北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学【试卷+答案】

这是一份北京市中国人民大学附属中学朝阳学校2021-2022学年高三上学期10月阶段检测数学【试卷+答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年北京市人大附中朝阳学校高三（上）质检数学试卷（10月份）
一、选择题（共10小题，每小题4分，40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5} D．[1，5]
2．在复平面内，复数2iz＝1+8i（其中i是虚数单位），则z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（　　）
A． B．y＝ln|x| C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝sinx
4．若P（﹣3，4）为角α终边上一点，则cos（2π﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知＝（﹣，﹣1），＝（1，），那么，的夹角θ＝（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
6．已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
7．下列说法正确的是（　　）
A．“∀x＞0，ex＞x+1”的否定形式是“∃x≤0，ex≤x+1”
B．若a+bi＝（1﹣i）（2+i），（a∈R，b∈R），则a+b＝0
C．两个非零向量，“|，且”是“”的充分不必要条件
D．若xy≥0（x∈R，y∈R），则|x+y|+|x|+|y|≥2|x﹣y|
8．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
9．已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（　　）
A．[1，4] B．[2，4] C．[1，3] D．[1，2]
10．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的个数是（　　）
①已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝±2；
②已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ（Y）＜1；
③已知X＝{x|f（x）＞g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x）；
④已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤3．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）
11．若sinx＝﹣，则cos2x＝　 　．
12．在△ABC中，若，则三个内角中最大角的余弦值为　 　
13．若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝　 　．
14．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时斜方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P距离水面的高度为 　 　m；
（Ⅱ）将点P距离水面的高度为h（单位：m）表示为时间t（单位：S）的函数，则次函数表达方式为h（t）＝　 　．

15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：
①函数f（x）的最大值为12；
②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；
③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．
其中，所有正确结论的序号是　 　．

三、解答题：（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意有两个不同的解，求实数m的取值范围．
17．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
18．在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足acosC．
（1）求角A的大小；
（2）现在给出三个条件：①c＝b；②B＝；③a＝2．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，_____，_____，求△ABC的面积．
19．已知函数（a≥1）．
（Ⅰ）若a＝3，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在R上无极值点，求a的值；
（Ⅲ）当x∈（0，2）时，讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．
20．已知函数f（x）＝﹣xlnx+a（x+1），a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤2a在[2，+∞）上恒成立．求a的取值范围；
（Ⅲ）若实数b满足a＜﹣b2+1且b＞1，证明：f（x）＜1﹣2lnb2．
21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P（x，y），定义|OP|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2成立，则称点A，B相关．
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．
（Ⅱ）给定n∈N*，n≥3，点集Ωn＝{（x，y）|﹣n≤x≤n，﹣n≤y≤n，x，y∈Z}．
（i）求集合Ωn中与点A（1，1）相关的点的个数；
（ii）若S⊆Ωn，且对于任意的A，B∈S，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．


参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣5）＜0}，则A∪B＝（　　）
A．{3} B．{1，3，5} C．{1，2，3，4，5} D．[1，5]
【分析】先求出集合B，再根据并集运算求解即可．
解：∵B＝{x∈Z|（x﹣1）（x﹣5）＜0}＝{x∈Z|（1＜x＜5}＝{2，3，4}，
A＝{1，3，5}，
∴A∪B＝{1，2，3，4，5}，
故选：C．
2．在复平面内，复数2iz＝1+8i（其中i是虚数单位），则z对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
解：∵2iz＝1+8i，
∴，
∴z对应的点（4，﹣），位于第四象限．
故选：D．
3．下列函数中，值域为R且为奇函数的是（　　）
A． B．y＝ln|x| C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝sinx
【分析】判断各个选项的奇偶性，再求出值域即可求得结论．
解：对于A，y＝为奇函数，值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），不符合题意；
对于B，y＝ln|x|是偶函数，不符合题意；
对于C，y＝2x﹣2﹣x是奇函数，且值域为R，符合题意；
对于D，y＝sinx是奇函数，值域为[﹣1，1]，不符合题意．
故选：C．
4．若P（﹣3，4）为角α终边上一点，则cos（2π﹣α）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，计算求得结果．
解：若P（﹣3，4）为角α终边上一点，则cos（2π﹣α）＝cosα＝＝﹣，
故选：A．
5．已知＝（﹣，﹣1），＝（1，），那么，的夹角θ＝（　　）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【分析】首先求cosθ，然后再求得θ值．
解：∵cosθ＝＝＝﹣，
∴，的夹角θ为150°．
故选：D．
6．已知函数f（x）＝，且f（a）＝﹣3，则f（6﹣a）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【分析】利用分段函数，求出a，再求f（6﹣a）．
解：由题意，a≤1时，2α﹣1﹣2＝﹣3，无解；
a＞1时，﹣log2（a+1）＝﹣3，∴α＝7，
∴f（6﹣a）＝f（﹣1）＝2﹣1﹣1﹣2＝﹣．
故选：A．
7．下列说法正确的是（　　）
A．“∀x＞0，ex＞x+1”的否定形式是“∃x≤0，ex≤x+1”
B．若a+bi＝（1﹣i）（2+i），（a∈R，b∈R），则a+b＝0
C．两个非零向量，“|，且”是“”的充分不必要条件
D．若xy≥0（x∈R，y∈R），则|x+y|+|x|+|y|≥2|x﹣y|
【分析】直接利用命题的否定，复数的运算，平面向量的共线，充分条件和必要条件，三角不等式的应用判断A、B、C、D的结论．
解：对于A：“∀x＞0，ex＞x+1”的否定形式是“∃x＞0，ex≤x+1”，故A错误；
对于B：若a+bi＝（1﹣i）（2+i）＝2﹣i+1＝3﹣i，（a∈R，b∈R），则a+b＝3﹣1＝2，故B错误；
对于C：两个非零向量，“|，且”是“”的必要不充分条件，故C错误；
对于D：若xy≥0（x∈R，y∈R），则|x+y|+|x|+|y|＝2|x+y|≥2|x﹣y|，故D正确．
故选：D．
8．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【分析】5名志愿者先选2人一组，然后4组全排列即可．
解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有＝240种，
故选：C．
9．已知函数，若实数m∈[﹣2，0]，则|f（x）﹣f（﹣1）|在区间[m，m+2]上的最大值的取值范围是（　　）
A．[1，4] B．[2，4] C．[1，3] D．[1，2]
【分析】令g（x）＝f（x）﹣f（﹣1），根据题设条件求出g（x）的表达式，画出其图象，再对m进行讨论，求出|g（x）|的最大值的表达式，进而解决其范围问题．
解：∵函数，∴f（x）﹣f（﹣1）＝，令g（x）＝f（x）﹣f（﹣1），
其图象如下图所示：①当m＝﹣2时，g（x）＝，此时|g（x）|max＝1；
②m∈（﹣2，﹣1）时，
|g（x）|max＝﹣g（m+2）＝﹣[（m+2）2﹣2（m+2）﹣1]＝﹣m2﹣2m+1∈（1，2）；
③当m＝﹣1时，g（x）＝，此时|g（x）|max＝2，
④当m∈（﹣1，0）时，|g（x）|max＝﹣g（m+2）＝﹣[（m+2）2﹣2（m+2）﹣1]
＝﹣m2﹣2m+1∈（1，2）；
⑤当m＝0时，g（x）＝x2﹣2x﹣1，x∈[0，2]，此时|g（x）|max＝1．
综上，最大值的取值范围为[1，2]．
故选：D．

10．若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m，则记Δ（X）＝M﹣m．下列命题中正确的个数是（　　）
①已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，且Δ（X）＝Δ（Y），则b＝±2；
②已知X＝[a，a+2]，Y＝{y|y＝x2，x∈X}，则存在实数a，使得Δ（Y）＜1；
③已知X＝{x|f（x）＞g（x），x∈[﹣1，1]}，若Δ（X）＝2，则对任意x∈[﹣1，1]，都有f（x）≥g（x）；
④已知X＝[a，a+2]，Y＝[b，b+3]，则对任意的实数a，总存在实数b，使得Δ（X∪Y）≤3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用信息的应用和赋值法的应用利用函数的恒成立问题和存在性问题的应用判断①、②、③、④的结论．
解：对于①：已知X＝{﹣1，1}，Y＝{0，b}，
且Δ（X）＝M﹣m＝Δ（Y）＝|b﹣0|，则b＝±2，故①正确；
对于②：对于B，假设存在实数a，使△（Y）＜1，
若a≥0，△（Y）＝（a+2）2﹣a2＝4（a+1）≥4，矛盾，
若a+2≤0，△（Y）＝a2﹣（a+2）2＝﹣4（a+1）≥4，矛盾，
若﹣1＜a＜0，△（Y）＝（a+2）2＞1，矛盾，
若﹣2＜a＜﹣1，△（Y）＝a2＞1，矛盾，
若a＝﹣1，△（Y）＝1﹣0＝1，矛盾，
所以②错；
对于③：由于△（X）＝2知：X＝[﹣1，1]，
则f（1）≥g（1）且f（﹣1）≥g（﹣1）但是f（0）≥g（0）不一定成立，
比如f（x）＝x2﹣1，g（x）＝0，故③错误；
对于④：取b＝a，易知△（X∪Y）＝3，对于任意的实数a，总存在b使之成立，故④正确．
故选：B．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上）
11．若sinx＝﹣，则cos2x＝　　．
【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
解：∵sinx＝﹣，
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（﹣）2＝．
故答案为：．
12．在△ABC中，若，则三个内角中最大角的余弦值为　﹣　
【分析】由已知利用大边对大角可求A为最大角，结合余弦定理算出cosA的值，即可得到最大角的余弦值．
解：在△ABC中，∵，可得：a＝2c，
∴A为最大角，
∴cosA＝＝＝﹣．
故答案为：﹣．
13．若向量，满足||＝3，|﹣|＝5，•＝1，则||＝　　．
【分析】由题意首先计算，然后结合所给的条件，求出向量的模即可．
解：由题意，可得，
因为||＝3，•＝1，所以，
所以．
故答案为：．
14．一半径为4m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟转动（按逆时斜方向）3圈，当水轮上点P从水中浮现时开始计时，即从图中点P0开始计算时间．
（Ⅰ）当t＝5秒时点P距离水面的高度为 　　m；
（Ⅱ）将点P距离水面的高度为h（单位：m）表示为时间t（单位：S）的函数，则次函数表达方式为h（t）＝　　．

【分析】（Ⅰ）利用直角三角形的边角关系，即可求出5秒后点P离开水面的距离；（Ⅱ）由题意求ω值，结合t＝0的情况可求出φ的值，即得函数解析式．
解：（Ⅰ）t＝5秒时，水轮转过角度为，

在Rt△MOP0中，MP0＝2，∴；
在Rt△AON中，，∴，
此时点A（P）离开水面的高度为；
（Ⅱ）由题意可知，，
设角是以Ox为始边，OP0为终边的角，
由条件得，其中；
将t＝0，h（0）＝0代入，得4sinφ+2＝0，
∴；
∴所求函数的解析式为．
故答案为，．
15．如图，在等边三角形ABC中，AB＝6．动点P从点A出发，沿着此三角形三边逆时针运动回到A点，记P运动的路程为x，点P到此三角形中心O距离的平方为f（x），给出下列三个结论：
①函数f（x）的最大值为12；
②函数f（x）的图象的对称轴方程为x＝9；
③关于x的方程f（x）＝kx+3最多有5个实数根．
其中，所有正确结论的序号是　①②　．

【分析】写出函数解析式并作出图象，数形结合进行逐一分析
解：由题可得函数f（x）＝，作出图象如图：

则当点P与△ABC顶点重合时，即x＝0，6，12，18时，f（x）取得最大值12，故①正确；
又f（x）＝f（18﹣x），所以函数f（x）的对称轴为x＝9，故②正确；
由图象可得，函数f（x）图象与y＝kx+3的交点个数为6个，故方程有6个实根，故③错误．
故答案为：①②．
三、解答题：（本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若对任意有两个不同的解，求实数m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由辅助角公式化简函数，再求出函数的周期及单调递增区间即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及x的范围，求出2x﹣的范围，换元，由单位圆及题意可得m的范围．
解：（Ⅰ）f（x）＝2sinxsin（+x）﹣sin（2x+）
＝2sinxcosx﹣sin2xcos﹣cos2xsin＝sin2x﹣sin2x﹣cos2x
＝sin2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）
所以函数的最小正周期T＝＝π；
单调递增区间满足2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ﹣≤x≤π+kπ，k∈Z，
所以f（x）的最小正周期为π；
单调递增区间为[﹣+kπ，π+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）因为x∈[0，]，所以2x﹣∈[﹣，]，
令t＝2x﹣∈[﹣，]，
所以g（t）＝sint，t∈[﹣，]，
由题意可得g（t）＝m有两个解，所以m∈[，1）．
所以实数m的取值范围为[，1）．

17．某企业2017年招聘员工，其中A、B、C、D、E五种岗位的应聘人数、录用人数和录用比例（精确到1%）如下：
岗位
男性应聘人数
男性录用人数
男性录用比例
女性应聘人数
女性录用人数
女性录用比例
A
269
167
62%
40
24
60%
B
40
12
30%
202
62
31%
C
177
57
32%
184
59
32%
D
44
26
59%
38
22
58%
E
3
2
67%
3
2
67%
总计
533
264
50%
467
169
36%
（Ⅰ）从表中所有应聘人员中随机选择1人，试估计此人被录用的概率；
（Ⅱ）从应聘E岗位的6人中随机选择2人．记X为这2人中被录用的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）表中A、B、C、D、E各岗位的男性、女性录用比例都接近（二者之差的绝对值不大于5%），但男性的总录用比例却明显高于女性的总录用比例．研究发现，若只考虑其中某四种岗位，则男性、女性的总录用比例也接近，请写出这四种岗位．（只需写出结论）
【分析】（I）根据录用总人数与应聘总人数的比值得出概率；
（II）根据超几何分布列的概率公式得出分布列和数学期望；
（III）去掉一个岗位后计算剩余4个岗位的男女总录用比例得出结论．
解：（Ⅰ）因为表中所有应聘人员总数为533+467＝1000，
被该企业录用的人数为264+169＝433，
所以从表中所有应聘人员中随机选择1人，此人被录用的概率约为．
（Ⅱ）X可能的取值为0，1，2．
因为应聘E岗位的6人中，被录用的有4人，未被录用的有2人，
所以；；．
所以X 的分布列为：
X
0
1
2
P



．
（Ⅲ）取掉A岗位后，男性的总录用比例为≈36.7%，女性的总录用比例为≈34.0%，
故去掉A岗位后，男、女总录用比例接近．
∴这四种岗位是：B、C、D、E．
18．在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足acosC．
（1）求角A的大小；
（2）现在给出三个条件：①c＝b；②B＝；③a＝2．试从中选出两个条件，补充在下面的问题中，_____，_____，求△ABC的面积．
【分析】（1）直接利用三角函数的关系式的变换和正弦定理的应用求出结果；
（2）选②③时，利用正弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果；
选①③时，直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．
解：（1）在△ABC中分别a、b、c分别是角A、B、C的对边，且满足acosC．
利用正弦定理：（2sinB﹣sinC）cosA＝，
整理得：2sinBcosA＝，
所以2sinBcosA＝，
由于sinB＞0，
所以cosA＝，
由于A∈（0，π），
所以A＝；
（2）选②B＝；③a＝2时，由（1）得：C＝，
由正弦定理：，解得b＝2，
c＝4sin＝，
所以；
选：①c＝b；③a＝2时，
利用余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，
整理得：4＝4b2﹣3b2＝b2，
解得b＝2；
故c＝2，
所以．
综上所述：当选②③时，；选①③时，．
19．已知函数（a≥1）．
（Ⅰ）若a＝3，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若f（x）在R上无极值点，求a的值；
（Ⅲ）当x∈（0，2）时，讨论函数f（x）的零点个数，并说明理由．
【分析】（I）求得a＝3时f（x）的解析式和导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；
（Ⅱ）求得f（x）的导数，运用二次不等式恒成立思想，由判别式小于等于0，解不等式可得a的值；
（Ⅲ）求得f（x）的导数，讨论a＝1和1＜a＜9，a＝9，a＞9，结合单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数．
解：（I）当a＝3时，f（x）＝x3﹣2x2+x+1，
导数f′（x）＝3x2﹣4x+1，可得切线的斜率为k＝f′（1）＝0，f（1）＝1，
所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝1；
（Ⅱ）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1，a≥1，
依题意有f′（x）≥0，即△≤0，
即（a+1）2﹣4a≤0，即（a﹣1）2≤0，但（a﹣1）2≥0，
解得a＝1；
（Ⅲ）f′（x）＝ax2﹣（a+1）x+1＝（ax﹣1）（x﹣1），a≥1．
（1）a＝1时，函数f（x）在R上恒为增函数且f（0）＝1，
函数f（x）在（0，2）上无零点；
（2）a＞1时，
当，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数；
当，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数；
当x∈（1，2），f′（x）＞0，函数f（x）为增函数．
由于，此时只需判定的符号．
当1＜a＜9时，函数f（x）在（0，2）上无零点；
当a＝9时，函数f（x）在（0，2）上有一个零点；
当a＞9时，函数f（x）在（0，2）上有两个零点．
综上，1≤a＜9时函数f（x）在（0，2）上无零点；
当a＝9时，函数f（x）在（0，2）上有一个零点；
当a＞9时，函数f（x）在（0，2）上有两个零点．
20．已知函数f（x）＝﹣xlnx+a（x+1），a∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤2a在[2，+∞）上恒成立．求a的取值范围；
（Ⅲ）若实数b满足a＜﹣b2+1且b＞1，证明：f（x）＜1﹣2lnb2．
【分析】（Ⅰ）直接利用导数求解；
（Ⅱ）可得a≤，令g（x）＝，利用导数求得a的取值范围；
（Ⅲ）等价于证明，只需证明即可，令x＝b2＞1，等价于（2lnx﹣x）ex＜﹣1，令h（x）＝（2lnx﹣x）ex，利用导数即可证明．
解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣（lnx+1）+a＝0，可得x＝ea﹣1，
f（x），f′（x）变化如下：
x
（0，ea﹣1）
ea﹣1
（ea﹣1，+∞）
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
单调递增
ea﹣1+a
单调递减
∴f（x）的增区间为：（0，ea﹣1），减区间为：（ea﹣1，+∞）；
（Ⅱ）∵f（x）≤2a，∴﹣xlnx≤a（1﹣x），
∵x≥2，∴a≤，
令g（x）＝，g′（x）＝，
令t（x）＝x﹣1﹣lnx，t′（x）＝1﹣＝，
可得t（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，∴t（x）≥t（1）＝0，
∴g（x）在[2，+∞）上单调递增，a≤g（2）＝2ln2，
∴a的取值范围为（﹣∞，2ln2]；
（Ⅲ）证明：∵a＜﹣b2+1且b＞1，∴a﹣1＜﹣b2，
由（Ⅰ）知，f（x）≤f（ea﹣1）＝ea﹣1+a，
∵G（a）＝ea﹣1+a在a∈R上单调递增，
∴，
只需证明即可．
令x＝b2＞1，等价于证明，即证明（2lnx﹣x）ex＜﹣1，
令h（x）＝（2lnx﹣x）ex，，
令H（x）＝2lnx﹣x+﹣1，H′（x）＝＜0，
∴H（x）单调递减，而H（1）＝0，
∴h（x）在（1，+∞）单调递减，∴h（x）＜h（1）＝﹣e＜﹣1，
∴原命题得证．
21．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．对任意的点P（x，y），定义|OP|＝|x|+|y|．任取点A（x1，y1），B（x2，y2），记A'（x1，y2），B'（x2，y1），若此时|OA|2+|OB|2≥|OA'|2+|OB'|2成立，则称点A，B相关．
（Ⅰ）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；
①A（﹣2，1），B（3，2）；②C（4，﹣3），D（2，4）．
（Ⅱ）给定n∈N*，n≥3，点集Ωn＝{（x，y）|﹣n≤x≤n，﹣n≤y≤n，x，y∈Z}．
（i）求集合Ωn中与点A（1，1）相关的点的个数；
（ii）若S⊆Ωn，且对于任意的A，B∈S，点A，B相关，求S中元素个数的最大值．
【分析】（Ⅰ）根据题意若点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，利用此不等式即可判定两点是否相关，
（Ⅱ）（i）根据（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，分别讨论在4个象限内，及坐标轴上与点A（1，1）相关的点的个数，即可算出结果；
（ii）由（Ⅰ）可知若两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，再证明|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≥1，即可求出S中元素个数的最大值．
解：若点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，不妨设x1，y1，x2，y2≥0，
则，
∴（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，
（1）①（2﹣3）（1﹣2）≥0，因此相关；②（4﹣2）（3﹣4）＜0，因此不相关，
（2）（i）在第一象限内，（x﹣1）（y﹣1）≥0，可知1≤x≤n 且1≤y≤n，有n2个点，同理可得在第二，第三，第四象限内，各有n2个点，
在x轴正半轴上，点（1，0）满足条件，
在y轴正半轴上，点（0，1）满足条件，
原点（0，0）满足条件，
因此集合Ωn中共有4n2+5个点与点A（1，1）相关，
（ii）若两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2）相关，其中x1，x2≥0，y1，y2≥0，
可知（x1﹣x2）（y1﹣y2）≥0，下面证|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≥1，
若x1＝x2，则y1≠y2，成立，若x1＞x2，则y1≥y2，若x1＜x2，则y1≤y2，亦成立，
由于|（x1+y1）﹣（x2+y2）|≤（n+n）﹣（0+0）＝2n，
因此最多有2n+1个点两两相关，其中最多有2n﹣1个点在第一象限，最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点，
因此S中元素个数的最大值为4（2n﹣1）+2×1+1＝8n﹣1．