高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3三角函数的图像与性质学案

这是一份高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.3三角函数的图像与性质学案，共9页。

第三节　三角函数的图像与性质

授课提示：对应学生用书第56页
[基础梳理]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像上，五个关键点是：(0，1)，，，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图像



定义域
R
R

值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
为增；
为减
[2kπ，2kπ＋π]为减；[2kπ－π，2kπ]为增
为增
对称中心
(kπ，0)


对称轴
x＝kπ＋
x＝kπ

3.周期函数
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫作周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期．

1．一个易混点
正切函数y＝tan x的单调性只能说：在(kπ－，kπ＋)上k∈Z为增函数，不能说为：在定义域上为增函数．
2．一个易错点
求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx＋φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
3．三角函数的对称与周期的关系
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是周期．
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．
4．关于周期的两个结论
函数y＝|sin x|，y＝|cos x|，y＝|tan x|的周期为π，函数y＝sin|x|，不是周期函数，y＝tan |x|不是周期函数．
[四基自测]
1．(基础点：正弦函数的单调性)函数y＝sin x，x∈[－π，π]的单调性是(　　)
A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数
B．在上是增函数，在和上都是减函数
C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数
D．在和上是增函数，在上是减函数
答案：B
2．(基础点：正切函数的定义域)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：D
3．(易错点：三角函数的值域)f(x)＝cos 2x－3cos x的最大值为________．
答案：4
4．(基础点：三角函数大小比较)cos 23°，sin 68°，cos 97°从小到大的顺序是________．
答案：cos 97°＜cos 23°＜sin 68°

授课提示：对应学生用书第57页
考点一　有关三角函数的定义域、值域、最值问题
挖掘1　有关三角函数的定义域/ 自主练透
[例1]　(1)函数y＝lg sin x＋ 的定义域为________．
[解析]　要使函数有意义，则有
即
解得(k∈Z)，
所以2kπ＜x≤＋2kπ，k∈Z.
所以函数的定义域为.
[答案]　
(2)函数f(x)＝的定义域为________．
[解析]　要使f(x)有意义，则有
kπ－＜x＋＜kπ或kπ＜x＋＜kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－π＜x＜kπ－或kπ－＜kπ＋.
[答案]　{x|kπ－π＜x＜kπ－或kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z}
[破题技法]　求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式，常借助于三角函数线或三角函数图像来求解．
挖掘2　利用单调性求最值/ 互动探究
[例2]　(1)函数f(x)＝3sin在区间上的值域为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D．
[解析]　当x∈时，
2x－∈，sin∈，
故3sin∈，即此时函数f(x)的值域是.
[答案]　B
(2)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.
若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
[解析]　f(x)＝sin2x＋sin xcos x
＝－cos 2x＋sin 2x
＝sin＋，由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为.
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
即m的最小值为.
挖掘3　换元法求三角函数的最值(值域)/互动探究
[例3]　(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
[解析]　f(x)＝1－cos2x＋cos x－＝－cos2x＋cos x＋＝－＋1，因为x∈，所以cos x∈ [0，1]，所以当cos x＝时，函数取得最大值1.
[答案]　1
[破题技法]　1.形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)，(A＞0)(x∈R)其最值都是当sin(ωx＋φ)＝±1或cos(ωx＋φ)＝±1时取得的±A.
2．求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：
(1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y＝asin2 x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c的三角函数，可先设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求值域(最值)．
对于(2)(3)类型，主要采用换元法．
令t＝sin x或t＝cos x，进而将三角函数转化为关于t的函数．形如y＝asin2x＋bsin x＋c，可设t＝sin x，将其转化为二次函数y＝at2＋bt＋c(t∈[－1，1])；形如y＝asin xcos x＋b(sin x±cos x)＋c，可设t＝sin x±cos x，则t2＝1±2sin xcos x，即sin xcos x＝±(t2－1)，将其转化为二次函数y＝±a(t2－1)＋bt＋c(t∈[－，])．换元时一定要注意新元的取值范围．
考点二　三角函数的单调性
挖掘1　求三角函数的单调区间/ 互动探究
[例1]　已知函数f(x)＝cos 2x－2sin2(x－α)，其中0＜α＜，且f()＝－－1.
(1)求α的值；
(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．
[解析]　(1)由已知得f()＝－－2sin2(－α)＝－－2cos2α＝－－1，
整理得cos2α＝.
因为0＜α＜，所以cos α＝，α＝.
(2)由(1)知，f(x)＝cos 2x－2sin2(x－)＝cos 2x－1＋cos(2x－)＝cos 2x＋sin 2x－1＝2sin(2x＋)－1.
易知函数f(x)的最小正周期T＝π.
令t＝2x＋，则函数f(x)可转化为y＝2sin t－1.
显然函数y＝2sin t－1与y＝sin t的单调性相同，
当函数y＝sin t单调递减时，2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)．
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．
[破题技法]　求三角函数单调区间的方法
代换法
就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解
图像法
画出三角函数的图像，结合图像求它的单调区间

本例题中若求函数f(x)在[－，]上的单调递减区间呢？
解析：由本题可得，函数f(x)＝2sin(2x＋)－1的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z)．当k＝－1时，函数f(x)的单调递减区间为[－，－]，与给定区间的交集为[－，－]；当k＝0时，函数f(x)的单调递减区间为[，]，与给定区间的交集为[，]．所以函数f(x)在[－，]上的单调递减区间为[－，－]和[，]．
挖掘2　利用单调性比较大小/ 自主练透
[例2]　已知函数f(x)＝2sin(x＋)，设a＝f()，b＝f()，c＝f()，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a＜c＜b　　　　　 B．c＜a＜b
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
[解析]　a＝f()＝2sinπ，
b＝f()＝2sin，
c＝f()＝2sin＝2sin，
因为y＝sin x在[0，]上单调递增，＜π＜，所以c＜a＜b.
[答案]　B
[破题技法]　利用三角函数的单调性比较两个三角函数值的大小，关键是将这两个三角函数值化为在同一个单调区间内的两个角的同名三角函数值．对于正弦函数来说，一般将两个角转化到或内；对于余弦函数来说，一般将两个角转化到[－π，0]或[0，π]内．

将本例题中函数改为f(x)＝2cos(x＋)，则a，b，c的大小如何？
解析：a＝f()＝2cosπ，
b＝f()＝2cos，
c＝f()＝2cos＝0，
∴a＞b＞c.
挖掘3　利用单调性求参数/ 互动探究
[例3]　(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D．π
[解析]　ƒ(x)＝cos x－sin x
＝－＝－sin，
当x∈，即x－∈时，
y＝sin单调递增，y＝－sin单调递减．
∵函数ƒ(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a]⊆，
∴0＜a≤，∴a的最大值为.
故选A.
[答案]　A
(2)已知ω＞0，函数f(x)＝cos在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　函数y＝cos x的单调递增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，则
解得4k－≤ω≤2k－，k∈Z，又由4k－－≤0，k∈Z且2k－＞0，k∈Z，得k＝1，
所以ω∈.
[答案]　D
(3)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω＝________．
[解析]　法一：由于函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图像经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图像可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二：由题意，得f(x)max＝f()＝sin ω＝1.
由已知并结合正弦函数图像可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝.
[答案]　
[破题技法]　已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离列不等式(组)求解
考点三　三角函数的奇偶性、对称性、周期性
挖掘1　三角函数的周期性、奇偶性/ 互动探究
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x)＝的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．π D．2π
[解析]　由已知得ƒ(x)＝＝＝＝sin x·cos x＝sin 2x，所以ƒ(x)的最小正周期为T＝＝π.
故选C.
[答案]　C
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)
A．2 B．
C．1 D．
[解析]　由题意及函数y＝sin ωx的图像与性质可知，
T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
故选A.
[答案]　A
(3)(2020·银川模拟)函数f(x)＝3sin，φ∈(0，π)，满足f(|x|)＝f(x)，则φ的值为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　因为f(|x|)＝f(x)，
所以函数f(x)＝3sin是偶函数，所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z，
所以φ＝kπ＋，k∈Z，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝.
[答案]　C
[破题技法]　1.(1)利用周期函数的图像和定义求周期，发现周期大小与x的系数有关．利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为求解．
(2)对称性求周期：
①两条对称轴距离的最小值等于；
②两个对称中心距离的最小值等于；
③对称中心到对称轴距离的最小值等于.
(3)特征点法求周期：
①两个最大值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
②两个最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于T；
③最大值点与最小值点横坐标之差的绝对值的最小值等于.
由于最值点与函数图像的对称轴相对应，则特征点法求周期实质上就是由对称性求解周期．
2．奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
故形如y＝Asin(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．
y＝Acos(ωx＋φ)成为奇函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)；成为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)．
挖掘2　三角函数的对称性/ 互动探究
[例2]　(1)已知函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图像(　　)
A．关于点对称
B．关于点对称
C．关于直线x＝对称
D．关于直线x＝对称
[解析]　函数f(x)＝2sin(ω＞0)的最小正周期是4π，而T＝＝4π，所以ω＝，
即f(x)＝2sin.函数f(x)的对称轴为＋＝＋kπ，解得x＝π＋2kπ(k∈Z)；
函数f(x)的对称中心的横坐标为＋＝kπ，解得x＝2kπ－.
对称中心为，当k＝1时为.
[答案]　B
(2)若函数y＝cos(ωx＋)(ω∈N＋)的图像的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2
C．4 D．8
[解析]　依题意得cos(＋)＝0，则＋＝＋kπ，k∈Z，解得ω＝6k＋2，又ω∈N＋，所以ω的最小值为2，故选B.
[答案]　B
(3)已知f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)既是偶函数又是周期函数
B．f(x)的最大值小于1
C．f(x)的图像关于点(，0)对称
D．f(x)的图像关于直线x＝π对称
[解析]　对于选项A，由f(x)＝cos xsin 2x，得f(－x)＝cos(－x)sin 2(－x)＝－cos xsin 2x＝－f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
又f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin 2(x＋2π)＝cos xsin 2x＝f(x)，
所以函数f(x)是周期函数．
所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故A不正确．
对于选项B，因为|cos x|≤1，|sin 2x|≤1，且等号不能同时成立，
所以无论x取什么值，f(x)＝cos xsin 2x的函数值均小于1，故B正确．
对于选项C，因为f(x)＋f(π－x)＝cos xsin 2x＋cos(π－x)sin 2(π－x)＝cos xsin 2x＋cos xsin 2x＝2cos xsin 2x，
不能推出函数f(x)的图像关于点(，0)对称．故C不正确．
对于选项D，因为f(2π－x)＝cos(2π－x)sin 2(2π－x)＝－cos xsin 2x＝－f(x)，
所以f(x)的图像不关于直线x＝π对称，故D不正确．
综上可得正确的结论是B.
[答案]　B
[破题技法]　对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x＝x0或点(x0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f(x0)的值进行判断．