形的圆心角分别是_______.

类型四、圆心角与它所对弧的度数

29．如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为DC延长线上一点，∠A=70°，则∠BCE的度数为_____________

30．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____．

31．如图，在△ABC中，∠A70°，∠B55°，以BC为直径作⊙O，分别交AB、AC于点E、F，则的度数为________°．

32．如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________．

三、解答题

类型一、用弧、弦、圆心角关系求解

33．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD＝AC．求证：AB＝CD．

类型二、用弧、弦、圆心角关系证明

34．如图，△ABC分别交⊙O于点A，B，D，E，且CA＝CB．求证：AD＝BE．

类型三、圆心角与它所对弧的度数

35．如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E．

（1）如图1，若为120°，为50°，求∠E的度数；

（2）如图2，若AB＝CD，求证：AE＝DE．

参考答案

1．B

【分析】根据题意先求出∠BOE=120°，再利用邻补角即可求出∠AOE.

∵D,C是劣弧EB的三等分点,

∴∠BOE=3∠BOC=120°，

∴∠AOE=180°-∠BOE=60°

选B.

【点拨】此题主要考察圆的圆心角度数问题.

2．D

【分析】根据圆的基本性质推出即可解决问题．

解：∵，

∴，

∴．

故选D．

【点拨】此题考查的是圆的基本性质,掌握等弧所对的圆心角相等是解决此题的关键.

3．D

【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.

(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径的弦; 故乙命题项错误;

故选D.

【点拨】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.

4．D

【解析】

因为在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦以及弦心距相等,本题中题设中缺少”同圆或等圆”这一条件,故选D.

点拨:本题主要考查圆心角与弧,弦,弦心距之间的关系,解决本题的关键要熟练掌握圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系,并注意前提条件:”同圆或等圆中”.

5．B

∵在⊙O中，=，

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形，

∴∠B=∠C；又∠A=30°，

∴∠B==75°（三角形内角和定理）．

故选B．

考点：圆心角、弧、弦的关系．

6．D

【分析】由题意根据圆心角、弧、弦之间的关系，由∠AOB=∠COD，可得弦相等，弧相等以及三角形全等，以此进行分析判断即可．

解：

，．

成立，D不成立．

故选：D．

【点拨】本题考查弧，弦，圆心角之间的关系，注意掌握三组量中，只要有一组相等，其余的都对应相等．

7．C

【分析】由图知，BC＞AD，根据大弦对大弧知， ．

A、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，则其所对的弧相等，因为AB＞AE，所以，故A项不正确；

B、因为四边形AEFD为正方形，所以AD＝AE，因为AB＞AE，所以AB＞AD，则可得 ，故B项不正确；

C、弦AB＜AE＋BE（三角形两边之和大于第三边），弦BC＝EF＋BE＋FC＞EF＋BE＝AE＋BE＞弦AB，所以，故C项正确；

D、由图可看出其不相等，故D项错误．

故答案选：C．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，利用了在同圆或等圆中大弦对大弧求解,熟练掌握关系是解题的关键.

8．A

【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．

∵C、D为半圆上三等分点，

∴，故①正确，

∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，

∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，

∵OA=OD=OC=OB，

∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，

∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，

∴正确的说法有：①②③④共4个，

故选A．

【点拨】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．

9．A

【解析】

解:根据圆心角的定义:顶点在圆心的角是圆心角可知,B,C,D项图形中的顶点都不在圆心上,所以它们都不是圆心角.

故选A.

10．D

【分析】根据圆心角的概念，圆心角的顶点必须为圆心，即可判定D正确．

顶点在圆心，两边和圆相交的角是圆心角，选项D中，是圆心角，

故选D．

【点拨】本题考查了圆的认识——圆心角的定义，顶点在圆心的角是圆心角.

11．B

【分析】由题意直接根据圆心角的定义即顶点在圆心的角叫做圆心角进行分析判断即可．

解：顶点在圆心的角叫做圆心角，4个选项中只有B符合要求．

故选：B．

【点拨】本题考查圆心角的定义，熟练掌握圆心角定义的内容即顶点在圆心的角叫做圆心角是解答此题的关键．

12．B

【分析】观察图形，中间相当于一个圆心角被平分为六份，用一周角度数除以六.

解：.

故选：B.

【点拨】本题考查的对圆心角的概念的认识，将正六边形中心看作圆心角被平分是解答关键.

13．C

【解析】∵BE=DE，∠B=40°，

∴∠D＝∠B＝40°，

又∵∠A和∠D是弧BC所对的圆周角，

∴∠A＝∠D＝40°；

故选C。

14．A

【解析】

试题分析：A．等弧所对的圆心角相等，所以A选项正确；

B．三角形的外心到这个三角形的三个顶点的距离相等，所以B选项错误；

C．经过不共线的三点可以作一个圆，所以C选项错误；

D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以D选项错误．

故选C．

考点：1．确定圆的条件；2．圆心角、弧、弦的关系；3．三角形的外接圆与外心．

15．D

【分析】根据垂径定理的推论:弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，就可以确定弧AC所对的圆心角的大小.

作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，

它们都经过Q，∴点Q为这条圆弧所在圆的圆心，∴QC＝AQ＝，连接AC，且AC＝，∴在△ABC中，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠AQC＝90°，故本题正确答案为选项D.

【点拨】本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，这是常用来确定圆心的方法，圆心确定就可以求得弧AC所对的圆心角的大小，确定圆心是解决本题的关键.

16．C

【分析】如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．证明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．

解：如图，延长AO交⊙O于T，连接BT．

∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，
∴∠COD=∠BOT，
∴，
∴CD=BT=4，
∵AT是直径，AT=6，
∴∠ABT=90°，
∴AB==，
故选：C．

【点拨】本题考查圆周角定理，勾股定理，圆心角，弧，弦之间的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．

17．50°

【解析】

试题分析：连接CD，

∵∠A=25°，

∴∠B=65°，

∵CB=CD，

∴∠B=∠CDB=65°，

∴∠BCD=50°，

∴的度数为50°

考点：1.圆心角、弧、弦的关系；2.三角形内角和定理；3.直角三角形的性质

18．40．

【分析】由于点C是弧AB的中点，根据等弧对等角可知：∠BOC是∠BOA的一半；在等腰△AOB中，根据三角形内角和定理即可求出∠BOA的度数，由此得解．

△OAB中，OA＝OB，

∴∠BOA＝180°﹣2∠A＝80°，

∵点C是弧AB的中点，

∴，

∴∠BOC＝∠BOA＝40°，

故答案为40．

【点拨】本题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等是解题的关键.

19．90°

【解析】

试题分析：∵一条弦把圆分成1：3两部分，∴劣弧的度数=360°÷4=90°，∴弦所对的圆心角为90°．

考点：圆心角、弧和所对弦的关系．

20．125°

【解析】

分析: 连接OD，由∠AOC=40°，可得出∠BOC，再由D是BC弧的中点，可得出∠COD，从而得出∠ACD即可．

 解: 连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∠AOC=40°，

∴∠BOC=140°，∠ACO=（180°-40°）÷2=70°，

∵D是BC弧的中点，

∴∠COD=70°，

∴∠OCD=（180°-70°）÷2=55°，

∴∠ACD=∠ACO+∠OCD=70°+55°=125°，

故答案为：125°．

点拨: 本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等腰三角形的性质.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

21．（1）AB=CD，， ， = ；（2） ， ，∠AOB=∠COD；（3）AB＝CD，∠AOB＝∠COD， =

【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．

（1）∵∠AOB=∠COD，

∴AB=CD，，∠AOC=∠BOD；

（2）∵AB=CD，

∴，∠AOB=∠COD；

（3）∵，

∴AB=CD，∠AOB=∠COD，．

故答案为：（1）AB=CD，，，=；（2），，∠AOB=∠COD；（3）AB=CD，∠AOB=∠COD，=．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等．

22．OE＝OF(∠AOB＝∠COD. 本题答案不唯一．)

【解析】

∵AB＝CD，OE⊥AB,OF⊥CD,

∴OE=OF, ∠AOB=∠COD.

23．.

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理解答即可．

当弧AD＝弧BC时，AB＝CD，

理由如下：∵弧AD＝弧BC，

∴弧AD+弧BD=弧BC+弧BD，即弧AB=弧CD，

∴AB＝CD，

故答案为：弧AB=弧CD．

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．

24．

【分析】连接BP、DP′、BD，根据题意易得点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，进而可知当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，然后利用勾股定理求解即可．

解：连接BP、DP′、BD，如图所示：

四边形ABCD是正方形，AB=5cm，

AB=AD=5cm，∠DAB=90°，

，

将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，

AP= AP′，∠P′AP=90°，

∠DAP为∠P′AP与∠DAB的公共角，

∠P′AD=∠PAB，

△P′AD≌△PAB，

PB=2cm，

DP′=2cm，

点P′的运动轨迹是以D为圆心，2cm长为半径的圆，如图所示：

当点B、D、P′三点共线时，BP′长度的为最小，

；

故答案为．

【点拨】本题主要考查正方形的性质及圆的基本性质，关键是利用正方形的性质得到动点的运动轨迹，然后利用圆的最短路径问题求解即可．

25．错

【分析】利用圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断即可．

根据圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，判断可知原命题为假命题，

故答案为×．

【点拨】此题考查圆心角定理，解题关键在于熟悉定理概念.

26．120

【分析】根据圆的性质计算，即可得到答案．

根据题意，将一个圆等分成三个扇形，则其中一个扇形圆心角的度数为：

故答案为：120．

【点拨】本题考查了圆的知识；解题的关键是熟练掌握圆和圆心角的性质，从而完成求解．

27．200°

【分析】根据它们的圆心角的度数和为周角，则利用它们所占的百分比计算它们的度数．

最大扇形的圆心角的度数＝360°×＝200°．

故答案为200°

【点拨】本题考查了认识平面图形－圆心角，解答此题的关键是由题意得出三个圆心角的和为360°．

28．36°，72°，108°，144°

【分析】根据扇形所占的百分比乘以360°进行解答即可．

四个扇形的圆心角分别是360°×10%=36°；

360°×20%=72°；

360°×30%=108°；

360°×40%=144°.

故答案为36°，72°，108°，144°.

【点拨】考查了扇形圆心角的度数问题，注意周角的度数是360°．

29．70°

【分析】根据已知条件作辅助线，连接BO,DO，已知∠A=70°根据圆心角是对应圆周角的两倍求出110°,即可求得∠BCE的度数.

作辅助线连接BO,DO

∵圆心角是对应圆周角的两倍，

故答案为70°.

【点拨】此题考查圆心角与圆周角之间的关系，解题在于熟练掌握圆周角与对应圆心角之间的关系换算.

30．105°．

【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．

解：连接OD、OE，

∵的度数为35°，

∴∠AOD=35°，

∵CD=CO，

∴∠ODC=∠AOD=35°，

∵OD=OE，

∴∠ODC=∠E=35°，

∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°，

∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°，

∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°，

∴的度数是105°．

故答案为105°．

【点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

31．40

分析：连接OE、OF. 先利用三角形内角和定理计算出∠C=55°，再求出∠COF=∠BOE=70°，从而得出∠EOF=40°，故可得解.

 解：如图，连接OE，OF.

∵∠A70°，∠B55°，

∴∠C=180°-∠A-∠B=55°，

∵OC=OF,

∴∠OFC=∠C=55°，

∴∠COF=180°-∠CFO-∠C=70°，

同理，∠BOE=70°，

∴∠EOF=180°-∠COF-∠BOE=40°，

故的度数为40°.

故答案为40.

点拨：此题考查了圆心角、弧的关系：圆心角的度数等于它所对弧的度数.

32．

【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．

解：连接OE，OD，

∵=，

∴∠DOC=∠EOF，

∵CD⊥AB，EF⊥AB，

∴∠DCO=∠EFO=90°，

又∵DO=EO，

∴Rt△DOC≌Rt△EOF，

∴CO=OF=，

∵在Rt△DOC中，OD=，

∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =，

∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得．

故答案为：x2-x+1=0．

【点拨】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用．

33．证明见解析.

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系，先由BD=AC得到，于是两边都减去得到，即AB=CD；

证明：∵BD＝AC，

∴，

∴=，

即，

∴AB＝CD.

【点拨】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握圆心角、弧、弦的关系是解题的关键.

34．见解析

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠A=∠B，根据圆心角、弧、弦的关系定理证明结论．

证明：∵AC＝BC，

∴∠A＝∠B，

∴，

∴，即，

∴AD＝BE．

【点拨】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系、等腰三角形的性质，掌握圆心角、弧、弦的关系定理是解题的关键．

35．（1）35°；（2）见解析

【分析】（1）连接AC．根据弧AD为120°，弧BC为50°，可得到∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，根据∠ACD＝∠BAC+∠E，得出∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；

（2）连接AD．由AB＝CD，得到弧AB＝弧CD，推出弧AC＝弧BD，所以∠ADC＝∠DAB，因此AE＝DE．

（1）解：连接AC．

∵弧AD为120°，弧BC为50°，

∴∠ACD＝60°，∠BAC＝25°，

∵∠ACD＝∠BAC+∠E

∴∠E＝∠ACD﹣∠BAC＝60°﹣25°＝35°；

（2）证明：连接AD．

∵AB＝CD，

∴弧AB＝弧CD，

∴弧AC＝弧BD，

∴∠ADC＝∠DAB，

∴AE＝DE．

【点拨】本题考查了圆的相关计算与证明，正确理解圆心角、弧与弦的关系是解题的关键．