高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式学案

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式

授课提示：对应学生用书第64页

[基础梳理]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．

(2)S(α－β)：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．

(3)C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β．

(4)C(α－β)：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．

(5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝．

(6)T(α－β)：tan(α－β)＝．

2．倍角公式

(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α．

(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α

  ＝2cos2α－1

  ＝1－2sin2α．

(3)T2α：tan 2α＝．

1．和、差、倍公式的转化

2．公式的重要变形

(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．

(4)辅助角公式：asin x＋bcos x＝sin(x＋φ).

[四基自测]

1．(基础点：构造和角公式)已知sin＝，α∈，则sin α的值为(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D．

答案：D

2．(基础点：逆用公式)化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为(　　)

A.  B．

C．－  D．－

答案：A

3．(基础点：倍角公式)若sin α＝，则cos 2α＝________．

答案：

4．(基础点：正切倍角公式)若α是第二象限角，且sin(π－α)＝，则tan 2α＝________．

答案：－

授课提示：对应学生用书第64页

考点一　两角和、差及倍角公式的直接应用

挖掘1　给值(角)求值/ 互动探究

[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)tan 255°＝(　　)

A．－2－　　　 B．－2＋

C．2－  D．2＋

[解析]　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋.

故选D.

[答案]　D

(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tan＝，则tan α＝________．

[解析]　法一：tan

＝tan

＝＝，

解得tan α＝.

法二：∵tan＝tan

∴tan α＝tan

＝＝.

[答案]　

(3)已知sin＝，则sin 2α＝________．

[解析]　sin 2α＝－cos＝2sin2－1＝2×－1＝－.

[答案]　－

(4)已知f(x)＝2cos·.

设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

[解析]　由已知f(x)＝2cos.

又因为f＝－，

所以2cos＝2cos＝－，

所以sin α＝.

又因为f＝，

所以2cos＝2cos β＝，

所以cos β＝.

又因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.

挖掘2　给值求角/ 互动探究

[例2]　(1)(2020·河南六市联考)已知cos α＝，cos(α－β)＝，若0＜β＜α＜，则β＝________．

[解析]　由cos α＝，0＜α＜，

得sin α＝＝ ＝，

又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，

∴sin(α－β)＝＝ ＝，

由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝，

∵β∈(0，)，∴β＝.

[答案]　

(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．

[解析]　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝＞0，

α∈(0，π)，∴0＜α＜.

又∵tan 2α＝＝＝＞0，

∴0＜2α＜，

∴tan(2α－β)＝1，

∵tan β＝－＜0，

∴＜β＜π，－π＜2α－β＜0，

∴2α－β＝－π.

[答案]　－π

[破题技法]　1.应用三角公式化简求值的策略

(1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．

(2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．

(3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角来表示非特殊角等．

2．三角函数求值有三类

(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．

(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．

考点二　两角和、差及倍角公式的逆用和变形用

挖掘1　求值问题/ 互动探究

[例1]　(1)计算的值为(　　)

A．－　　　　　　 B.

C.  D．－

[解析]　原式＝

＝＝×＝.

[答案]　B

(2)(2020·辽宁省沈阳四校协作体联考)－＝________．

[解析]　－

＝

＝

＝＝4.

[答案]　4

(3)(2020·重庆市三诊)＝________．(用数字作答)

[解析]　原式＝＝＝＝＝－4.

[答案]　－4

挖掘2　化简问题/ 互动探究

[例2]　(1)化简：＝________．

[解析]　原式＝

＝

＝

＝＝cos 2x.

[答案]　cos 2x

(2)(2020·湖南衡阳质检)已知m＝，若sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，则m＝(　　)

A.  B．

C.  D．2

[解析]　设A＝α＋β＋γ，B＝α－β＋γ，则2(α＋γ)＝A＋B，2β＝A－B，因为sin 2(α＋γ)＝3sin 2β，所以sin(A＋B)＝3sin(A－B)，即sin AcosB＋cos Asin B＝3(sin Acos B－cos Asin B)，即2cos A·sin B＝sin Acos B，所以tan A＝2tan B，所以m＝＝2，故选D.

[答案]　D

[破题技法]　1.将tan(α＋β)＝整理变形为tan  α＋tan   β＝tan(α＋β)－tan α·tan  β·tan(α＋β)，

即tan  60°＝tan(20°＋40°)得出tan 20°＋tan 40°后代入．

2．(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．

(2)和差角公式变形：

sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，

cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，

tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．

(3)倍角公式变形：降幂公式．

[拓展]　1±sin α＝，1＋cos α＝2cos2 ，1－cos α＝2sin2.

提醒：tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，

tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．

挖掘3　创新归纳/互动探究

[例3]　已知：①tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝1，②tan 5° tan 10°＋tan 10°tan 75°＋tan 75°·tan 5°＝1，③tan 20°tan 30°＋tan 30°·tan 40°＋tan 40°·tan 20°＝1成立．由此得到一个由特殊到一般的推广．此推广是什么？并证明．

[解析]　观察到：10°＋20°＋60°＝90°，5°＋75°＋10°＝90°，20°＋30°＋40°＝90°，猜想此推广为：若α＋β＋γ＝90°，且α，β，γ都不为k·180°＋90°(k∈Z)，则tan αtan β＋tan βtan γ＋tan γtan α＝1.

证明如下：因为α＋β＋γ＝90°，

所以β＝90°－(α＋γ)，

故tan β＝tan [90°－(α＋γ)]＝＝＝＝.

所以tan αtan β＋tan βtan γ＝1－tan αtan γ，

即tan αtan β＋tan βtan γ＋tan αtan γ＝1.

[破题技法]　归纳与猜想，主要考查逻辑推理的核心素养．

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程，主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳与类比，另一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．